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- 这里有一个矩阵B
- 我想知道它的零空间是什么？
- 我以前做过很多次
- 复习一下 B的零空间等于
- 所有属于---
- 所有属于什么的x？
- 有5个分量 所以x∈R5
- 而矩阵B乘以x
- 等于0
- 这就是零空间的定义
- 我想尝试求出
- 这个方程的解集
- 我们以前已经知道
- B的行简化阶梯形的零空间
- 和B本身的零空间是一样的
- B的行简化阶梯形时什么样的？
- 很简单
- 我只需要几步
- 为了在这里得到零
- 我只需用第二行的2倍减去第一行来替换第二行
- 我得到了什么？
- 第二行减去第一行
- 第一行没有变化 仍然是1 1 2 3 2
- 第二行减去第一行
- 1-1等于0
- 1-1等于0
- 3-2等于1
- 1-3等于-2
- 4-2等于2
- 快做完了
- 这是自由变量
- 这是主变量
- 这是1
- 我们不想要这一项
- 我可以消去这一项
- 通过第一行减去第二行的2倍
- 第二行不变
- 是0 0 1 -2 2
- 用第一行减去第二行的2倍来替换
- 因此 1-2*0=1
- 1-2*0等于1
- 2-2*1等于0
- 而3-2*(-2)
- 等于3+4=7
- 2*(-2)=-4 再减去它
- 2-2*2等于2-4
- 也就是-2
- 这是B的
- 行简化阶梯形
- 我想计算出它的零空间
- 乘以[x1 x2 x3 x4 x5]
- 等于[0 0]
- 我把它写成了
- 一个方程集合或者说方程族
- 我把它计算出来
- 得到x1
- 我用绿颜色来写主变量
- x1加上1*x2加上0*x3
- 加上7*x4
- 减去-2乘x5 等于0
- 这是x3
- 是0*x1+0*x2+1*x3
- 因此x3-2*x4+2*x5
- 等于0
- 我们来求解主变量
- 这是自由变量
- 它可以等于任何东西
- 求解主变量 我们得到了什么？
- x1等于--我用绿色来表示
- 绿色比较好
- x1等于-x2-7*x4+2*x5
- 只需要在方程两边减去这些项
- 我得到x3等于 我们做过很多次
- 2*x4减去2*x5
- 我想把解集写成
- 向量的形式
- 解集或者说零空间等于--
- 它是所有的x
- 是x1 x2 x3 x4 x5
- 这是向量x 它属于R5
- 它是一个线性组合
- 我来写出来
- 自由变量是x2
- 乘以某个向量
- 加上x3 不是 x3不是自由变量
- 加上x4 它是下一个自由变量
- 再乘上某个因子
- 加上x5乘上某个向量
- 空间被我用完了
- 加上x5乘上某个向量
- 这些向量是什么？
- 我们来看看
- 我不想让它变得太混乱
- 看看能不能把这一个式子挪走
- 不是这样的
- 我把它重新写出来
- 我还没有掌握使用这个工具笔
- 因此 我把这个式子重写出来
- x3等于2*x4-2*x5
- 我把这个式子删除
- 又有了一些空间
- 删除它
- 我想还不错
- 我在原先做的地方
- x5乘以某个向量
- 这些向量是什么？
- 我们需要看看这个等式
- x1等于-1乘x2
- 是-1*x2
- -7乘x4
- 加上2乘x5
- 很简单
- x3等于什么？
- x3等于x乘x4
- 2*x4 对吧
- 和x2没关系
- 它等于2*x4-2*x5
- 这里是0*x2 对吧
- 因为这里没有x2项
- x2等于什么？
- x2等于1*x2
- 因此 所有这些项都是0
- 希望你们能注意到这一点
- 我把它写出来
- x2是一个自由变量
- 它等于它本身
- 就是1 0 0
- x4是一个自由变量
- 这个是这里练习的重点
- 它等于1乘它本身
- 你不需要其它的
- 自由变量
- x5是一个自由变量
- 它等于1乘以它本身
- 不需要其他的自由变量
- 我们说方程Bx=0的
- 的所有的解
- 或者说行简化阶梯形Bx=0的解
- 是这种形式
- 它们是这些向量的线性组合
- 我们称它们为v1 v2 v3
- 这些是任意实数
- 我可以任意的选择线性组合来
- 构造解集或者说构造零空间
- 因此A的零空间
- 当然也是A的行简化阶梯形的
- 零空间
- 它等于这三个向量
- 所有可能的线性组合
- 也等于向量v1 v2 v3的生成空间
- 像这样
- 我之所以做这个练习
- 我们已经做了很多次这种练习
- 我们去思考这些向量
- 是否是线性无关的
- 我的问题是 这些向量是否是线性无关的
- 我之所以这么关心
- 是因为如果它们是线性无关的
- 那么它们就会构成一个零空间
- 我们知道它们张成一个零空间
- 但是如果它们是线性无关的
- 这两点是构成一个基底的限制条件
- 必须张成子空间
- 必须是线性无关的
- 我们来观察这三个向量
- 这是v1
- 在第二项有一个1
- 因为它对应于自由变量x2
- 它是第二维
- 因此我们在这里写1
- 在我们的生成集中
- 其它的都是0
- 因为对于其它的自由变量
- 我们需要用零去乘 对吧？
- 这一点对于所有的
- 零空间问题都成立
- 对于任意的自由变量
- 如果这个自由变量代表一个第二维
- 那么我们就在第二维上标上1
- 和其它自由变量
- 都相关的所的变量的
- 第二维都标0
- 这个1可以
- 被这两个零线性表示吗？
- 我没有办法通过0乘某个数
- 加上某个数乘0
- 得到1
- 它（线性组合）只有可能是0
- 1是不可以被
- 两个0线性表示
- 类似的 这里的向量
- 在第四个位置上是1
- 为什么是在第四个位置？
- 因为第四个位置对应的是
- 相应的自由变量x4
- 因此这里是1
- 其它的
- 显然都是0
- 因此 你不可能通过线性组合
- 得到这个1
- 因此 这一个元素是不可以
- 被其它的元素表示出来
- 这个是x5 在这里有一个1
- 这些地方是0
- 0的线性组合是不可能是1的
- 因此 这三个向量是线性无关的
- 这些向量中任意一个不可以用其它向量的
- 某个线性组合表示
- 因此 它们是线性无关的
- 集合
- 是集合A的零空间
- 哦 不对 我得小心点
- 是B的零空间
- 为了多样性
- 我定义我的初始的矩阵是B
- 因此 在这里我得小心点
- B的零空间等于
- B的行简化阶梯形形式的零空间
- 我还是最好把这些矩阵名字都一次性改过来
- 否则 你会认为所有的矩阵
- 都是A
- 它等于这些向量的生成空间
- 我们说过这些向量是线性无关的
- 我们说过这些向量是线性无关的
- 我们已经证明了
- 我们无法通过其中两个
- 得到另外一个
- 无法做到那样
- 这三个向量构成了B的零空间的基底
- 它提出了一个很有趣的问题
- 在上段视频中 我定义了维数
- 你可能没有看
- 因为那段视频有点晦涩难懂
- 一个子空间的维数
- 我来重新定义
- 它等于该子空间一个基底的元素的个数
- 在上段视频中 我费尽千辛万苦证明了
- 对于给定的子空间的所有的基底
- 含有相同数量的元素
- 它的定义很明确
- 我的问题是
- B的零空间的维数是多少？
- B的零空间的维数？
- B的维数是它的一个基底集合中
- 向量的个数
- 这个是B的一个基底集合
- 里面有多少向量？
- 有3个向量
- 因此 B的零空间的维数是3
- 换一种思路来思考
- 或者说是B的零空间的维数的另一个名称
- B的零度
- B的零度是等于3
- 我来想想
- 我计算了这么多
- 我想知道对于任给的一个矩阵
- 它的零度是多少？
- 它是零空间的维数
- 零空间的维数--
- 你总能得到和自由变量
- 一样多的因子
- 一般而言 任意一个矩阵的零度
- 假设是矩阵A 它的零度是等于
- A的行简化阶梯形的自由变量列个数
- 或者说是自由变量的个数
- 或者说是非主列的数量
- 也就是是非主列的数量
- A的行简化阶梯形的
- 非主列数目
- 因为 它的本质是自由变量的个数
- 所有这些自由变量
- 是线性无关的 对吧?
- 因此 变量的个数是
- 零空间基底中向量的个数
- 自由变量的个数本质上是
- 行简化阶梯形中数
- 非主列的个数
- 这是一个非主列 这也是一个非主列
- 这也是一个非主列
- 它们和自由变量
- x2 x4 x5是相关的
- 因此 一个矩阵的零度本质上是
- 该矩阵行简化阶梯形中
- 非主列的个数
- 不管怎样 希望你们能感觉到这有点用