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相關課程
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- 我們現在要著手的練習，或者說運算
- 大概是整個數學裏面我最不喜歡的了
- 你們馬上會了解其中的原因
- 我們要求一個3×3逆方陣矩陣
- 在我看來，唯一比這更痛苦的事情
- 就是去求一個4×4逆方陣矩陣了
- 你們很快就會明白
- 這種工作最好還是留給電腦去做
- 不過你們還是要懂得怎樣去算
- 而且對我來說，這是種很好的鍛煉
- 如果我能一輩子堅持這種鍛煉
- 我的大腦就不會萎縮
- 你們將會看到，這種計算的要點在於不要粗心犯錯
- 那麽我們寫一個3×3的矩陣，並求逆
- 設一個矩陣A
- 爲了節省空間，我字寫小點，免得後面混淆
- 矩陣A，就等於1，0，1——
- 我故意選些簡單的數字，好簡化運算
- 0，2，1，1，1，1
- 3×3矩陣求逆的第一步，就是創建另一個矩陣
- 我稱之爲——也不是我稱之爲，大家都這麽叫
- 稱爲“子式矩陣”（matrix of minors）
- 我把這個名稱寫下來
- 子式矩陣（matrix of minors）
- “子式矩陣”是什麽？
- 我們來把它畫出來
- 它也是一個3×3的矩陣
- 它左上角的這個元素是一個行列式（determinant）
- 如果我們把原矩陣的第1行和第1列都劃去
- 所得到的就是這個行列式
- 比如，左上角這個（1，1）元素，是第1行第1列
- 於是把原函數第1行及第1列劃去
- 剩下哪些數字呢？
- 剩下右下角的2，1，1，1
- 這裡的元素就是2，1，1，1組成的行列式
- 2，1，1，1，絕對值符號表示這是個行列式
- 記住我所說的，要求（1，1）位置的元素
- 就劃掉原矩陣的第1行第1列
- 剩下數字所組成的行列式，就是原矩陣的一個子式（minor）
- 我們來求（1，2）元素，即第1行第2列
- 也就是求一個行列式
- 劃掉原矩陣的第1行和第2列，剩下什麽？
- 剩下0，1，1，1
- 這很容易把人搞糊塗，但是記住——
- 我希望我能夠把需要劃掉的部分擋起來
- 但是我的手指無法出現在影片裏
- 不過如果你把第1行和第2列劃去
- 就會剩下這個0，這個1，還有這個1和這個1
- 然後組成一個行列式，也就是中間的子式
- 我們繼續，空間可能不夠，我盡力寫下
- 求第1行第3列的元素，該怎麽辦？
- 劃掉原矩陣的第1行和第3列
- 剩下的行列式或者說子式就是0，2，1，1
- 0，2，1，1，一個2×2矩陣的行列式
- 就這樣繼續下去，我這裡的空間不夠用了
- 下面我來試著把這個矩陣的元素算出來
- 我認爲你們應該知道怎麽做
- 就算不知道，我演示的時候一看也就明白了
- 我們來把它算出來
- 因爲這些2×2矩陣太占空間了
- 回頭看這個（1，1）元素
- 劃掉原矩陣的第1行和第1列
- 得到這幾個數組成的行列式
- 這個2×2矩陣的行列式等於多少？
- 這並不難。等於2乘以1，減去1乘以1
- 2乘以1，減去1乘以1等於多少呢？就是1
- 接著來看第1行第2列
- 要求行列式0，1，1，1的值
- 就等於0乘以1，減去1×1
- 0乘以1，減去1×1，結果是 -1
- 其實就是我們已經算出來的行列式
- 我這裡是在原矩陣上比劃，來回想計算過程
- 就相當於這裡的0乘以1，減去1×1
- 右上角這個位置，劃去第1行和第3列
- 得到0乘以1，減去1乘以2
- 結果得 -2
- 我們繼續往下做
- 來到第2行，第1列
- 所以劃去第2行和第1列
- 剩下這個0，這個1，這個1，和這個1
- 0乘以1得0，再減去1乘以1，得到 -1
- 接著是第2行和第2列
- 把它們劃去，剩下一個子式
- 值爲1乘以1，減去1乘以1，也就是0
- 快了，完成一半了
- 接著是第2行、第3列
- 所以劃去第2行和第3列
- 得到的是，1乘以1，減去1乘以0
- 也就是等於1
- 最後一行
- 第3行，第1列，把它們劃去
- 得到：0乘以1，減去2乘以1，等於 -2
- 接著是第3行，第2列
- 所以劃去第3行和第2列
- 得到：1乘以1，減去0乘以1，也就是1
- 最後一個了。第3行，第3列
- 把第3行和第3列劃去
- 剩下的就是，1乘以2，減去0乘以0
- 結果就等於2
- 如果我沒有粗心算錯的話，這就是所求的“子式矩陣”
- 對，記住這個名字，子式矩陣（matrix of minors）
- 現在，我們要把它轉化成另一個矩陣
- 叫做“余因子矩陣”（matrix of cofactors)
- 這一步驟實際上很直觀
- 把“子式矩陣”轉化成“余因子矩陣”，只需要記住一個模式
- 這個模式對所有3×3矩陣都適用
- 正，負，正；負，正，負；正，負，正
- 你可以把這個模式想象成一個正負號組成的棋盤
- 把這些黃色的數字當作棋子擺到棋盤上
- 我這麽說是什麽意思？
- 意思是，從這個棋盤的左上角開始
- 交替填上正號和負號
- 然後把這兩者結合起來
- 就得到“余因子矩陣”
- 我們來把它寫下來：“余因子矩陣”
- 這真是一場馬拉松式的計算，是不是？
- 好的，余因子矩陣就是上面的符號模式配上子式矩陣
- 怎麽做呢？
- 正1乘上這裡的1，得1
- 接下來是個負號
- 負負得正，所以這裡是正1
- 正號乘上負2，得負2
- 又是負號，負負得正，正1
- 正號乘以0，還是0
- 負號乘以1，得負1
- 正號乘以負2，得負2
- 負號乘以1，得負1
- 正號乘以2，得正2
- 我們就求出了“余因子矩陣”
- 求逆矩陣的工作，已經完成了一半以上了
- 這裡我強調一點
- 目前爲止我們所做的看上去就像是巫術一樣
- 但以後的影片裏
- 我將向你們解釋這個魔法公式是怎麽來的
- 雖然對3×3矩陣來說，這有點麻煩
- 但我一定會拿2×2矩陣來推導
- 實際上，對於3×3矩陣，我會介紹一些其他的算法
- 看上去會更加直觀與自然
- 不過現在，我只打算教你們怎麽套用公式
- 這樣的話，當你們在代數2的考試裏遇到——
- 因爲我想這些是代數2裏會教的內容
- 當你們的老師要你們求子式矩陣或者余因子矩陣時
- 你們就能夠做出來了
- 這之後，我們再去直觀地解釋公式
- 我一般會把這個步驟放在前面
- 但這是個例外
- 不管怎樣，回到上面的題目
- 這就是“余因子矩陣”
- 由它，我們可以求出原矩陣A的“伴隨矩陣”(adjugate matrix)
- 伴隨矩陣，這是我在維基百科上查到的標準說法
- 這個符號，就表示“A的伴隨矩陣”
- 而這個“伴隨矩陣”實際上就是“余因子矩陣”的轉置
- 我知道我又要扔出許多奇怪的術語了
- 但所謂“轉置”，就是指“行列互換”
- 比如這個數字，位置是第1行第1列
- 行數和列數相同，所以位置不變
- 所以“捺對角線”上的數字都不用變化
- 因爲這裡是第2行第2列，而它是第3行第3列
- 捺對角線保持原樣
- 剩下的數字交換行與列
- 就好像以對角線爲軸鏡像換位
- 什麽意思呢？
- 比如這個1，是第1行第2列
- 所以就移到第2行第1列
- 所以也就是這個位置
- 即是說以對角線爲軸鏡像換位
- 同理，這裡是第1行第3列
- 要交換到第3行第1列
- 也就是這裡
- 位置像是鏡像到了這裡
- 這裡的負2並不是這個負2
- 是右上角的交換而來的
- 實際上，左邊這個矩陣是沿著對角線對稱的
- 位置交換後，沒有變化
- 可能並不是個好例子
- 但是我希望你們能夠理解“轉置”
- 就是說比如第1行第2列的這個數字
- 要變到第2行第1列的位置上去
- 所謂的行列互換
- 不管怎樣，我們把這個矩陣寫完
- 實質上就是以對角線爲軸做位置鏡像
- 我們來看看
- 這個數字要調換到這裡
- 這是第2行第1列
- 所以調換到第2列第1行，也就是這裡
- 而這個數字，以對角線爲軸
- 要調換到這個位置
- 所以這裡是負1
- 這個數字要移到這上面，也就是負2
- 而這個數字要移到這裡，即是負1
- 我們馬上要完成了
- 這就是矩陣A的伴隨矩陣
- 要求A的逆矩陣——
- 我們先擦掉點東西，因爲快寫不下了
- 正如你們所看到的，如果我到目前爲止
- 沒有粗心犯什麽錯的話，我自己都很佩服我自己
- 我們把這些全部擦去
- 寫了這麽多東西，我都感到餓了
- 這真是件費力的差事
- 矩陣A的逆矩陣，就等於
- 1除以A的行列式，再乘上A的伴隨矩陣
- 後面這個部分已經算出來了
- 現在我們來算行列式
- 我故意把余因子矩陣留下來，是有原因的
- 矩陣A的行列式就等於——
- 你可以拿矩陣A的任意一行來計算
- 但爲了簡便，我們取第一行
- 你們先記住這個方法
- 取第一行，拿每個數字乘以相對的余因子
- 然後把結果相加
- 這裡，1乘以對應的余因子，也就是1
- 加上0乘以對應的余因子，也是1
- 再加上1乘以對應的余因子，負2
- 即是1加上0減去2
- 等於負1
- 感謝上帝，這是個很簡單的行列式
- 如果我們沒先求出余因子矩陣
- 你可以用另一個方法來求行列式
- 記住這個方法也等於是記住了余因子矩陣的求法
- 那就是求其子式的行列式
- 如果你把第1行和第1列劃去
- 就是左上角的1所對應的子式行列式
- 等於2, 1, 1, 1
- 不要忘了那個棋盤模式
- 第一個是正號，接下來是負的
- 也就是負0乘以對應的子式行列式
- 劃去第1行第2列，得到0, 1, 1, 1
- 再換符號，變成正的
- 正1乘以對應的子式行列式
- 劃去第1行第3列，得到0, 2, 1, 1
- 你可以算出這個式子
- 這個就是這裡的余因子
- 而這個，它只是一個子式
- 加上前面的負號，就是這裡的余因子
- 而這個也是子式，配上正號，就是這個余因子
- 我這裡費了些功夫解釋
- 希望沒有把你們搞糊塗
- 總之，我們已經能夠求去A的逆矩陣了
- 我們知道A的行列式等於負1
- 我們也知道A的伴隨矩陣等於這裡的這個數
- 下面我們把逆矩陣求出來
- 讓我們開始
- 先把這些東西擦掉
- 因爲等下求出來後，我還想證明它就是要求的逆矩陣
- 也許吧，看有沒有時間了
- 我才意識到這段影片已經很長了
- 把證明留給你們也是個很好的練習
- 好的
- A的逆矩陣，等於1除以行列式，也就是負1
- 再乘上A的伴隨矩陣
- 1, 1, 負2, 1, 0, 負1, 負2, 負1, 2
- 這一部分就是負1，對不？
- 所以等於後面的這些取個負號就行
- 所以有——如果我沒粗心犯錯的話
- 負1, 負1, 2, 負1, 0, 1, 2, 1, 負2
- 我想這就是了——我檢查下，把所有的數字取負號
- 這就是A的逆矩陣
- 只花了我們17分鍾
- 剩下的我就留給你們了
- 因爲檢查和證明估計又得花上5到10分鍾
- 留給你們也是很好的練習
- 拿A乘以這個逆矩陣，看看乘積是否單位方陣
- 我們下段影片再見