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矩陣的乘法 (part 1 英語) : 兩個 2x2 矩陣相乘
相關課程
- 看完上一段影片後，希望大家對矩陣的加法有所了解了
- 下面我們學習如何做矩陣的乘法
- 要始終牢記，這些矩陣乘法的規則是人爲設定的
- 我們本可以搞一套與此完全不同的規則
- 來做矩陣的乘法
- 但我推薦你們學習這一套方法
- 因爲它對你們的數學課有幫助
- 而且以後我們還將看到，實際上
- 有很多應用都是建立在這一套規則之上的
- 那麽我們先寫出兩個矩陣
- 兩個2乘2的矩陣，我們試著將它們相乘
- 我隨便寫幾個數字：2、負3、7、5
- 這個矩陣，或者說這個“數字表格”
- 乘上10、負8——
- 這裡讓我挑個好數字——12
- 最後是負2
- 現在，你們心裏也許有股強烈的願望
- 你們大概也能猜得到這種願望並不正確
- 就是像做矩陣加法一樣做矩陣的乘法
- 把對應位置上的數字相乘就行了
- 你可能會想：這裡的第一個元素
- 也就是第1行第1列的這個(1, 1)元素
- 應該等於2乘以10
- 而右上角這個元素應該是負3乘以負8，等等
- 矩陣的加法就是這麽進行的
- 也許可以自然地類推到乘法
- 這種想法是合理的
- 人類本來也可以這樣來定義矩陣的乘法
- 但現實世界裏並非如此
- 很不幸，現實世界裏的矩陣乘法要更加複雜
- 但只要多看一些例題，相信你們就能掌握
- 而且你們會覺得它其實挺直觀易懂的
- 那麽究竟該怎麽做呢？
- 這個第1行第1列的元素實際上等於
- 這兒的第1個行向量
- 乘上這一個行向量
- 這又是什麽意思呢？
- 看到沒有？
- 我們從第一個矩陣截取第一個行向量
- 從第二個矩陣截取第一個行向量
- 接下來呢？
- 如果你熟悉點乘的話
- 實際上第1個元素就等於這兩個向量的點乘
- 或者咱不說這些花哨的術語
- 它其實就是——我字寫小點——
- 2乘以10
- 加上負3乘以12
- 這兒快要寫不下了
- 那麽，這兒的第二個元素是多少呢？
- 這個元素仍然屬於乘積矩陣的第一行
- 但是位於第二列了
- 那麽我們就截取後面這個行向量
- 讓我們選個好顏色
- 這個和左邊的有點區別，是紫色的
- 那麽它就等於——等我把顏色換回來
- 2乘以負8——我就直接寫結果了
- 2乘以負8是負16
- 加上負3乘以負2
- 負3乘以負2得多少？
- 正6，對不對？
- 這就是第1行第2列的元素
- 它等於負16加6
- 現在我們計算下面兩個元素
- 它們都在第二行
- 所以我們從第一個矩陣截取第二個行向量
- 我知道這很容易搞糊塗
- 但我們會看很多例題
- 相信你們最終一定能理解
- 所以，左下角的這個元素就等於
- 黃色的行向量乘上紅色的行向量
- 即是說7乘以10，也就是70
- 加上5乘以12，也就是60
- 右下角的元素就等於
- 7乘以負8，也就是負56
- 加上5乘以負2，也就是負10
- 那麽最終的乘積就是
- 2乘10等於20，減去36，得到負16
- 這裡是負16加上6，結果爲10
- 而這個元素是70加上60，等於130
- 然後負56減去10，得到負66
- 這樣，我們就算出了這個矩陣乘以這個矩陣的結果
- 再來一個例題
- 這次我左邊寫得緊湊點，好讓右邊的更清楚
- 我們拿矩陣 1, 2, 3, 4
- 乘以矩陣 5, 6, 7, 8
- 這下還剩不少空間，可以把右邊寫得更齊整些
- 步驟還是一樣的
- 先計算左上角的這個元素，即第1行第1列這個
- 從前面這個矩陣截取第一個行向——不好意思
- 從前面這個矩陣截取第一個行向量
- 從後面這個矩陣截取第一個行向量
- 這兩個向量相乘
- 結果等於1乘以5，加上2乘以7
- 1乘以5，再加上2乘以7
- 對不對？就是這樣
- 而右上角這個元素
- 就等於這個綠色行向量乘上後面那個行向量
- 我們換種顏色
- 也就是1乘以6，加上2乘以8
- 讓我寫下來：1乘以6，加上2乘以8
- 接下來我們計算第二行
- 我們從第一個矩陣截取第二個行向量
- 我用這種棕色把它圈出來
- 也就是：3乘以5，加上4乘以7
- 3乘以5，再加上4乘以7
- 還剩右下角，即第2行第2列這個元素
- 所以我們在這裡截取第二個行向量
- 而在這裡截取第二個行向量
- 它就等於3乘以6，加上4乘以8
- 3乘以6，再加上4乘以8
- 化簡一下，這裡等於5加上——
- 我們還是先回顧下這些數字是從哪兒來的吧
- 看到這個綠色圓圈沒有？
- 綠圈裏的1和2，就是這裡的1和2
- 以及這裡的1和2
- 請注意，無論等號左右，它們都位於第一行
- 而紅圈裏的5和7，就是這個5和這個7
- 以及這個5、這個7
- 真有意思，紅圈是第二個矩陣的第一列
- 而在乘積矩陣裏，也同樣位於第一列
- 與之類似，藍圈裏的6和8
- 就是這個6和這個8，以及下面的這組6和8
- 最後，棕圈裏的3和4
- 就是這裡的3和4，以及這裡的3和4
- 當然，我們可以簡化一下
- 這裡是1乘以5，加上2乘以7
- 就是5加上14，等於19
- 這裡是1乘以6，加上2乘以8
- 就是6加上16，等於22
- 這裡是3乘以5，加上4乘以7
- 就是15加上28，即38加5 (看見可汗老師怎麽心算加法了嗎)
- 結果是43，如果沒算錯的話
- 最後是3乘以6，加上4乘以8
- 就是18加上32，也就是50
- 現在請思考一個問題——
- 我先把簡化的答案寫下來：19, 22, 43, 50
- 現在請思考一個問題 ：
- 我們做矩陣的加法時，順序是不重要的
- 比如A加上B——這倆都是矩陣，所以加粗了
- 就相當於B加上A
- 現在我想問：在做矩陣乘法時
- 這是基於我們對矩陣加法的定義
- “A乘以B” 和 “B乘以A” 是一回事嗎？
- 矩陣乘法裏，順序重要嗎？
- 這裡我告訴大家，順序至關重要
- 實際上，有些矩陣只能以特定的順序相乘
- 調換一下順序，它們就不能相乘了
- 我以後會給出相應的例題
- 但現在請記住一點，"A乘以B" 多數時候不等於 "B乘以A"
- 我建議你們試著用矩陣5, 6, 7, 8 乘以矩陣1, 2, 3, 4
- 還是我來演示一下吧
- 我快速地演示一遍，以證明上述的論點
- 先把上面的擦掉
- 這一塊也可以擦掉
- 只要記住，前面這個乘以後面這個
- 結果等於下面這個矩陣
- 現在調換順序——我會算得很快，免得你們覺得無趣
- 我們把兩個矩陣的順序顛倒
- 也算是又一道例題，這樣挺好
- 即是矩陣5, 6, 7, 8 乘以前面這個矩陣
- 我僅僅顛倒兩者的順序
- 來看看順序到底重要不重要
- 另一個矩陣是1, 2, 3, 4
- 這次我不會用線圈去指示了，直接計算
- 我想你們已經看了足夠多的示例了
- 第一個元素，等於前者的第一行乘以後者的第一列
- 也就是5乘以1，加上6乘以3
- 5乘以1——我們跳過算式，直接寫結果吧
- 也就是5，加上6乘以3，就是18
- 這裡的第二個元素是多少呢？
- 應該等於5乘以2，加上6乘以4
- 5乘以2得10，加上六四得24
- 就是用這一行乘以這一列
- 好，來計算剩下的一行
- 左下角的這個元素應該等於
- 這一行乘以這一列
- 就是7乘以1，加上三八得24
- 最後，求右下角的元素
- 只要拿這一行乘以後面這一列
- 就是7乘以2，得到14
- 再加上8乘以4，也就是32
- 那麽最後的結果等於
- 5加18等於23, 這裡是34
- 7加24得31, 最後是46
- 請注意，如果我們把這個矩陣稱爲A
- 這個稱爲B，看到沒有？
- 前一個例題，我們求出了A乘以B
- 它等於矩陣19, 22, 43, 50
- 而我們剛剛看到，如果順序顛倒
- B乘以A的結果是完全不同的矩陣
- 所以矩陣乘法裏，順序至關重要
- 這段影片就快結束了
- 下一課我會講講矩陣的類型——
- 我們已經知道，矩陣乘法裏，順序很重要
- 而下一課，我會講講哪些類型的矩陣能夠相乘
- 做矩陣的加減法時，需要前後矩陣的維度相同
- 因爲我們要拿對應位置的數字做運算
- 然而你們將看到，矩陣乘法有些不同
- 我們會在下段影片學到
- 再會
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