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矩陣: 行階梯形矩陣 3 (英) : And another example of solving a system of linear equations by putting an augmented matrix into reduced row echelon form
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- 這裡我有三個四元一次方程
- 就像第一個影片一樣
- 在那裏我講了行簡化階梯形
- 而解一次方程組
- 要用到增廣矩陣
- 至少從本質上來講的話
- 看 我的方程數比變量數少
- 所以我可能不會得到足夠的限制
- 或許可能會有無限個解
- 但來看看我是不是正確的
- 我們來構造增廣矩陣
- 是這個方程組的
- 在x1前的係數是1 1 和2
- 在x2前的係數是2 2 和4
- 在x3前的係數是1 2 和0
- 這裡當然沒有x3項
- 所以我們可以把它看做是係數是0
- 而x4前的係數是1 -1 和6
- 然後在等號右邊
- 是8 12 和4
- 這就是增廣矩陣
- 現在將這個化成行簡化階梯形
- 首先我要做的是
- 我要將這兩行的這些東西化成0
- 我能怎麽做呢？
- 我要保持第一行不變
- 就是1 2 1 1 8
- 這條線就表示等號
- 我能做的就是 我要消去――
- 我把第二行換成
- 第二行減去第一行
- 就是1-1=0 2-2=0 2-1=1 1――
- 這裡-1減去1是-2 然後12減去8是4
- 就這樣 這看起來很好
- 看起來像列
- 或x2由第二列表示的
- 看起來像是自由變量
- 但我不是100%的確定
- 我們對所有行來作運算
- 那麽我們來取――先不管這個東西
- 我們將第三行換成
- 第三個方程
- 減去2乘以第一個方程
- 就得到2減去2乘以1等於0 4減去2乘以2
- 好 也是0 0減去2乘以1 是-2
- 而6減去2乘以1 是4 對吧？
- 是6減2
- 然後4減去2乘以8 是-16
- 而4減去16是-12
- 現在做什麽？
- 好 我們來看看我們能不能不管
- 這裡的這個-2項
- 我重新寫一下這個增廣矩陣
- 我要使第二行不變
- 所以就是0 0 1 -2
- 然後是等號
- 就是矩陣的增廣部分
- 現在我們看看能做什麽
- 我先不管上面的0
- 因爲我要得到行簡化階梯形
- 所以任何軸元
- 一般來說總是係數1
- 或項1
- 它是行中的唯一非零項
- 我怎麽擺脫這個？
- 好 我可以消去――
- 我可以將第一行替換成第一行減去第二行
- 所以1減去0是1 2減去0是2 1減去1是0
- 而1減-2 就是1加2 是3
- 然後8減4是4
- 現在怎麽去掉這個？
- 好 我把第三行換成第三行加上2乘以第一行
- 對不起 是換成第三行加上2乘以第二行
- 對吧？
- 因爲得到的是-2 加上2乘以這個
- 它們就消去了
- 我們來看這些0
- 就是0加上2乘以0 是0
- 而0加上2乘以0 是0 -2加上2乘以1是0
- 而4加上2乘以-2 就是4減去4 結果是0
- 然後就是-12 加上2乘以4
- 就是-12加上8 結果是-4
- 現在 現在這兒很有趣――
- 這很有趣
- 我把這個化成了行簡化階梯形
- 我有兩個軸元 這就是一個軸元
- 這也是一個軸元
- 它們是唯一的非零項
- 在它們所在列中
- 而這只是一種形式
- 但這個軸元是比這個低一行
- 所以這是在這個向右一列
- 我檢查過了
- 這個看起來像是――第二列
- 看起來像是自由變量――
- 這裡沒有軸元 沒有軸元
- 但我來看看
- 我們回到我們的方程組來
- 這些對於我來數就是數
- 我有一點兒機械化地
- 幾乎像是一台計算機
- 將這個化成行簡化階梯形
- 實際上 幾乎就像一台計算機
- 但我回到一次方程組來
- 來看看結果是什麽
- 得到1乘以x1 我把它寫成黃色
- 得到1乘以x1 加上2乘以x2 加上0乘以x3
- 加上3乘以x4等於4
- 很明顯地我可以忽略這裡的這一項
- 我甚至不用寫下它來
- 實際上 我不打算寫下它來
- 然後我得到0乘以x1 加上0乘以x2
- 加上1乘以x3
- 所以我可以寫成這樣
- 我只寫下這一項
- 即1乘以x3 減去2乘以x4 等於4
- 然後這個最後一項 我得到了什麽？
- 我得到了0x1+0x2+0x3+0x4
- 好 這些都是0
- 左邊要寫一些什麽東西
- 就寫0吧
- 這個等於-4
- 好吧 這個沒有任何意義
- 結果是0=-4
- 這是一個沒有意義的限制
- 這個不可能
- 因爲0不能等於-4
- 這個不可能
- 這就意味著
- 這樣做是不可能的
- 即要找到這三個方程的交集
- 或同時滿足它們的解集
- 當我們最初看這個的時候
- 在這個影片開始的時候
- 我們說只有三個方程
- 我們有四個未知量
- 或許有無窮個解的解集
- 但事實證明這三個――
- 我猜你可以稱這三個爲三個曲面
- 在R^4中不相交 對吧？
- 這些都是四維的
- 我們在R^4中處理問題 因爲我們有――
- 我想每一個向量都有四個分量
- 或有四個變量
- 是你可以考慮它的方式
- 並且要想象在R^4中的東西是很困難的
- 但如果我們在R3中處理問題
- 我們就可以想象這種情況
- 就比如在R3中有兩個平面吧
- 這就是一個平面
- 然後還有另一個
- 與它完全平行的平面
- 我有另一個完全平行的平面
- 與第一個
- 即使這些是在R3中的兩個平面
- 我舉一個例子吧
- 比如說第一個平面
- 是由方程3x+6y+9z=5來表示的
- 第二個平面是由
- 方程3x+6y+9z=2來表示的
- 這兩個在R3中的平面――這是在R3中的情形
- 這就是R3
- 這兩個平面 很明顯它們不相交
- 因爲很明顯地
- 這個有相同的係數加上5
- 這個有相同的係數加上2
- 並且 如果我們看一看開始
- 如果它不那麽明顯的話 我們就說
- 我們只有兩個有三個未知量的方程
- 或許這個有無限個解
- 但它不會這樣
- 因爲你可以消去這個方程
- 從下面這個方程 從上面這個方程
- 你會得到什麽？
- 你會得到一個非常熟悉的――如果你僅僅
- 從上面消去下面的方程
- 就會得到3x-3x 6yj-6y 9z-9z――
- 其實 我來在這兒算一下
- 對於這個減去這個
- 就會得到0=5-2 就是3
- 這個是和上面得到的非常相似的結果
- 所以當你有兩個平行平面時
- 在R3中
- 或對於任何兩個平行的方程
- 或一個平行方程的集合
- 它們不相交
- 你會得到
- 當你把它化成行簡化階梯形時
- 或你僅僅做一些基本的消去
- 或你解出這個方程組
- 你就會得到一個這樣的結果
- 即0對於什麽東西
- 這就意味著它無解
- 所以對於一般的情況
- 如果你得到0對於什麽東西 就無解
- 如果你得到相同數量的軸元
- 和列數相同數目的軸元
- 如果是這樣――
- 我寫下來 最好知道這一點
- 如果你得到0等於什麽東西
- 那麽這就意味著無解
- 如果是在R3中
- 那麽可能是兩個平行平面
- 在R2中就是平行直線
- 如果你遇到這種情況
- 即軸元個數和列數相同
- 就像1 1 1 1
- 這就是R^4的情形
- 我想你們明白了
- 這個等於a b c d
- 就有唯一解
- 現在 如果有任何自由變量――
- 自由變量看起來就像這樣
- 比如說我們有1 0 1 0
- 然後得到元素1 1 我細心一點兒
- 還有0 我這樣來寫
- 還有1 0 0 然後還有元素1 2
- 然後在這裡有一串0
- 然後這個等於0――記住
- 如果這個是一串0等於某個變量
- 那麽就無解
- 或等於某一個常數
- 比如說等於5
- 這個等於2
- 如果這就是行簡化階梯形
- 我們最後就得到
- 我們就得到了一些自由變量
- 這是一個自由
- 或我想我們可以稱這一列爲自由列
- 某種程度上來講這個也是
- 因爲它沒有軸元
- 這些是軸元
- 這是變量x2而這是變量x4
- 那麽這些就是自由的
- 我們可以令它們等於任何東西
- 那麽然後我們就有無限組解
- 就是說沒有唯一解
- 這實際上就是我們看到的第一個例子
- 這些就是三種情況
- 它們是你們每次都會見到的
- 熟悉它們會很有好好處
- 所以你們以後就不會對於
- 當你們看到諸如
- 像0=-4 或0=3
- 或遇到
- 一串0和一串行的時侯感到困惑
- 我要把這一點講得非常清楚
- 有時
- 你們看到一串0時
- 在增廣矩陣左邊時
- 你們可能會說
- 哦 或許沒有唯一解
- 我可以得到無限個解
- 但你必須看這裡的這個元素
- 只有當這整個是0的時候
- 並且有自由變量的時候
- 那麽才會有無窮個解
- 如果有像這樣的情形 0=a
- 如果這個等於7
- 那麽就很驚人地
- 這個就沒有解
- 這就是平行平面的情況
- 無論如何 幸運的是你們明白了這很有用
初次見面
好像又更了解你一點了
要常常來找我玩喔！
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