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矩陣積的結合性 (英) : 矩陣的積具有結合性
相關課程
- 我們知道 如果有某個線性變換
- 這個變換從X到Y
- 這些是集合 向量的集合
- T是一個從Y到Z的線性變換
- 我們可以構建一個S和T的組合
- 它是一個從X直接到Z的線性變換
- 我們在之前的影片中見過這個
- 我們的線性變換的定義
- 或者我們線性變換的組合
- 所以S和T的組合
- 應用到我們集合x中的某個向量x
- 我們的定義域 等於S作用到T(x)
- 這是我們的定義
- 然後我們繼續 我們說 看
- 如果S(x)可以表示成
- 矩陣乘法Ax
- 這個矩陣向量的的乘積
- 如果T(x)可以表示成
- 或者這個變換T可以表示成
- 乘積Bx
- 我們看到在這的這些
- 當然 如果我們這麽寫得話
- 這個等於A乘以T乘以x 就是Bx
- 我們已經在很多影片中看到這個等於
- 根據我們矩陣乘法的定義
- 這個矩陣AB 對吧
- 當你計算兩個矩陣的乘積
- 你就得到了另一個矩陣 乘積ABx
- 所以本質上你計算第一個線性變換
- 在這個組合裏 它的矩陣 就是A
- 然後你計算它和第二個矩陣的乘積
- 好了 以上這些就是做一下複習
- 讓我們計算三個線性變化
- 就是說 我們有這樣的線性變換H
- 我把它作用到一個向量x 它等於
- 這個矩陣A乘以我們的向量x
- 再有一個線性變換G
- 當我把它應用到一個向量x
- 它等於乘以那個vectrix
- 那個向量
- 這應該有個新的概念叫vetrix
- 它等於
- 這個矩陣B乘以這個向量
- 然後我又最後一個線性變換F
- 當它應用到某個向量x 它等於
- 這個矩陣C乘以這個向量x
- 現在我很好奇的是
- 當我把H和G結合在一起
- 然後把這個組合再和F結合在一起
- 這些都是線性變換
- 然後我把這個應用到某個向量x
- 這個必須在
- 這個定義域範圍內
- 我還沒有畫出它們的定義域
- 共同的定義域 但是我想你們已經知道了
- 那麽我們來研究一下這個
- 根據A的定義 回來
- 根據這個定義
- 在這結合的定義
- 我們可以把這個應用在這
- 所以我們可以想象這個就是我們的S
- 然後這是我們的T
- 那麽這個會等於什麽？
- 如果我就按照這種形式做的話
- 這個會等於S 這個變換S
- 應用到這個變換F 應用到x
- S是H結合G
- 所以它是H 我應該說H結合G
- H和G的結合 就是我們的S
- 然後我把這個作用到F 再作用到x
- F就是我們的T
- 我應用這個到F 再作用到x 就像這樣
- 現在這等於什麽
- 現在我們可以想象 這是我們的x
- 如果我們只是模型匹配的話 根據這個定義
- 這個和這個 這是我們的T
- 這是我們的S
- 所以如果我們做模型匹配
- 這等於什麽
- 這可以直接來源於
- 一個結合的定義
- 所以它等於S S是我們的H
- 在這個情況下是G G作用到x
- 但是不是一個x 是指這個向量
- 就是這個變換F作用到x
- 是G(F(x))
- 就等於這個
- H和G的這個結合
- F和H的結合
- H和G的這個結合
- 所有這些作用到x等於H(G(F(x)))
- 現在這個等於什麽
- 這個等於 我就在這做了
- 這個等於H 這個變換H 作用到
- 這項是什麽
- 我用粉色表示它
- 這是什麽？
- 這是G結合F作用到x
- 你可以把S替換成G 把F替換成T
- 你就得到了那個結果
- 這就等於
- G結合F作用到x
- 這就是整體這個
- 現在 這個等於什麽
- 它可能容易混淆看到兩個括號
- 顯示不同的顏色 但是你們知道怎麽回事
- 這個等於什麽
- 好了 回頭看這個結合的定義
- 我只想弄清楚我們在做什麽
- 這是 如果你想象這是T
- 這是S
- 這就是S結合T 作用到x
- 所以這就等於 我這麽寫
- 這等於 我不應該寫S
- 這是H結合
- G結合F
- 然後這個整體作用到x
- 那麽爲什麽我要做這些 一方面
- 向你們展示這個結合是相關聯的
- 我一路走到這 然後一路走回去
- 本質上沒什麽關係
- 你在哪放括號
- 這個結合H結合G結合F 等於
- H結合G和F的結合
- 這二者是等價的
- 本質上這二者
- 你可以重新表示它們
- 括號本質上是沒有必要的
- 你可以寫成H結合G結合F
- 整體作用到x
- 現在 我花點時間說明每一個
- 這樣的線性變換
- 我可以把它表示成矩陣乘積的形式
- 我爲什麽這麽做
- 我們以前說過 任意的結合
- 當你把S和T結合
- 矩陣形式的這個變換
- 這個結合會等於這個乘積
- 根據我們的矩陣矩陣乘積的定義
- 這個乘積 S變換矩陣
- 和T變換矩陣
- 這些會等於什麽
- 所以這個
- 如果你想到這個變換
- 這個表示形式
- 它的矩陣形式 我寫下來
- H結合G的一個矩陣形式
- 然後這個結合F 作用到x
- 會等於 我們之前已經看到
- 這些矩陣的乘積
- 所以這個結合 它的矩陣等於A B
- H和G 它們的矩陣分別是A和 B
- 它等於A B
- 我用括號把它括起來
- 然後你計算這個矩陣
- 你計算這個乘積
- 所以這個矩陣形式是AB 對吧？
- 這個矩陣形式C
- 這個方陣表現整體就是
- 這個 計算乘積AB
- 然後整體再與C做乘積
- 然後C
- 然後如果你看看這項
- 當然所有這些還要乘以一個向量x
- 所有這些乘以向量x 在那
- 就是這個向量x
- 現在我們來看一下這一項
- 如果我們計算這個結合H
- 和這個結合G和F
- 然後把所有這些應用到某個向量x
- 這等於什麽?
- 這個結合在這
- 它的矩陣形式
- 我認爲我們可以說 會等於乘積BC
- 然後我們把這些作用到x
- 所以我們我們得到這個乘積B C
- 然後我們計算這個乘積
- 和這項的方陣表現 A
- 我們之前已經說明了這點
- 我們沒有說明三個的情形 但是它可以擴展
- 我說明了一些它的擴展
- 所以你可以繼續應用這個定義
- 你可以繼續應用這個性質
- 它可以很自然地擴展
- 因爲每次
- 我們只是把兩樣東西結合在一起
- 盡管它看起來像
- 我們把三樣東西結合在一起
- 其實我們是先結合兩樣
- 然後我們得到它的矩陣形式
- 然後我們把它
- 與其他的結合在一起
- 所以這個方陣表現整體的集合就是
- 這個矩陣乘以這個矩陣
- 我之前做的
- 類似地 這我們先計算
- 這兩個線性變換的結合
- 它們的方陣表現
- 就是那樣
- 然後我們把這些結合在一起
- 所以它的整體方陣表現就是
- 這個矩陣乘以這個矩陣
- A乘以B C
- 當然 所有這些作用到向量x
- 現在 這個影片我已經向你們說明了
- 這二者是等價的
- 無論是什麽 括號完全沒有必要
- 我已經向你們說明了
- 它們本質上上都可以歸結爲H(G(F(x)))
- 所以這二者是等價的
- 所以我們可以說 本質上
- 上面的這二者是等價的
- 或者說A B 乘積A B
- 然後計算這個矩陣乘積
- 和這個矩陣C
- 等於計算乘積A和矩陣 B C
- 另一個乘積矩陣
- 或者換一種說法
- 這些括號沒有必要了
- 所有這些就等於A B C
- 或者 我的意思 這只是
- 顯示了矩陣乘積的結合性
- 你把括號放哪沒有關係
- 你知道 有時候它讓我很困惑
- "結合"這個詞
- 意思就是說沒有關係
- 你把括號放哪
- 矩陣乘積沒有顯示出它有交換性質
- 我們在上次影片中看到
- 通常 我們不說
- A B等於B A
- 我們不能這樣做
- 事實上 上次影片裏
- 我記得是上次影片
- 我告訴你們如果A B有定義
- 一般BA甚至是沒有定義的
- 或者說BA是有定義的 有時AB是沒定義的
- 它是不可交換的
- 盡管它是滿足結合律的
- 下次影片
- 我們會看看矩陣乘法 是不是滿足分配律
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