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相關課程
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- 在上段影片中 我從這個矩陣開始講起
- 從這裡開始講 我們說這個矩陣的展成空間
- 恰好就是行向量的展成空間
- 我在這裡寫出來
- 但是我們並不清楚它是否線性獨立
- 如果它不是線性獨立的
- 那麽它就不是一個充分的基底
- 對它進行運算 我們得到了
- A的零核空間
- 我們發現A的零核空間
- 不只有零向量
- 這只是這兩個向量的展成空間
- 也就是說 這些行向量不是線性獨立的
- 我們以前看過幾個這樣的影片
- 我們利用它們
- 不線性相關這個信息
- 嘗試通過去掉多余的向量
- 得到線性獨立
- 我們可以去掉這個和這個
- 因爲這兩個向量本質上是
- 和自由向量相關的列
- 我們可以利用
- 小技巧來做
- 我們設其中一個等於0
- 另一個等於-1
- 然後求出主變量
- 然後令另外一個等於0
- 另外一個等於-1
- 然後求出主變量
- 你可以把它想象成一個一般化的過程
- 如果你有一係列自由變量
- 你可以設除其中一個外其它全爲0
- 而那個不爲0的
- 你可以令其等於-1
- 你可以用主變量和的形式來表示
- 其中主變量是自由變量的一個函數
- 其中主變量是自由變量的一個函數
- 一般而言 這是做這種題的捷徑
- 我們在這裡必須要做的更慢一些
- 如果我有一個矩陣A
- 我想求出它的列空間的基底
- 列空間就是這些向量的展成空間
- 但是如果我想得到一個線性獨立的基底
- 我需要計算出
- 線性獨立的向量
- 我要做的就是把它化成行簡化階梯形
- 當我把它化成行簡化階梯形時
- 我在這裡已經做了
- 這個就是A的行簡化階梯形
- 我可以看到
- 和主變量相關的變量
- 這個是x1
- 往上滾動一些
- 這個和x1相關 對吧？
- 當你把它和x1相乘時
- 你得到了這一列乘x1
- 這一列乘x2
- 這一列乘x3
- 這一列乘x4
- 當你看到一個普通的矩陣A
- 當你看到矩陣A時
- 它是一樣的
- 如果你寫成Ax=0
- 這一列與x1相關
- 這一列類似的和x2 x3 x4相關
- 你可以做的是變形成行簡化階梯形
- 你可以看出那一列有軸元
- 或者說和主變量相關
- x1和x2和主變量是相關的
- 或者它們是主變量
- 它們與前兩列相關
- 因此前兩列是列空間的一個基底
- 我是怎麽得到的呢？
- 我是憑空想象的嗎？
- 當然不是
- 它來源於一個事實
- 你總可以構建一種情形
- 其中和自由變量相關的向量
- 你可以把它們寫成
- 和主變量相關的向量的線性組合
- 我們在上次做了這麽一個特殊的例題
- 但是有一種快捷且邪惡的方法來做
- 我不知道算不算是邪惡
- 取這個矩陣
- 把它化成行簡化階梯形
- 你可以看到這一列
- 和這一列是和自由變量相關的
- 因此 這一列和這一列必然
- 必然和自由變量是相關的
- 解集和Ax=0
- 或者行簡化階梯形的Ax=0是相同的
- 它們是一樣的
- 因此 如果這一列和這一列
- 是和自由變量是相關的
- 也就是說 通過恰當的選取自由變量的值
- 它們可以被表示成
- 和主變量相關的列的線性組合
- 也就是這一列
- 和這一列
- 這兩列就是A的一個基底
- 我們可以看到
- 沿著往下看
- [1,2,3]和[1,1,4] 我們做了很多工作
- 使用了各種方法
- 我們說這是A的列展成空間的基底
- 現在完成所有的工作 我們來看
- 我們是否能
- 實現A的列空間的可視化
- 我有一種奇怪的感覺
- 我也許說過幾次列空間
- 但是列空間是什麽樣的呢？
- 有很多種方式來思考
- 它是什麽樣的
- 其中一種方法是 看到展成空間是兩個向量
- 它是R3的一個元素
- 這是R3中的一個向量 這個也是R3中的一個向量
- 我來畫出x軸和z軸
- 正常情況下 這是y軸 z軸 和x軸
- 如果我想在三維空間中表示的話
- 向量[1,2,3]是這樣的
- 這是1 這是1，2 這是1,2,3
- 因此這是1 上面是3
- 在標準形式下 向量就是這樣的
- 這是這個向量
- 向量[1,1,4] 這是1 上面是4
- 因此它是這樣的
- 實際上在三維中很難去畫它們
- 你們只需要了解這種思想
- 但是列空間是這兩個向量的展成空間
- 是這兩個向量的所有的線性組合
- 因此這兩個向量所有的線性組合
- 會形成一個包含著
- 兩個向量的線性組合
- 如果對這兩個向量進行倍數組合
- 你可以得到任意的向量
- 如果將它們兩個相加
- 你會在這裡得到一個向量
- 如果你如果加上這個向量的兩倍
- 你會在這裡得到一個向量
- 如果你們把它們看成位置向量
- 它們實質上是R3上的平面
- 我們來看看能否得到這個平面的方程
- 怎麽來做呢？
- 我們知道根據一個法向量點乘任意一個（向量）
- 我們可以計算一個平面的方程
- 我來寫出法向量
- 法向量點乘
- 平面上任意一個向量
- x減去平面上任意一個點
- 或者說是平面上任意一個向量
- 因此我減去向量[1,2,3]
- 等於0
- 我們利用這個信息來計算出
- 這個平面的方程
- 但是法向量是什麽呢？
- 我怎麽來尋找這個平面的法向量
- 首先它是一個向量
- 在不混淆問題的前提下
- 我用一種方法來畫出來
- 如果平面是這樣的
- 那麽法向量就是這樣的
- 我怎麽來得到一個法向量
- 我們知道
- 對任意兩個向量做叉乘\N【請牢記：“叉乘”和“外積”是一樣的】
- 在R3上唯一定義的叉乘
- 我會得到一個向量
- 它和這兩個向量都垂直
- 我們來做叉乘
- 這是思考問題的很好方式
- 因爲它整合了我們目前知道的
- 所有的知識
- 定義法向量
- 等於[1,2,3]×[1,1,4]
- 結果是什麽？
- 首項先忽略不考慮
- 我得到2<i>4-3<i>1</i></i>
- 2<i>4等於8</i>
- 而2<i>4-3<i>1</i></i>
- 是8-3
- 第二行 有1<i>4</i>
- 我要做的是1<i>4-3<i>1</i></i>
- 但是我需要求相反數
- 3<i>1 等於3 減去1<i>4</i></i>
- 我們以前做過好多次
- 如果你感覺很陌生
- 請複習叉乘的影片
- 你忽略了中間行
- 正常情況下是 1<i>4-3<i>1</i></i>
- 但是中間行需要求相反數
- 我們只對R3是這樣定義的
- 因此我們得到了3<i>1-1<i>4</i></i>
- 對於最後一行
- 是1<i>1</i>
- 1減去2<i>1就是2</i>
- 最後等於向量[5,-1，-1]
- 通過叉乘的定義
- 我已經給你們展示了很多次
- 它和這兩個向量是垂直的
- 因此 它也和這兩個向量所有的線性組合
- 是垂直的
- 現在我們求出了法向量
- 我們可以定義這個平面的傳統意義下的方程
- 我們知道法向量是[5,-1,-1]
- 它是通過取基底向量
- 和平面上任意的向量的叉乘得到的
- 我寫出任意一個向量
- 令它等於[x,y,z]
- x，y，z 由於坐標軸是這樣定義的
- 這個就是x軸
- 是x y z
- [x,y,z]減去 我選擇這兩個向量中的一個
- 隨便選擇 減去[1,2,3]
- 這個式子等於0
- 這一項等於多少？
- 它等於
- 我來把它寫的更簡潔一些
- [5,-1,-1]點乘
- 這一項等於多少？
- 是[x-1,y-2,z-3]
- 點乘積等於0
- 點乘積是什麽？
- 5<i>(x-1)加上-1乘---</i>
- 加上-1乘(y-2)
- 加上-1乘(z-3)
- 結果等於0
- 這個就是點乘的定義
- 簡化這個式子
- 得到5x-5-y+2-z+3=0
- 2+3=5 再減去5 抵消了
- 常數項是0
- 我們得到5x-y-z=0
- 這個平面是A的列空間
- 現在我們已經證明 它確實是A中的一個平面
- 並且這個平面是經過原點的
- 並且這個平面是經過原點的
- 如果你令z=y=z=0
- 那麽它滿足這個方程
- 這是有意義的
- 因爲我們說過一個矩陣的列空間
- 必須是非空次空間
- 而一個非空次空間必然含有一個零向量
- 在R3空間中坐標就是[0,0,0]
- 現在我要做的是看我能否
- 用完全不同的方法
- 來得到相同的答案
- 我都忘了 回頭來看看原始的A
- 我在上面已經做了很多標記
- 我只需複製粘貼
- 原始的A在這裡
- 複製
- 粘貼
- 不對
- 這不是我想要的
- 我來想想
- 我把複製粘貼搞錯了
- 我來做這一點 我不想浪費你們的時間
- 複製 粘貼
- 好的 向下滾動
- 我們來找到一塊幹淨的地方
- 把A放下面
- 我已經用了很多空間了
- 開始拖動
- 把A放在這裡
- 我要做的是看
- 能否用完全不同的方法來算出結果
- 這個結果
- 我是通過計算出了列展成空間的基底得到的
- 通過對兩個基底向量
- 做叉乘得到法向量
- 然後利用法向量
- 和差做點乘
- 這個差是這個向量
- 你用任意一個向量減去其中一個基底向量
- 用這種方法求得平面上的向量
- 這個就是在此平面上的向量
- 平面上的任意一個向量
- 點乘法向量都等於0
- 實際上 我應該做一個邊注
- 我之所以說
- 法向量是這兩個基底向量的叉乘
- 是因爲我知道這兩個基底向量
- 不僅指定了平面上的某些點
- 我們稱這個向量是藍向量
- 它們不僅僅指定了平面上的某些點
- 而且它們本身就是完全在平面上的
- 我是怎麽知道的呢？
- 因爲我知道
- [0,0,0]向量是在展成空間中 對吧？
- 我們知道 如果在標準位置上畫向量的話
- 點[0,0,0]在展成空間中
- 我們還知道它的終點也在展成空間中
- 那麽這整個向量就在平面上
- 同樣的 這整個向量就在這個平面上
- 因此 如果我做叉乘
- 任何和這兩個向量或者這兩個向量的組合
- 垂直的向量必然和這個平面垂直
- 我們在這裡得到了這個結果
- 我們利用這個式子
- 和列展成空間的其它定義
- 其它的定義 它確實是一個等價的定義
- Ax所有的有效解
- 其中x是Rn中的元素
- 另一種思路是 我們可以把它看成是
- Ax=b的所有的有效b
- 其中x是Rn中的元素
- 它倆是等價的敘述
- 我在這裡剛定義了Ax=b
- 因此 它倆是等價的描述
- 我們用這個式子繼續下去
- 我們定義了b
- 因此b是R3中的向量 對吧？
- 我們已經有了類似的直覺力
- 取Ax b=[x,y,z]
- 我想計算出
- x y z 我能否得到一個有效解
- 取向量A 用它乘以--
- 實際上我想到了一個最好的方法
- 我們剛用過
- 如果要求解Ax=b
- 實際上 就産生了一個增廣矩陣
- 其中有了一個矩陣A
- 我可以用b進行增廣
- 把它化成行簡化階梯形
- 它實際上代表了解空間
- 我們就這麽做
- 我在這裡用b構造了一個增廣矩陣
- 我在這裡寫出來x y z
- 這個就是A關於b的增廣
- 這個是A 這個是b
- 我來把它化成行簡化階梯形
- 然後求出解空間
- xyz定義了一個有效b
- 我得到了什麽
- 我要做的第一件事
- 在以前的練習中做過
- 保持第一行不變
- 是1 1 1 1 x
- 我們用第二行減去第一行的兩倍
- 來代替原來的第一行
- 我來這樣做
- 我來用第一行的二倍減去第一行
- 來代替原第二行
- 因此 用二倍的的第一行減去第二行
- 這裡我們得到2x-y
- 有2<i>1-2=0</i>
- 而2<i>1-1=1</i>
- 且2<i>1-4=-2</i>
- 然後 2<i>1-3=-1</i>
- 很簡單
- 現在我用第三行減去第一行的3倍
- 來替換第三行
- 用第三行減去
- 不是 我來用這種方法做
- 第三行減去第一行的3倍
- 我先做b這一列
- 因爲我能記得我做的是什麽
- 第三行減去第一行的3倍
- 有3-3<i>1=0</i>
- 又4-3<i>1=1</i>
- 且1-3<i>1=-2</i>
- 然後2-3<i>1=-1</i>
- 現在我可以直接變形到行簡化階梯形
- 但是我已經注意到了一些有意思的事情
- 我從已知的出發嘗試去消去第三行
- 消去第三行的最好方法就是
- 替換第三行
- 因此 我甚至無需擔心第一行
- 因此 我甚至無需擔心第一行
- 第二行是 0 1 -2 -1 2x-y
- 現在我不需要擔心第一行了
- 爲了化簡成行簡化階梯形
- 我只需替換第三行
- 用第二行
- 減去第三行來替換它
- 因此 你得到2x-y-z+3x
- 我只是用它來減它
- 因此是-z+3x
- 有0-0=0
- 又1-1=0
- 且-2-（-2）=0
- 如果它等於0
- 那麽Ax=b就有有效解
- 如果它不等於0會怎樣？
- 我們會看到一堆0等於某一個數
- 它是不可能有解的
- 如果我選擇一個非零的b
- 那麽我無法求解
- 如果這一項等於5 如果我去選擇x y z
- 使得這個表達式等於5
- 那麽Ax=b是無解的
- 因爲它會得到0=5
- 所以這個必須是0
- 爲了使b有效
- 2x-y-z+3必須爲0
- 或者說b在A的列空間中
- 就必須滿足
- Ax等於0
- 它必須等於0
- 它等於什麽？
- 加上2x+3x
- 我得到5x-y-z=0
- 這和我們之前
- 用基向量得出的結果一致
- 你知道爲什麽嗎？
- 根據定義基底向量的定義
- 它們必須是在自身的列空間中
- 通過在叉乘
- 我來尋找一個法向量
- 我說過
- 叉乘和任意一個空間中的有效向量
- 減去其中一個基底的乘積 必定等於0
- 然後我得到了這個方程
- 我們也可以用其它方法來做
- 我們也可以通過令b等於這個
- 來解這個方程
- 我們說過什麽b會給出一個有效解
- 我們唯一的有效解
- 當這一項等於0時得到
- 因爲這一行剩下的都是0
- 當我令它等於0時
- 我們得到了相同的方程
- 希望你們感覺到還令人滿意
- 因爲我們用兩種不同的方法
- 來求解這個問題並得到相同的結果
- 它向你展示了線性代數之美
- 它們其實相互融洽的