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Linear Algebra: Matrix condition for one-to-one trans : Showing that the rank of the of an mxn transformation matrix has to be an for the transformation to be one-to-one (injective)
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- 假設某矩陣爲A
- 如果嘗試去求矩陣A的零核空間
- 我想問的是
- 如果建立起Ax=0向量的方程
- 那麽零核空間就是所有能滿足
- 此方程的所有x了
- 所有滿足方程的x
- Ax=0向量 或者
- 你可以稱之爲一個方程組
- 解題所采用的方法 此前我們已經
- 在很多集之前運用過了 你可以做出
- 一個增廣矩陣
- 這個增廣矩陣是這個樣子的
- 0向量在右邊
- 然後需要做一堆行運算
- 將矩陣左手邊化成行簡化階梯形的形式
- 這個過程需要進行一堆運算
- 直至把左手邊化成行簡化階梯形爲止
- 讓我們稱之爲矩陣A的行簡化階梯形
- 然後 矩陣的右手邊保持爲0
- 因爲哪怕你做了同樣的行運算
- 當你對0做行運算的時候 你最後只會
- 在右邊得到向量0
- 然後當你不增廣。。。 當你將方程組
- 變回這個樣子的時候 由於這兩個方程組
- 是等價的的 你的解集
- 就會是這個樣子的了
- 讓我把它寫成這樣
- 所求出的解集就等於
- 向量的數乘和
- 假設 自由元
- 變成了向量的數乘和
- 大家看到這個倍數乘以。。。
- 我會描述出一般的狀況
- 但這會有某個倍數乘以 假設是
- 向量1加上 某個不一樣的純量 乘以向量2
- 這些純量就是自由變量了 乘以向量2
- 直至...c
- 乘以第n個向量
- 我繼續從一般的角度講
- 此前我們沒有看到過多於兩個
- 或者三個向量的例子
- 但基本上 這就是被這些向量
- 所張成的零核空間
- 得到一個等式 所得到的解集
- 是這個樣子的 可以稱之爲零核空間
- 此前我們已經做過很多次了
- 零核空間就是
- 所有的這些向量的線性組合
- 或者由它們張成
- 從n1 n2 一直到nn
- 這裡面沒有任何新東西
- 我只是在重申一些已經見過多次的東西
- 很多次了
- 事實上 在之前的影片中我們已經見過了
- 可能之前我沒有這麽明確地寫出來
- 但當你處理非齊次方程的時候
- 又要怎麽做呢？
- 非齊次方程式這個樣子的
- 如果要解出Ax=b
- 我會做一些類似的東西
- 首先做一個增廣矩陣
- 把矩陣A放在左邊 將向量b放在右手邊
- 然後 我會通過一堆行運算
- 將做寫成行簡化階梯形的形式
- 現在就做吧
- 左手邊的部分就是
- 矩陣A的行簡化階梯形
- 然後右手邊 無論對A做什麽運算
- 都要對一整行進行運算
- 所以同樣要對向量b進行運算
- 所以在這裡我會有一些新的向量
- 我或者稱之爲向量
- 或者稱之爲b'
- 它和b是不一樣的
- 但現在叫它做b'吧
- 當你回到...
- 當你跳出增廣矩陣
- 然後重新將其寫成一個方程組
- 像上一個影片那樣對其求解的時候
- 你就可以求出解集了
- 滿足條件的解集可以被寫成
- x=b' 不論這個新向量在哪兒
- 這個b'加上某個東西的時候
- 就是這個樣子的
- 看起來就是這個樣子的 複製粘貼
- 使它變成這個樣子
- 看看 如果複製它
- 複製然後粘貼
- 編輯一下 複製 然後粘貼
- 就變成這個樣子了
- 在上一段影片當中 給出這個東西的時候
- 就可以想到 這個非齊次方程的解集
- 和某個特解等價的
- 讓我們稱之爲特解x
- 某個特解 加上零核空間裏的某個元素
- 你可以說 就是加上某個齊次解
- 如果我們爲a b和c挑選特定的值
- 以及張成零核空間的
- 不同向量
- 就得到特定的齊次解
- 所以 在上一段影片中 沒有嚴格給大家
- 展示的就是 非齊次方程組的的任意解
- 讓我這樣寫 任意解 用白色來寫
- 這不是白色 非齊次方程組的任意解
- Ax=b 我說的
- 某個特解 會以這個形式
- 這裡的這個形式 或者我應該用綠色來做
- 正正這個位置 當你寫成
- 行簡化階梯形形式的時候 它就會變成向量b'
- 加上某個齊次解
- 即零核空間的某個元素
- 我還沒向大家證明 但我所說的
- 就是這樣
- 這段影片中 我要做得
- 更加嚴謹一些
- 但其實那還是很簡單粗暴
- 首先 讓我們證實這是一個解
- 先證實這是一個解
- 把它放到原方程中去
- 回憶一下 原方程爲Ax=b
- 證實一下
- 將這個寫成一個方程
- 這個特解 加上某個齊次的解
- 會使Ax=b嗎？
- 要得到該結果的話 將其代入x的位置就可以了
- 讓我來試一下
- A乘以這個東西 乘以某個特解
- 加上某個齊次解會等於
- A乘以特解 加上
- A乘以零核空間的某個元素
- 這等於什麽呢？
- 會等於b
- 對吧？
- 這就是這個方程的
- 一個特解
- 那個會等於b 而這將等於
- 0向量 因爲這就是
- 齊次方程的解
- 這就等於b+0 或者說
- 就等於b
- 矩陣A乘以這個向量其實就等於b
- 所以這就是一個解
- 嗯 這就是解
- 下一個問題是 非齊次方程組的
- 每一個解 或者說非齊次方程組的
- 任意解都以這個形式出現嗎？
- 對於Ax=b的任意解 采用x等於
- 某個特解 加上零核空間的某個元素
- 或者加上一個齊次解 結果也是一樣的
- 讓我們試一下
- 用向量A<i>x的時候會發生什麽</i>
- 讓我用這個方式寫
- 假設x是Ax=b的任意解
- 讓我們從這裡開始
- 讓我們看看用A<i>x減去某個</i>
- 這裡某個特解的時候 會發生什麽？
- 當我們分配矩陣外積的時候
- 會得到A乘以任意解
- 減去A乘以特解
- 這會等於什麽呢？
- 我們說 這是Ax=b的一個解
- 將會等於b
- 當然了 當你將其乘以A的時候 這裡的任何一個解
- 都會等於b
- 那就是b-b 所以最終就會得到
- 0向量
- 另一種思考的方法是 向量x減去
- 特解就是
- Ax=0的解
- 如果將這個插入這裡
- 將它放在這裡 然後將它
- 乘上向量A 就會得到0向量
- 這樣做之後會得到0向量 因爲當你
- 用A乘以這裡每一項 你就會得到b
- 得到b-b
- 最後得出0向量
- 所以你可以說 任意解x減去特解
- 會得到零核空間中的元素
- 對吧？
- 定義上說 零核空間就是
- 所有滿足這個方程的x
- 既然它是零核空間中的元素 就可以說
- 它等於...任意解減去特解
- 等於零核空間中的某個元素
- 可以說 它等於一個齊次解
- 那可能有多於一個
- 齊次解
- 如果將特解加到方程的兩邊
- 就會得到任意解 記住 我們假定
- x是方程的任意解
- 非其次方程的任意解
- 等於一個齊次解加上一個特解
- 加上一個特解
- 我們已經從兩方面都證明過了
- 這就是非齊次方程的一個解
- 非齊次方程的任意解都是
- 這裡的這個形式
- 爲什麽我關心這個呢？ 我也已經
- 有點念念不忘地提了非齊次方程一段時間了
- 但之前已經講過變換的概念
- 應該是1-1映射的
- 那是變換可逆的
- 兩個條件之一
- 爲了能1-1映射 讓我在這裡畫出一個變換
- 假設這是定義域x
- 而這個是上域Y
- 有一個從X到Y的映射
- 爲了能使T做到1-1映射
- 我會這樣寫 1-1映射
- 讓T做到1-1映射的意思是
- 對所選的任何在上域中的b
- 對Ax最多只能有一個解
- 假設矩陣A是變換矩陣
- 可以講變換T寫成 等於某個向量
- 乘以在定義域中的向量
- 如果這是x的話 就可以寫成Ax
- 所以T從那裏映射到那裏
- 爲了保證變換爲
- 1-1映射 這意味著如果選取b的話
- Ax=b 最多只能有一個解
- 另一種說法就是 最多只能有一個元素
- 能夠映射到上域的元素中去
- 也可能沒有
- 這可以是無解的
- 但同時只能有一個解
- 正如剛才所說 對非齊次方程的任意解
- 讓我用藍色筆來寫 任何采用這種形式的解
- 如果有解的話
- 如果無解的話 那就很好
- 那仍然滿足1-1映射的條件
- 但如果有解的話 任意一個
- 采用這種形式的特定x 加上零核空間的元素
- 這個就是零核空間中的一個元素
- 這個東西正好適用於該方程
- 就這裡
- 無論是存在任意解
- 或者是無解 那都很好
- 仍然可以做到1-1映射
- 如果有一個解
- 最多只能有一個映射到該解上的元素
- 而且任意解都會以這個形式出現
- 我會向大家展示
- 爲了做到1-1映射 就只能有一個解
- 哪怕是一個解集 都只能有一個解
- 這裡只能有一個解 對嗎？
- 這是什麽意思？
- 就是說 這裡不能有
- 多於一個向量
- 必須有一個向量
- 在這裡只能有一個特解
- 對任意解集來說 這東西一定要是...
- 看你是如何定義的...
- 只能有一個特定向量
- 但這東西 只有當零核空間是平凡的
- 或者只包含0向量的時候
- 才能只有一個解
- 零核空間通常最少
- 包含0向量
- 在上一段影片當中 我一時興起說
- 所有零核空間都必須是空集
- 但從定義上說 零核空間事實上是
- 一個次空間 其中會
- 包含一個0向量
- 用A乘以0向量會得到0向量
- 所以零核空間都會包含0向量
- 但爲了只産生一個解 零核空間當中
- 只能包含0向量 所以它只能等於
- 所得的唯一的解只能是
- 你所求的的特解 要看你是如何求得的
- 但這只能是你的特解
- 我將在這裡繼續寫
- 爲了得到1-1映射
- 變換矩陣的零核空間一定要是平凡的
- 只能包含0向量
- 這在很多段影片前都已經介紹了
- 零核空間只含有一個平凡元素
- 那是什麽意思呢？
- 讓我說得更清楚一些
- 如果你的變整流量是這樣子的 [a1,a2..
- 一直到...an
- 然後用向量[x1;x2...xn]乘上它 所以零核空間就是
- 所有滿足此方程的x [0...
- 一直到第m個0爲止
- 如果零核空間是平凡的 那我們說
- 那就是做到1-1映射的一個條件
- 爲了使被這個矩陣規定的變換
- 做到1-1映射
- 如果零核空間是平凡的 意味著什麽
- 那意味著
- x1<i>a1+x2<i>a2...一直到</i></i>
- xn<i>an之和等於0向量</i>
- 在這裡這些都是同義表達
- 我只是將每一項乘上
- 其相應的行向量而已
- 都是一樣的
- 如果要讓零核空間等於0
- 那此方程的唯一解
- 就是滿足此方程的唯一純量
- 對不起 我把純量
- 寫成向量了 所以這個東西
- 這個表達式等於
- x1<i>a1+x2<i>a2+...+xn<i>an等於</i></i></i>
- 0向量
- 在這裡 從x1到xn都是純量
- 如果說零核空間等於0向量
- 那只有當x1+..+xn=0時
- 這個等式才成立
- 這就是線性獨立的定義
- 這就是說 零核空間等於0向量
- 意味著所有的行向量a 讓我這樣寫
- 就是說 a1 a2一直到an
- 都是線性獨立的
- 這是什麽意思呢？
- 如果這些向量都是線性獨立的
- 那麽列空間的基是什麽？
- 請記住 列空間是由基張成的
- a的列空間等於a1 a2
- 一直到an的張成的
- 正如剛才所說 如果是1-1映射
- 或者是其中一個條件 或者條件是1-1映射的話
- 零核空間就是0向量
- 或者只含有0向量
- 如果零核空間包含0向量的話
- 那所有列都是線性獨立的
- 若這些列都張成列空間
- 它們就是線性獨立的 就形成一個基
- 這意味著 a1 a2 一直到an
- 就是列空間的基
- 這意味著 如果所有行向量
- 都是線性獨立的話 根據定義
- 它們會張成列空間 而且都是線性獨立的
- 它們都是基 所以基的維數
- 列的維數
- 是形成矩陣的基 所需要的向量數量
- 那是等於n的
- 由於有n列
- 等式就等於n
- 換個說法的話 矩陣的秩
- 就等於n
- 現在就得到1-1映射的一個條件
- 只有當矩陣的秩等於n的時候
- 才能做到1-1映射
- 兩種說法都是可以的
- 如果假定某物爲1-1映射
- 那就是說 這裡的零核空間只能有0向量
- 所以只有一個解
- 如果零核空間只包含0向量
- 就說明它所有的列都是線性獨立的
- 這意味著 它們都是基的一部分
- 就是說你有n基向量
- 或者說你的秩爲n
- 現在從另一個方面闡述
- 如果矩陣的秩爲n 就意味著
- 這些東西都是線性獨立的
- 如果這些都是線性獨立的話
- 零核空間中就只有0向量
- 零核空間就是0向量的話
- 這部分就會消失
- 然後就只剩下一個解了
- 所以就是1-1映射了
- 所以說 若且唯若矩陣的秩爲n
- 才能做到1-1映射