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相關課程
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- 我們再來看一些矩陣乘法的例子
- 我認爲盡量多看些例題是學習的不二法門
- 所以我們來看一道更有難度的題
- 一開始，前後兩個矩陣能否相乘都不確定
- 這也許正是我們應當首先考慮的問題
- 比方說拿這個矩陣——
- 我寫得小點，免得空間不夠
- 3, 1, 2, 負2, 0, 5
- 要乘上矩陣 負1, 0, 2, 3, 5, 5
- 這些數都是我隨便寫的
- 你可能剛開始就有疑問：
- 這兩個矩陣能夠相乘嗎？
- 因爲從第一課影片的經驗來說
- 這兩個矩陣至少是無法相加的
- 你可以說這個3與後面的負1對應
- 這個1與後面的3對應
- 但是這個2卻沒有元素與之對應
- 所以你不能拿這兩個矩陣相加減
- 那麽問題來了，它們能夠相乘嗎？
- 關於矩陣乘法，我們學過哪些內容？
- 我們學過：假如它們能夠相乘，結果會是一個新矩陣
- 在完成例題之前，我們都將對這個新矩陣一無所知
- 但有一個簡便的方法，可以先求出它的維度
- 先看左上角的第一個元素
- 它是哪一個行向量與哪一個行向量相乘的結果？
- 它的行向量來自前一個矩陣的第一行
- 也就是這一行數字
- 要乘上那一列？
- 乘上這一列，對不對？
- 我們能夠計算這個行向量和這個行向量的點乘
- 因爲它們的長度一致
- 這是一個行向量，其長度爲3，對不對？
- 它是一個3×1的行向量，有3個元素
- 而這是一個1×3的行向量，同樣有3個元素
- 所以我們能拿它們前後相乘
- 同理，我們能拿第一行乘以第二列
- 得到右上角的這個元素
- 拿第二行乘以第一列，求出左下角的元素
- 第二行乘以第二列，得到右下角的元素
- 你實際上能看出——結果矩陣的維度是什麽？
- 我們把這個矩陣稱爲——我換種顏色
- 把這個矩陣稱爲A
- 它的維度是多少？
- 它有2行，有3列，所以是個2×3的矩陣
- 2×3的矩陣
- 後面與之相乘的矩陣稱爲B
- B的維度是多少？
- 它有——1, 2, 3——3行，有幾列呢？
- 1, 2——兩列，因此它是個3×2的矩陣
- 所以得出結論：兩個矩陣可以相乘的必要條件
- 是第一個矩陣的列數要等於第二個矩陣的行數
- 這裡A是2行3列，B是3行2列，它們可以相乘
- 再舉一例，比如說有一個矩陣C
- (小聲嘀咕)給這些字母加粗真的挺費時間的
- 它有幾行我不管
- 假設它有N行——N行A列，即N×A
- 它可以與矩陣D相乘
- 只要矩陣D有A行
- 只要這兩個——可以稱爲——“中間的數字”相等，是不是？
- 這裡的3等於右邊的3
- 爲什麽這一點是關鍵呢？邏輯是什麽呢？
- 因爲矩陣A的每一行，都有3個元素
- 因爲A一共有3列
- 而矩陣B的每一列，也有3個元素，與其行數相等
- 這麽分析很直觀，然而要想快速解題
- 你只需說：2×3、3×2，中間兩個數字相等
- 這兩個矩陣就可以相乘
- 我們收拾下屏幕，把這個乘法做完
- 我想我也許應該寫在下面
- 空間更大，也不用擦掉其他的內容
- 先準備好位置
- 這裡需要很大的空間
- 好的，要求第一行第一列的元素，應該怎麽辦？
- 要用紅色的行向量乘上橙色的行向量
- 也就是它們的點乘，對不對？
- 它等於3乘以負1——所有的式子我都寫下來
- 3乘以負1
- 加上1乘以0
- 加上2乘以2
- 這就是第一個元素
- 這裡的第二個元素該怎麽算？
- 用紅色的這個行向量，乘上後面這個行向量——
- 我想你們已經清楚整個流程了
- 最難的部分其實是保持注意力，不要粗心犯錯
- 也不要行啊列啊的搞混淆了
- 你可能要稍微動動腦筋，但說難並不真難
- 那麽具體怎麽做？
- 我們拿紅色的行向量，乘上黃色的行向量
- 結果就等於第一行第二列的元素，是不是？
- 因爲那是第一行的行向量、第二列的行向量
- 3乘以3
- 加上1乘以5
- 加上2乘以5
- 我們都是拿對應位置的數字相乘
- 第三個數字乘以第三個數字
- 第二個乘以第二個，第一個乘以第一個
- 只不過行向量是從上往下數
- 行向量是從左往右
- 最後把乘積加起來
- 好的，現在我們來算第二行
- 於是應該截取第一個矩陣的第二行
- 我用一種不同的紅色表示，免得混淆
- 就用這種鮮紅色
- 所以，我要用這個行向量乘上橙色的行向量
- 等於負2乘以負1
- 加上0乘以0
- 再加上5乘以2
- 就差最後一點了
- 我覺得這個顏色其實不太好
- 接下來我們要用這裡的第二行——
- 因爲要計算的元素也在第二行：第二行第二列
- 所以是這裡的第二行，以及這裡的第二列
- 結果是負2乘以3
- 加上0乘以5
- 再加上5乘以5（2是筆誤）
- 化簡一下，這裡是負3加上0再加上4
- 所以如果我沒算錯的話，就等於1
- 9加上5得14，再加10等於24
- 這裡是1，還有24
- 然後負2乘以負1，等於2，加上10
- 所以是12
- 負2乘以3，結果是負6，加上10
- 所以這裡是4
- 很有趣，拿一個2×3的矩陣乘上一個3×2的矩陣
- 結果怎麽樣？
- 結果得到一個2×2的矩陣
- 一個2×3的矩陣
- 乘以一個3×2的矩陣
- 得到一個2×2的矩陣
- 2×2從何而來？
- 就好像我們把中間的兩個3去掉了
- 得到剩下的就是2×2
- 所以推廣開來——在此之前，我再問你們一個問題
- 這個矩陣調換順序後還能相乘嗎？
- 這個結果，它等於A乘以B，簡寫爲AB
- 那麽我們能夠計算B乘以A嗎？
- 我們把下面的算式擦掉，來試一試
- 看看B能不能夠乘以A
- 也許你們猜出答案了，因爲既然我都這麽問了
- 也許你們還猜不出
- 調換一下位置，我們來算B乘以A
- 矩陣B是負1, 0, 2, 3, 5, 5
- 矩陣A是——調換下位置
- 它是3, 1, 2, 負2, 0, 5
- 我寫矩陣時習慣用方括號
- 有些人習慣用大括號
- 這些都只是標注方式，沒有實質區別
- 看看你們自己會不會做這個乘法
- 我們已經學會：要從第一個矩陣截取行向量
- 從第二個矩陣截取行向量
- 所以理論上，左上角的元素應該等於
- 這一行，乘以哪一列？
- 其實可以看出，這兩個矩陣能夠相乘
- 爲什麽？
- 因爲這個矩陣是3×2
- 而這個矩陣是2×3，對不對？
- 因此我們要拿紅色這一行乘上什麽？
- 乘上這一列，得到第一個元素，對不對？
- 那麽它等於多少？
- 它等於負1乘以——我本來打算舉個反例的
- 沒想到顛倒順序後，中間的兩個數還是相等
- 兩個矩陣實際上還是能夠相乘
- 我本來想舉個反例的，不過也沒關係了
- 讓我們把這道題做完
- 多看一道例題總不會有害處的
- 這道例題是我隨意出的
- 我們來把它算完
- 我們先來看看，結果矩陣的維度如何？
- 答案很有意思
- 它實際上是一個3×3的矩陣
- 一個更大的矩陣
- 我們開始計算吧，你也可以停下影片自己動手試試
- 這一行乘以這一列
- 也就是負1乘以3，得負3
- 加上3乘以負2——也就是負6
- 然後是這一行乘以這一列
- 等於負1乘以1，加上3乘以0
- 結果就等於負1，對不對？因爲3乘0得0
- 這裡加個括號，中間的是負1
- 然後來算第一行第三列的元素
- 所以要用第一行乘以第三列
- 即是這一行乘以這一列
- 你大概會覺得，這種活留給電腦來算更好
- 負1乘以2等於負2，加上三五得15
- 結果等於13
- 繼續往下算
- 現在我們要拿——
- 計算量很大啊，我都冒汗了
- 我們拿這一行分別與這三列相乘
- 實際上，我們以後會學習不同的方法來做這個乘法
- 甚至有很多方法會用到電腦
- 但我們這裡還是用傳統的方式
- 好的，用這一行分別乘以這三列，是不是？
- 0乘以3，加上5乘以負2，結果是負10
- 0乘以1，加上5乘以0，這個簡單，就是0
- 0乘以2，加上5乘以5，等於25
- 馬上就完成了，還差一點
- 現在我們要拿這一行分別乘以這三列
- 2乘以3得6，加上負10，等於負4，對不對？
- 2乘以3，加上5乘以負2
- 結果是負4，6加負10，對不對？
- 2乘以1，加上5乘以0，就是2
- 2乘以2，加上5乘以5
- 即4加上25，等於29
- 第一個元素化簡，負3減6，等於負9
- 這就是最終結果
- 一個3×2的矩陣乘以一個2×3的矩陣
- 結果是一個3×3的矩陣
- 這個3×3從何而來？
- 第一個3是第一個矩陣的行數
- 第二個3是第二個矩陣的列數
- 這是有其道理的
- 因爲我們從第一個矩陣截取行向量
- 從第二個矩陣截取行向量
- 接下來，我們來看一個無法相乘的例題
- 舉一個很簡單的例子
- 比如說，矩陣2, 1
- 這實際上是個行向量
- 這個矩陣乘上——我想想——
- 這是個1×2的矩陣（2×1是錯的，後面會更正）
- 乘上——我隨便寫幾個數——1, 2, 3, 4, 5, 6
- 那麽，它們能相乘嗎？
- 這是個什麽矩陣？它是個3×2的矩陣
- 這兩個矩陣能夠相乘嗎？
- 應該怎麽計算？
- 從第一個矩陣截取行向量
- 從第二個矩陣截取行向量
- 哦，對不起，這裡不是2×1
- 1行2列，這應該是1×2，對不對？
- 這是個1×2的矩陣
- 一個1×2的矩陣能量和3×2的矩陣相乘嗎？
- 我們從第一個矩陣截取行向量
- 也就是拿這一行，去乘這一列
- 來得到第一個元素
- 這一行乘以第二列以便算出第二個元素
- 底下還有沒有我不知道——
- 那麽，它們能相乘嗎？
- 依據我們對矩陣乘法的定義，它們能相乘嗎？
- 我們來看，這裡的2乘以1，加上1乘以2
- 然後這個3沒有相乘的對象了
- 所以，按照我們對矩陣乘法的定義
- 這兩個矩陣無法相乘
- 其實你並不必動手計算
- 只需要看看兩者的維度
- 分別是1×2和3×2
- 這裡的2不等於這裡的3
- 第一個矩陣的列數不等於第二個矩陣的行數
- 所以這兩個矩陣無法相乘
- 這是個有趣的事實，值得好好想想
- 這道例題也很好，值得你們思考
- 有時候你能做A乘以B，但不能做B乘以A
- 我想讓你們自己構想一道這樣的例題
- 我已經講了15分鍾了，我們下節課再見