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相關課程
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- 我有三個四元方程
- 你們可以猜猜 或者你們已經知道了
- 如果未知量個數多於方程個數
- 你就不能足夠地限制它
- 你實際上有
- 無限個解
- 這無限個解
- 還可以被限制
- 例如我們在四維空間中 在這種情況
- 因爲有四個變量
- 或許我們被限制在了一個四維空間中的一個平面內
- 或者如果我們在三維空間中
- 可能我們就被限制在一條直線上
- 一條線就是無數個解
- 但它是有更多限制的集合
- 我們來解一解一次方程組
- 我們以前用消去方解
- 而我想要做的是要引入矩陣的概念
- 矩陣實際上就是數組
- 這是對方程組的速記方法
- 我在這裡寫一個矩陣
- 我只寫一個係數矩陣
- 係數矩陣就是 我寫得清楚一些
- 係數矩陣就是係數
- 在這些一次方程的左邊
- 這裡的係數是1
- 這裡的係數是1
- 這兒的係數是2
- 你就得到2,2,4
- 還有2,2,4
- 還有1,2,0
- 還有1,2 而x3項這裡沒有係數
- 因爲這兒沒有x3項
- 我們就說x3項的係數是0
- 然後我們就有1，-1，和6
- 現在我就在這裡寫了
- 這就是係數矩陣
- 是這個方程組的
- 我要做的就是“增廣”它 我要“增廣”它
- 使得這些方程成立
- 現在我就來“增廣”它
- 我要做的是 我要畫一個線段
- 並寫下7,12，和4
- 我想你們能看出這就是
- 另一種寫方程組的方式
- 而由位置 我們就知道這些是
- x1項的係數
- 我們知道這些是x2的係數,而這樣做後
- 它確實幫助我們,免除每次都要寫x1和x2
- 我們可以同樣地應用到
- 這些地方
- 我們能做的是 我們可以將任何方程替換成
- 這個方程和任何一個純量相乘
- 加上任何方程
- 我們可以除去一個方程
- 或用純量乘以一個方程
- 我們可以將它們相減
- 我們可以交換它們
- 我們用這些方法來解這個方程
- 首先我想做的是就像我以前做過的一樣
- 我要將方程寫成
- 如果我可以 我就可以寫成1
- 使得每行領導係數是1
- 而這一列任何其它位置都是0
- 在過去我保證在它下面的
- 每一個元素是0
- 這就是我在之前的幾個影片裏提到過的
- 有時我們試著指出一些東西
- 是線性獨立的 或相反
- 現在我要確保如果這兒是1
- 如果在每一行領導係數都是1
- 那麽這一列的其它項都是0
- 我要算得的這個形式就叫做行簡化階梯形
- 我寫下來
- 行簡化階梯形
- 如果我們記這個增廣矩陣爲矩陣A
- 那麽我就要使它變成矩陣A的行簡化標準矩陣
- 而矩陣 其記法 就像向量一樣
- 你要使它們更漂亮並且是黑體
- 但要用大寫字母而不是小寫字母
- 我們接下來要更多地講解矩陣和向量
- 之間的關係
- 我們來解這個方程組
- 首先我要做的是 在一個理想的世界裏
- 我要使所有這裡的這些東西變成0
- 我先把這些東西替換成這樣的東西
- 就是第一項減去第二項
- 就是這樣做
- 第一行不變
- 還是1,2,1,1
- 而這裡是7
- 這是第一行
- 現在是第二行我來替換它
- 就是第一行減去第二行
- 那麽我得到了什麽
- 得到1減去1等於0
- 而2減去2等於0
- 而1減去2等於-1
- 然後1減去-1等於2
- 這就是1加1
- 然後7減去12是-5
- 現在我要消去這一行
- 我不想消去它
- 我要消去這個2
- 我要把它變成0
- 再用這一行替換這一行
- 就是-2乘以這一行
- 接下來我要做的是
- 將這一行減去2乘以第一行
- 我要將這一行替換成這一行
- 就是2減去2乘以1等於0
- 這就是所有內容
- 而4減去2乘以2等於0
- 而0減去2乘以1等於-2
- 而6減去2乘以1是6減去2 就是4
- 4減去2乘以7 就是4減去14 是-10
- 現在接下來做什麽
- 你可以看這一行
- 看看這一行說了什麽
- 當它突然都變成0了的時候
- 這兒什麽也沒有
- 如果這裡有非零項那麽我就要使這個變成0
- 即使它已經是0了
- 再來看這一行
- 第一件我要做的事是
- 我要使這個領導係數變成1
- 我要做的是
- 我要將整個這一行乘以-1
- 如果我將整個這一行乘以-1
- 我甚至不用重寫這個矩陣
- 這個變成+1，-2，+5
- 我想你能想明白它
- 現在做什麽？
- 好 將這個變成0
- 我來重新寫一下增廣矩陣 用算得的新形式
- 我要保持中間這一行不變
- 中間這一行是0,0,1，-2
- 然後是它的增廣項 這裡是5
- 我要做的是我要消去這個-2
- 爲什麽我不將這一行加上這一行乘以2
- 然後我得到-2，2 這就解決了
- 那麽我得到了什麽
- 好 這些首項是0
- 然後得到-2加上2乘以1
- 就是0
- 而4加上2乘以-2 就是-4
- 就是4加上-4 結果也是0
- 然後就得到-10加上2乘以5
- 好 就是-10加上10 得0
- 這也變成了0
- 一般來說 當我在消去時
- 在這種情況下我很高興
- 即在領導係數是1時
- 在它下面的都是0
- 我不關心1上面是什麽
- 我要做的是
- 把這些也變成0
- 我要使這些也變成0
- 我能做的是 我要將第一行替換成
- 第一行減去第二行
- 那麽1減去0是多少？
- 就是1
- 而2減去0是2
- 而1減去1是0
- 而1減去-2是3
- 而7減去5是2
- 這就算出來了
- 我們就把矩陣變成了行簡化階梯形
- 這就是這個矩陣的行簡化階梯形
- 我把它寫成黑體 這是矩陣A的結果
- 你知道它是行簡化階梯形
- 因爲每行領導係數都是1——
- 那麽哪些行領導係數是1？
- 這個是1 還有這個是1
- 它們是所在列中唯一的非零項
- 它們被稱爲軸元
- 我來標出來
- 這被稱爲軸元
- 軸元
- 它們是唯一的非零項
- 在它們所在列中
- 如果有任何全是0的行
- 這裡就有一行全是0
- 這一行都是0
- 就是這樣 這種形式
- 對於行簡化階梯形這一行必須在最下面
- 我們的領導係數只是——它們都是1
- 這是一點
- 它們不能是5
- 你們可能想要用5除這個方程 這個是5
- 所以每一行的領導係數都是1
- 在相鄰行的領導係數
- 都是在它前一行的
- 這個就在這個的右邊
- 這就是這個的樣子 形式
- 行簡化階梯形的樣子
- 如果你有任何全是0的項 就是在最下一行
- 最後 當然我想我說過這個乘法
- 這是這一行中的唯一的非零項
- 這對我有什麽用？
- 現在 我再回過來
- 回到一次方程來
- 我們記得這些是x1的係數
- 這些是x2的係數
- 這些是x3和x4前的係數
- 而這些是常數項
- 我可以重寫這個方程組
- 用行簡化階梯形 就是x1 x1加上2x2
- 這裡沒有x3
- 所以加上3x4等於2
- 這個方程 沒有x1 沒有x2 我有一個x3
- 我有x3減去2x4等於5
- 沒有其它方程
- 這個全是0
- 我可以化簡這個方程組成爲
- 這個方程組
- 將變量和軸元相結合
- 我們稱之爲主變量
- x1和x3是主變量
- 這些變量沒有和 軸元相結合
- 我們稱之爲自由變量
- x2和x4是自由變量
- 現在我們來解出 其實你們可以自己來解出
- 主變量
- 對於自由變量我們可以應用到任何變量
- 我是說在開始的這個方程
- 我們的方程數比未知量數更少
- 這就沒有很好地限制住解
- 在R4中就不會只有一個點是解
- 這就解出了這個方程
- 你將會有許多點是解
- 我們來解出主變量
- 因爲我們可以解出所有東西
- 這個方程告訴了我們 在這兒 它告訴了我們x3
- 用另一種好一些的顏色 x3等於5加上2x4
- 然後得到x1等於2減去x2 2減去2x2
- 就是2減去2x2加上 對不起 減去3x4
- 我從方程兩邊消去它們
- 這裡的這個東西是
- 我們可以得到的這個方程組的最好的解了
- 我可以取 事實上 自由變量的任何值
- 我可以對x2和x4取任何值
- 我就可以解出x3
- 我現在要做的是
- 用稍微不同的形式寫出這個 這樣就能看得更明白一些
- 當然看清四維空間的東西
- 是很困難的
- 所以我們可以更好地看待這些東西
- 就像這個解集
- 我們這樣來寫
- 如果我用向量形式來寫
- 解是向量x1,x2,x3,x4
- 它等於什麽？
- 好 它等於——我這樣來寫
- 它等於——我重寫一下 我僅僅
- 是用向量形式重寫這個解集
- 那麽x1等於2——
- 我寫成行向量——加上x2
- 我這樣來寫
- 加上x2乘以某個東西加上x4乘以某個東西
- x1等於2減去2乘以x2 或加上x2減去2
- 我在前邊寫一個-2
- 我可以說成是加上x4乘以-3
- 我可以在前面填上-3
- 這個東西 這些向量的第一項
- 就是表示的這個方程
- 即x1等於2加上x2乘以-2 加上x4乘以-3
- 那麽x3等於多少？
- x3等於5
- 將5寫在這裡
- 加上x4乘以2
- 沒有x2
- 我們就寫一個0
- 即0乘以x2加上2乘以x4
- 現在x2等於多少？
- 你可以說 x2等於0加上1乘以x2
- 加上0乘以x4
- 而x2就是等於x2
- 它是一個自由變量
- 相似地 x4等於多少？
- 易知x4=0+0<i>x2+1<i>x4</i></i>
- 這對我們有什麽用？
- 好 令人驚奇的是
- 我們表示我們的解集成爲了線性組合
- 成爲了三個向量的線性組合
- 這是一個向量
- 你可以把它看做是一個坐標
- 或者是一個位置向量
- 這是R4中的向量
- 你也可以把它看做是位置向量或R4中的坐標
- 你可以說 看 我們的解集就是——
- 這是在R4中的
- 這裡的每一個都有四個分量
- 但你可以將它想象成是在R3中
- 解集等於某個向量
- 這裡的某個向量
- 這就是這個向量
- 將它看做是位置向量
- 它的坐標是(2,0,5,0)
- 很明顯地 這個是四維的
- 它等於這兩個向量的組合
- 我們稱這個向量 這裡這個
- 我們稱之爲向量a
- 我們稱這個向量爲 這裡這個 向量b
- 這些點就是我們的解集就在這裡
- 或許我想我們可以稱之爲位置向量
- 這個位置向量看起來就像這樣
- 以原點爲起點
- 加上這兩個向量的組合
- 如果這個是向量a用不同的顏色來標出向量a
- 向量a看起來就像這樣
- 我們說向量a看起來就像這樣
- 然後向量b看起來就像這樣
- 這是向量b 而這是向量a
- 我不知道這個對你們來說是更簡單
- 還是更難去理解了因爲很明顯地我們
- 是在四維空間中處理問題
- 而我僅僅是在二維曲面上來畫
- 你可以想象到的是
- 是解集等於這個固定點這個位置向量
- 加上a與b的線性組合
- 我們在處理的問題 當然是 在R4中
- 我來寫下來
- 我們在R4中處理問題
- 但a與b的線性組合
- 是一個平面
- 你可以將a乘以2 將b乘以3
- 或a乘以-1 而b乘以-100
- 你可以用加法和減法
- 用a與b的線性組合
- 它們就構成了一個平面
- 這裡包含了位置向量就是包含了點(2,0,5,0)
- 這三個有四個未知量的方程的解
- 是在R4中的一個平面
- 我明白這個很難理解
- 或許我要在三維空間中再講一個例子
- 但幸運的是這至少給你們了一個說得過去的關於增廣矩陣的理解
- 行簡化階梯形是什麽
- 我可以用什麽樣的有效的方法
- 來處理矩陣 而不使這個係統變得混亂