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- 我们花了许多时间
- 来讲零空间
- 在这个视频里我要讲一下
- 一种新的在矩阵中可以定义的空间
- 它被称作列空间
- 你们可能已经猜到了它的意思
- 就如它的名字一样
- 比如说我有某个矩阵A
- 比如说是m×n的矩阵
- 可以将矩阵A写成
- 我们已经看过很多次了
- 我可以将它写成一串列向量
- 第一个 第二个 共有n个
- 我怎么知道有n个？
- 因为我有n列
- 而每一个列向量
- 有多少分量？
- 有v1 v2 直到vn
- 这个矩阵有m行
- 每一个都有m个分量
- 它们都是Rm中的元素
- 所以列空间就是
- 所有这样可能到
- 这些列向量的线性组合
- 所以A的列向量
- 这是矩阵A 它的列空间
- 就是所有的这些列向量的线性组合
- 那么所有的
- 这些向量的线性组合是什么？
- 是这些向量张成的空间
- 是由向量v1 v2
- 直到vn张成的空间
- 我们已经做过了这个
- 当我们讲张成的空间和子空间时
- 而要说明
- 任何向量集合张成的空间是一个子空间是很简单的
- 它很显然包含0向量
- 如果用0乘以所有的向量
- 这加起来是一个线性组合
- 你就会看出它包含0向量
- 如果 比如说我有某个向量a
- 这是A的列空间里的元素
- 这就意味着 它可以被表示成
- 某个线性组合
- 所以a=c1*v1
- 加上c2*v2
- 直到cn*vn
- 现在 这个方程就是
- 这个在乘法下是封闭的吗？
- 如果我将a乘以某个新的――
- 比如说我将它与标量s相乘
- 随便取个字母
- 那么s乘以a 这在张成的空间里吗？
- 好吧 s乘以a就等于 sc1v1加上sc2v2
- 直到scnvn
- 它还是
- 这些列向量的线性组合
- 那么这个sa 很显然是
- A的列空间里的元素
- 最后 为了确定它是一个子空间――
- 这实际上不仅仅是对列空间成立
- 这个可以应用到任何张成的空间中
- 这实际上是 对于以前学过的内容的一个复习
- 我们必须要确保它在加法下封闭
- 那么比如说a是列空间里的一个元素
- 比如说b也是列空间里的一个元素
- 或所有这些列空间张成的空间里的元素
- 那么b可以被写成b1*v1
- 加上b2*v2 直到bn*vn
- 我的问题是 a加上b是在
- 由列空间张成的空间里吗？ 这些向量张成的空间？
- 很显然 是的 a+b是什么？
- 其实a+b等于(c1+b1)v1
- 加上(c2+b2)v2
- 我只需将这些一项接一项地加起来
- 就得到了这一项
- 这一项和这一项就得到了这一项
- 直到(bn+cn)vn
- 这很显然就是
- 这些东西的另一个线性组合
- 所以这个在张成的空间里
- 它不必是唯一的矩阵
- 矩阵实际上就是一种书写
- 列向量集合的方式
- 所以这个可以应用到任何张成的空间里
- 这很显然是子空间
- 那么A的列空间很显然是一个子空间
- 我们再从其它角度来看看
- 我们可以将这个看做是列空间
- 我们从它的表达式来想想看
- 我用一种好看一些的颜色
- 如果我要乘以――我们来看看
- 考虑一下所有这些值的集合
- 如果我取m×n的矩阵A
- 我将它与向量x相乘
- x是在――
- 记住x是在Rn中
- 它有n个分量
- 以使这个乘法的定义有意义
- 那么x必须是在Rn中
- 我们来想一想这个的意义
- 这个说明 看 我可以取任何元素
- 任何有n个分量的向量 并将它乘以A
- 我关心所有的
- 可以使等式成立的可能积
- Ax的所有可能值
- 我可以选取任何在Rn中的x
- 我们来想一想它的意义
- 如果我将A写成这样 如果我将x写成这样――
- 我写得工整一些
- 将x写成这样――x1 x2 直到xn
- Ax是什么样子？
- 好 Ax可以被写成x1――
- 我们以前看过了――
- 即Ax=x1*v1+x2*v2
- 一直加到xn*vn
- 我们已经看过这个很多次了
- 这个就是由我们关于
- 矩阵向量积的定义得出来的
- 现在如果Ax等于这个 我说
- 我可以取Rn中的向量x 我说可以
- 在这里取所有可能值 所有的可能
- 实数 和所有的它们的组合
- 这个等于什么？
- 所有的可能的集合是什么？
- 所以我可以重新写成这样
- 即所有可能的x1v1+x2v 2直到xnvn的集合
- 这里x1 x2 直到xn
- 是实数
- 这就是所有的了
- 这个结论等价于这个
- 当我说向量x可以是Rn中的任何向量的时候
- 我的意思是它的分量
- 可以是任何实数
- 所以如果我仅仅取所有的 实际上是
- 这些列向量的组合的集合
- 这里它们是实数
- 它们的系数
- 也是实数
- 我在做什么？
- 这是所有的可能的线性组合
- 是A的列向量的
- 所以这个等于v1 v2 直到vn张成的空间
- 就是与A的列空间相同的空间
- 所以A的列空间
- 你可能会问所有可能的向量是什么
- 或所有可以写出的
- 由这些向量线性组合组成的集合是什么
- 或这些向量张成的空间是什么
- 或许你可以将它看成是
- 所有可能的
- Ax当x属于Rn时的取值
- 那么我们这样来看
- 比如说我要告诉你
- 我要解方程Ax等于――
- 好吧 一般是在这里写一个b
- 但我要写一个特殊的b 写成b1吧
- 我们说 需要解出
- 这个方程Ax=b1
- 然后我说
- 我要解出
- A的列空间――我说b1不是
- A的列空间的元素
- 这个告诉了我们什么？
- 这个告诉了 我们这个不能
- 在b1取值
- 因为这个可以在这里取到的所有值
- 是A的列空间
- 所以如果b1不在这里
- 就是说这个不能取值b1
- 所以这就意味着这个
- 我们试着要建立的方程
- 即Ax=b1 无解
- 如果它有解
- 比如说是Ax=b2
- 至少有一个解
- 这意味着什么？
- 好吧 这意味着 对于一个特殊的x
- 或对于许多不同的x
- 你可以取到这个值
- 因为存在这样的x 使得当你以A乘它时
- 你实际上会得到这个值
- 这就意味着b2是
- A的列空间里的元素
- 在某种程度上 这些东西中的某些是显然的
- 这个就是由列空间的定义得出的
- 列空间是所有的
- 列向量的线性组合
- 它的另一种解释就是
- Ax可以取到的所有值
- 所有如果我要取 Ax等于某个
- 它不能取到的值
- 很明显我不能得到解
- 如果我能找到一个解 我就能找到
- 某个值x使得Ax=b2 那么b2实际上
- 就是Ax可以取到的一个值了
- 无论如何 我想就到这里吧
- 现在你至少有了一种
- 关于列空间的理解
- 在接下来的几个视频里 我要试着
- 将所有的东西联系起来
- 包括我们对于列空间的理解
- 还有零空间
- 和所有关于矩阵的理解
- 和矩阵向量积
- 从各种角度联系到一起