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行空間的維度，矩陣的秩 (英) : 行空間的維度，矩陣的秩
相關課程
- 我們在很多影片中已經看到了
- 矩陣的列空間很容易尋找
- 在這種情形下 A的列空間等於
- A的行向量的
- 所有的線性組合
- 換一種說法 所有的線性組合
- 就是所有行向量的展成空間
- 我們給這一列起名a1
- 這三列分別是a2 a3 a4
- 最後一列是a5
- A的列空間等於
- a1 a2 a3 a4 a5的展成空間
- 很簡單
- 但是有一個更有趣的問題
- 這幾個向量能否成爲
- 列空間的基底
- 一個更有趣的問題
- A的列空間的基底是什麽？
- 在本段影片中 我提供一種方法
- 來求基底 在求基底的過程中
- 我們會得到一種直覺 它很有可能會起作用
- 如果我有時間
- 實際上在本段影片中 我不會有時間的
- 在下段影片中 我會證明它爲什麽可行
- 我想計算出
- A的列空間的基底
- 記住 基底只是意味著向量的展成空間
- 向量的展成空間顯然是列空間
- 我的意思是說 這些向量的展成空間是列空間
- 但是爲了成爲基底
- 這些向量必須是線性獨立的
- 我們不知道這些向量 或者這些向量的子集
- 是否是線性獨立的
- 我們應該怎麽做 我來描述這個步驟
- 作爲反對的證據
- 你把這些向量化成行簡化階梯形
- 我來做一下
- 我來看看能否可以這樣做
- 保持第一行不變
- 是1 0
- 我在右邊右側寫出來
- 第一行不變
- 是1 0 -1 0 4
- 我們用第二行
- 減去第一行的兩倍
- 這就是第二行
- 2-2<i>1等於0</i>
- 1-2<i>0等於1</i>
- 0-2<i>（-1）等於2</i>
- 0-2<i>0等於0</i>
- 9-2<i>4等於1</i>
- 很簡單
- 我想消去這一項
- 看起來很簡單
- 用這一行加上第一行來代替這一行
- -1+1等於0
- 2+0等於2
- 5-1等於4
- 1+0等於1
- -5+4等於-1
- 最後我們來處理第四行
- 爲了消去它
- 用第四行減去第一行來代替它
- 1-1等於0
- -1-0等於0
- -3-（-1）等於-3+1
- 等於2
- -2-0等於-2
- 9-4等於5
- 我們做完了第一輪
- 我們得到了第一個主列
- 我們來做下一輪的行運算
- 我想把這些項化爲零
- 很幸運 這一項已經等於0
- 我不需要改變第一行
- 和第二行
- 有1 0 -1 0 4
- 第二行變成了 0 1 2 0 1
- 我們來看看
- 能否消除這些項
- 我們來替換藍色的這一行
- 第三行
- 用第三行減去2乘以第二行
- 0-2<i>0等於0</i>
- 2-2<i>1等於0</i>
- 4-2<i>2等於0</i>
- 1-2<i>0等於1</i>
- -1-2<i>1等於-3</i>
- 好的
- 這個是最後一個消除項
- 我想把它化爲零
- 我們用第四行加上第二行
- 來替換第四行
- 0+0等於0
- 1+（-1）等於0
- 2+（-2）等於0
- -2+0等於-2
- 5+1等於6
- 離結果越來越近了
- 我們來看看軸元
- 這是一個軸元
- 這是一個軸元
- 這不是一個軸元
- 因爲它不符合定義
- 這個是軸元 或者將會是軸元
- 把這個-2消掉 我想就是軸元了
- 我把第一行原樣的寫出來
- 因爲它上面的每一個都是0
- 因此我們不需要擔心
- 第一行 1 0 -1 0 4
- 第二行 0 1 2 0 1
- 第三行 0 0 0 1 -3
- 我來替換第四行
- 我用它加上第二行的二倍來替換
- 0+2<i>0等於0</i>
- -2+2<i>1等於0</i>
- 6+2<i>(-3)=6-6 等於0</i>
- 實際上 我們已經把矩陣化成了
- 行簡化階梯形
- 我用括號把它括起來
- 這種方法也不錯
- 你只需要按照這種步驟來做
- 有時候想到這樣做你會很頭疼
- 但是這種方法不錯
- 我們稱它爲矩陣A的
- 行簡化階梯形
- 稱之爲矩陣R
- 這個就是矩陣R
- 從矩陣R中我們能看到什麽?
- 它有3個軸元 或者說是3個主列
- 我把它們圈起來
- 第一列是主列
- 第二行是主列
- 第四列是主列
- 這種事情在前段影片中已經做過了
- 從中我們可以看到兩點
- 這三列是線性獨立的
- 我們是怎麽知道的？
- 它們彼此互相對應
- 我們給它們起名爲r1 r2
- 那麽這些就是 r3 r4
- 很顯然r1 r2 r4
- 是線性獨立的
- 你知道爲什麽嗎？
- 來看 這個是1
- 其余的都是0 對吧?
- 這個是根據定義得到的
- 軸元或者說是主列就是一個
- 除含有一個1外其余全是0的向量
- 對於任何一個主列
- 只能有一個主列在這個地方是0
- 或者說只有唯一一個主列在這裡是1
- 因此 你不可以
- 通過這些的線性組合相加得到1
- 你可以用100<i>0-3<i>0</i></i>
- 它總是得到一串0
- 這兩個的線性組合
- 不可能是這個
- 同樣的道理
- 這兩的線性組合也不可能等於這個
- 這是根據軸元的定義得到的
- 當你把它換成行簡化階梯形時
- 很顯然 任意一個主列中
- 只有一個列在這個地方是1
- 很顯然
- 這些主列是線性獨立的
- 結果是 我還沒有給你證明
- 主列對應的A的列這是r1
- 但是在化成行簡化階梯形前 它是A
- 就是這幾個
- 因此a1 a2 a3 a4也是線性獨立的
- 我來把它們圈起來a1 a2 a4
- 我來這樣寫 a1 a2 a4
- 我用集合符號寫出來
- 這些列都是線性獨立的
- 我沒有給出證明
- 但是我認爲你們應該有一種感覺
- 這些行變換並沒有改變
- 這個矩陣的性質
- 我以後會給你們一個更好的解釋
- 但是現在我只希望你們能理解
- 怎樣構造列空間的基底
- 它們是線性獨立的
- 下一個問題是它們是否張成列空間
- 爲了得到展成空間 根據定義
- 很顯然這5個向量 如果你有5個向量的話
- 它們會張成列空間
- 如果我們想證明 我不想在這段影片中證明
- 結果是
- 你總可以用主列來線性表示
- 這些非主列
- 在上段影片中我們截取到了這些
- 其中我們找到了
- 零核空間的解法
- 因此這項列很顯然可以表示成
- 這些列的線性組合
- 我沒有給你們證明
- 但是你們應該相信
- 你們不需要這些列
- 來張成列空間
- 我有一個更好的方式來思考
- 你不需要它們
- 盡管它們是展成空間的一部分
- 因爲如果你們需要這些列
- 只需要用這些主列
- 來線性表示即可
- 如果你想計算出
- A的列空間
- 你可以把A化成行簡化階梯形
- 你看看A的行簡化階梯形中的軸元
- 你看看A的行簡化階梯形中的軸元
- 就是這三個
- 然後再原始的A中
- 看看這些主列相對應的列
- 這些構成了基底
- 因爲它們任意的線性組合
- 或者說是它們的線性組合
- 可以用來構造非主列 它們是線性獨立的
- 我沒有給你們證明
- 但是在本題中 如果你想知道基底
- 它就是a1 a2 a4
- 我們可以回答另一個問題
- a1 a2 a4構成
- A的列空間
- 因爲你可以用我們的基底向量的線性組合
- 來表示另外倆向量
- 它們是線性獨立的
- 另一個問題
- 這個基底的維數是多少？
- 維數是多少
- 不是基底的維數
- A的列空間的維數是多少？
- 維數就是在列空間中
- 基底中向量的個數
- 對於任意的一個次空間
- 所有的基底都有相同數量的向量
- 因此我們有三個向量
- 因此 列空間的維數就是3
- 列空間的維數
- 實際上有一個特殊的名稱
- 叫做“秩”
- 因此A的秩
- 和列空間的維數
- 是一樣的
- 它等於3
- 另一種思考方式
- A的秩等於
- 張成整個列空間中
- 線性獨立的行向量的個數
- 或者說是所有可以構造
- 其它行向量的
- 線性獨立向量的個數
- 希望你沒有迷糊
- 因爲思想很簡單
- 把矩陣A化成行簡化階梯形
- 觀察那些列是主列
- 那麽相應的列就是
- 列空間中的基底
- 如果你想知道矩陣的秩
- 你只需要數數這些向量的個數
- 如果你不想數
- 你可以數行簡化階梯形中
- 矩陣主列的個數
- 以上就是做題的方法
- 在下段影片中 我會解釋它的原理
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