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相關課程
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- 我想你一定對於矩陣乘法的概念
- 已經很了解
- 在這節影片裏我想展示給你的是
- 一個向量和矩陣的乘積
- 等價於一個變換
- 它事實上是一個線性變換
- 假設有一個矩陣A
- 並且假設它的元素是
- 或者它的行向量是v1 行向量v2
- 一直到vn
- 所以這個東西有n個行向量
- 假設它有m行
- 所以它是m×n矩陣
- 假設我定義了某個變換
- 假設這個變換是從Rn到Rm的
- 這是定義域
- 我可以取Rn中的任意向量
- 並且將它映射到Rm的某個元素上
- 我定義我的變換
- 所以T(x) 其中這個是Rn的某個向量
- 等於A 這是A
- 讓我在這裡用這種顏色寫下來
- 它應該是加粗的
- 我有時通過粗體來提醒自己細心
- 大的粗體A乘以向量x
- 所以 首先你將
- 這個變換看起來很奇怪
- 對於至今爲止我們如何定義變換
- 或是函數來說
- 我們需要做的第一件事是
- 不要質疑
- 這是一個變換
- 我們正在做的是什麽呢?
- 我們從Rn取某個向量
- 然後讓A和x相乘
- 如果我們像這樣寫Ax
- 如果這是x 其中 它是x1 x2
- 它將有n項 因爲它在Rn中
- 它可以被重寫爲x1v1加上x2v2
- 一直到xnvn
- 所以它將會是一串這樣的
- 行向量的和
- 並且每一個這些向量 v1 v2
- 一直到vn
- 這些元素的集合是什麽呢?
- 這是一個m×n矩陣 所以它將有m個
- 這個矩陣有m行
- 或者這些列項量的每一個都有m個元素
- 所以這些東西都是Rm的元素
- 如果我僅僅將這些東西
- 做一個線性組合
- 我將會得到Rm的另一個元素
- 所以這裡的這個東西將是Rm的一個元素
- 另一個向量
- 顯然 通過讓向量x乘以矩陣A
- 我只是映射
- 我得到一個映射 從Rn
- 讓我用另一種顏色 到Rm
- 並且它對通常情況都滿足
- 可能n是3 可能m是5
- 誰知道呢?
- 所以我說它對通常情況都滿足
- 如果這是一個特殊實例
- 一個集合Rn的特殊元素
- 它是這樣的向量 我們的變換或是我們的函數
- 將會將它映射到這裡的這個東西
- 並且這個東西會是Rm的一個元素
- 我們可以稱它爲Ax
- 假設我們說Ax等於b
- 我們可以稱它爲向量b 不管怎樣
- 這是我們的變換映射
- 所以這適合於某種定義
- 或是函數術語 又或者是
- 作爲一個集合到另一個集合映射的變換
- 但是它可能仍不讓人滿意
- 因爲在看到這些之前
- 的所有東西
- 如果我有一個變換
- 我可以將它寫爲一個變換關於
- 我可以寫 你知道 x1 x2 xn 等於
- 在括號裏我寫了m項
- 怎麽讓它跟它聯係上呢?
- 爲了做這些 我舉一個特殊的例子
- 假設有一個矩陣
- 用不同的字母代表它
- 假設有一個矩陣B
- 它是一個相當簡單的矩陣
- 它是 [2 -1; 3 4]
- 我定義某個變換
- 我定義某個變換T
- 它是R2到R2的變換
- 我定義了T
- T作用到某個向量x等於這個矩陣
- B乘以那個向量x
- 現在它等於什麽呢?
- 這個矩陣在這裡
- 換成紫色
- [2 -1; 3 4]乘以x
- 是x1、x2
- 這些等於什麽呢?
- 它等於另一個向量
- 它等於上域R2中的一個向量
- 其中第一項是2乘以x1
- 我已經做過了
- 矩陣向量乘法的定義
- 2x1加上-1x2 或者減去x2
- 它是這一行乘以我們的向量
- 然後是第二行乘以那一項
- 得到3x1
- 加上4x2
- 這些我們可能非常熟悉
- 我可以重寫這個變換
- 我可以把這個變換重寫爲
- T作用於[x1,x2]等於2x1-x2逗號
- 平移一下視線 逗號3x1 + 4x2
- 希望你們能滿意
- 矩陣乘法
- 它不在是某個新的 關於變換的另一種形式
- 它只是另一種寫法
- 表達式在這裡
- 它只是這個變換的
- 另一種寫法
- 現在 你可能會問第二個問題
- 我在這節影片的開始
- 已經告訴過你答案
- 被乘以一個矩陣
- 常常等於一個線性變換?
- 成爲一個線性變換的
- 兩個制限條件是什麽?
- 我們知道 關於兩個向量的變換
- a+b 兩個向量的和應該等於
- 它們的變換的和
- a的變換加上b的變換
- 另一個條件是
- 變換作用於一個縮放後的向量
- 等於縮放因子乘以
- 向量的變換
- 這就是成爲一個線性變換的
- 兩個條件
- 讓我們看看 如果矩陣乘法應用於這裡
- 我在過去已經談到過這些
- 並且我曾將告訴過你 你應該證明它
- 我假設你已經知道它
- 但是我仍然會證明它
- 因爲我已經疲於告訴你
- 你應該證明他
- 你應該至少證明一次
- 看一下 矩陣乘法
- 如果我讓一個矩陣A乘以某個向量x
- 我們知道
- 讓我這樣寫下來
- 我們知道它等於
- 我所過是目標矩陣
- 假設這是一個m×n矩陣
- 我們可以將任意矩陣寫成
- 一串行向量的組合
- 所以這個東西有n個行向量
- 假設它是v1 v2
- 一直到行向量vn
- 並且每一個這些東西都將有m個元素
- 乘以x1 x2 一直到xn
- 我們已經看到過這個倍數 倍數乘式
- 通過矩陣向量的乘法的定義
- 這個等於x1乘以v1
- 它乘以它
- 這個純量乘以那個向量 加上x2乘以v2
- 一直到加上xn乘以vn
- 這是通過矩陣向量乘法的
- 定義得來的
- 當然 它將會是
- 我已經在這節影片的開頭說過這些
- 這裡 它將會有
- 這個向量將會是Rm的一個元素
- 它將有m個元素
- 接下來將會發生什麽 如果我有某個矩陣A
- 某個m×n矩陣A 我讓它乘以
- 兩個矩陣的和 a+b
- 所以我可以將它重寫爲這裡的這個東西
- 矩陣A乘以
- a+b的和
- 第一項將是a1+b1
- 第二項將是a2+b2
- 一直到an+bn
- 它和它是同一件事
- 我不是說A(a+b)
- 我是說A乘以
- 可能我需要在這裡畫一個點
- 我讓它乘以這個矩陣
- 對於符號我將是很細心的
- 它是矩陣向量乘法
- 它不是某個新形式的矩陣點乘
- 但是它和這裡的乘法
- 是同一件事
- 它基於我上面告訴你的
- 我們已經看過純量乘法
- 它等價於
- a1+b1乘以A的第一列
- 它是這裡的向量
- 這個A和這個A是同一個
- 所以乘以v1
- 加上(a2+b2)v2
- 一直到加上(an+bn)vn
- 這裡的每一個xi想只是被替代爲
- 一個ai+bi項
- 所以這裡的x1被替代爲一個a1+b1
- 它等價於它
- 然後得到結果
- 我們知道向量乘以純量
- 具有分配律
- 我們可以說 它等於a1v1
- 事實上寫下了所有的a1項
- 接下來寫
- a1v1加上b1v1
- 加上a2v2+b2v2
- 一直到加上anvn+bnvn
- 如果我們只是結合這些項
- 如果我們將所有a的項組合在一起
- 所有a的項組合在一起
- 我們得到a1加上a 躲不起
- a1加上 這樣寫
- a1v1加上a2v2加上
- 一直到 anvn
- 我只是獲取所有a的項
- 我們得到這些加上所有b的項
- 所有的b的項我將用這種顏色寫
- 所有的b的項像這樣
- 加上b1v1 加上b2v2
- 一直到加上bnvn
- 它是這裡的這個東西
- 它等於上面的這個表達式
- 我只是重組了每一項 當然
- 它也等價於這裡的這個表達式
- 但是這個有等於什麽呢?
- 它等於
- 我們的向量 這些行向量又被想到
- 矩陣大寫A的行向量
- 所以它等於矩陣大寫A乘以 a1 a2
- 一直向下到an 它就是我們的向量a
- 那麽它有等於什麽呢?
- 它等於 加上這些v1
- 這些是A的行向量
- 所以它等於矩陣A乘以向量b
- b1 b2 一直到bn
- 這是向量b
- 我已經向你展示過 如果相加這兩個向量
- a和b 然後讓矩陣乘以它們
- 它顯然等價於
- 先將這個向量的每一項與矩陣相乘
- 然後再把它們加起來
- 我們需要滿足 這是一個m×n矩陣
- 現在我們已經滿足了
- 這裡的第一個條件
- 那麽第二個條件呢?
- 這個理解起來更直觀
- c乘以a1 把它寫下來
- 向量a乘以 對不起
- 矩陣大寫A乘以向量小寫a
- 重寫它 因爲我想
- 乘以向量ca
- 我首先讓向量乘以純量
- 等於 我可以寫下矩陣大寫A
- 我已經標注過它的行向量
- 它是v1 v2 一直到vn
- 這是矩陣A
- 然後 ca看起來像什麽呢?
- ca 你可以讓純量乘以
- 每一項
- 所以它是ca1 ca2 一直到can
- 它等於什麽呢?
- 我們知道
- 我們看過這些 之前展示純量乘法 在這裡
- 它等於 稍微寫大點
- 它等於c啊乘以這個行向量 乘以v1
- 加上ca2乘以v2 乘以這個東西
- 一直到加上can乘以vn
- 如果你將因子c提取出來 再次
- 純量乘法乘以向量
- 具有結合律的性質
- 我相信關於這方面我已經做過一個影片
- 它非常容易去證明
- 所以它將等於c乘以
- 這裡我將保持同一種顏色
- a1v1 加上a2v2加上 一直到 anvn
- 這些東西又等於什麽呢?
- 它正好是矩陣A乘以我們的向量
- 或者說我們的矩陣大寫A
- 可能我過度使用了字母A
- 矩陣大寫A乘以向量小寫a
- 其中小寫a正好是這裡的這個東西
- a1 a2 一直向前
- 這裡的這個東西和它一樣
- 所以我僅僅想告訴你 如果我取得了矩陣
- 然後讓它乘以某個向量
- 向量先被一個純量相乘
- 它等價於先讓矩陣乘以一個向量
- 然後再乘上純量倍數
- 我已經向你展示過矩陣乘以向量的乘積
- 或者矩陣向量乘積滿足
- 這個線性變換的制限條件
- 和這個制限條件
- 這裡的要點
- 是矩陣乘法
- 這是一個重要的地方
- 矩陣乘法或者矩陣與向量的乘積
- 常常是一個線性變換
- 這是一點批注
- 在下一節影片我將展示給你
- 任何線性變換
- 這是不可置信的強大
- 可以重新表述爲一個向量乘積
- 任意變換作用到任意向量可以被等價的
- 我猜
- 寫作一個向量和矩陣的乘積
- 有了巨大的變換 並且你知道
- 僅僅作爲一點提示
- 將它結合到你的日常生活
- 你有你的Xbox 你的索尼遊戲機 並且你知道
- 你有這些3D圖像程序
- 你正在運行的 或者射擊某些東西
- 這些軟體運行的方法
- 是可以從不同角度
- 來觀看
- 你有一個立方體
- 然後如果你將它向這個方向旋轉一點
- 這個立方體將看起來像這樣 它被旋轉過
- 你可以向上轉向下轉
- 這些都是矩陣的變換
- 我們將更詳細的做這些
- 這些都是向量的變換
- 或者向量的位置
- 我將更詳細的做這些
- 所有的這些都僅僅是矩陣乘法
- 所以所有的這些事情
- 在你的Xbox或遊戲機裏的3D遊戲裏
- 你所作的事情
- 它們都僅僅是矩陣乘法
- 我將在下節影片裏展示給你
- 所以當你有了這種顯示卡
- 或者這種圖像引擎 它們都是
- 你知道 我們從理論上跳過它
- 但是所有的這些圖像處理機是
- 是在處理矩陣乘法
- 如果我做一下概括 某種型號的CPU
- 我需要在軟體裏寫如果做矩陣乘法
- 但是如果我正在做一個Xbox或
- 其他的一些東西 99%我所做的
- 僅僅是旋轉這些抽象的物體
- 用轉換後的方法顯示它們
- 我需要有這樣的硬件
- 一個芯片 它所做的 它是它裏面的硬件
- 是使矩陣相乘
- 這是這些圖像處理機
- 或圖像引擎的本質