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More on Matrix Addition and Scalar Multiplication
相關課程
- 在上一個影片中我們開始講
- 兩個線性變換
- 我們得到的Rn到Rm的線性變換S
- 是一個Rn到Rm的映射
- 然後我們得到線性變換T
- T也是一個從 Rn到Rm的映射
- 我們定義這兩個變換的
- 加法運算
- S加上T 這個關於x的變換 我們定義
- 它等於關於x的S加上關於x的t
- 當然 這裡的輸入還是Rn
- 且得到的結果是 Rm上的向量
- 如果我們讓兩個Rm上的向量相加
- 我們得到另一個Rm上的向量
- 因爲Rm是一個完全次空間
- 並且它還是封閉的
- 所以 這也是一個映射
- 所以 S+T仍然是一個Rn到Rm上的映射
- 我們說過 最近的影片裏提到的
- 每一個線性變換都
- 可以被描述爲一個矩陣
- 我們可以說 關於x的s等價於
- 一個矩陣A乘以x
- 同樣 我們可以說關於x的t等價於
- 一個矩陣B乘以x
- 這兩個矩陣都是m×n矩陣
- 我們可以寫m×n 兩個都是
- 因爲這兩個都是Rn到Rm的映射
- 我們得到另一個定義
- 這是我們得到的定義
- 稍後我們會得到另一個 定義
- 我們定義兩個矩陣的加法運算
- 我麽說任意矩陣A加上B
- 前提它們擁有相同的維數
- 在這裡它們都是m×n的
- 我們定義這個加法得到一個新矩陣
- 這個矩陣的每一列
- 都是前兩個矩陣相應列的和
- 所以這個矩陣的第一列將是
- A的第一列和B的第一列的和
- 所以 a1+b1 下一列的計算我將寫在新的一行裏
- 這裡是 a2+b2
- 直到an+bn
- 這是一個定義
- 這樣定義的原因是
- 如果這樣定義矩陣的加法 那麽同樣地
- 用Ax+Bx替換
- 上面的這些
- 等價於相應的矩陣
- 即A加上B乘以x
- 這就是這個漂亮表達的動機了
- 如此 在這裡通過定義矩陣加法
- 這些看起來很抽象 我們來
- 做一個例子――兩個矩陣相加
- 我們以2×2矩陣爲例
- 這裡 我讓矩陣[1,3；-2,4]加上
- 注意它們擁有相同的維數
- 另一個矩陣[2,7；-3,-1]
- 我們會得到什麽呢
- 通過定義 我們只要
- 讓它們相應的列相加
- 你讓第一列相加
- 當我們讓相應的列相加時
- 兩個行向量相加會産生什麽呢、 兩個向量
- 我們只是讓它們相應的元素相加
- 基本上 當你讓兩個矩陣相加時
- 你僅僅是 讓它們相應的元素相加
- 我在這裡討論它
- 僅僅是因爲我定義它的方法
- 但是它們是等價的
- 首先 第一列
- 在這個矩陣裏 在這裡
- 將會是這個行向量加上這個行向量
- 所以 這裡將會是1加上2
- 通過這種方法往下寫
- 接下來是-2 -3
- 接下來是第二列 這裡的這個
- 將是3+7 和4-1
- 所以這個等式等於[3,10；-5,3]
- 就像這樣
- 注意 盡管這個定義是
- 讓相應的行向量相加
- 會怎樣呢？
- 我只是將相應的元素相加
- 我讓1和2相加
- 3和7相加 -2和3相加
- 4和-1相加
- 這是很容易懂的
- 再沒有比這簡單的了
- 事實上 我們可以重寫這個定義
- 如果我們說 行向量或者矩陣A
- 等價於a11、a12,...a1n
- 我們寫下一列 a21 這裡到an1
- 一直寫到ann
- 之前我們看到過這些
- 對於矩陣B 通過相同的方法 或相似的定義
- 這裡是b11 這個元素是b11
- 這是b12 一直到b1n
- 這是b21 第二行 相同的方法 一直到bn
- 對不起 這裡是m 我們有m行 所以這裡是mn
- 所以這裡是bm1 這裡將是bm2
- 相同的方法一直到bmn 在這裡
- 要細心點 這些都是m×n矩陣
- 最下面的這一行是第m行 兩個都是
- 但可以重新定義矩陣。。。 準確來說
- 定義矩陣加法
- 矩陣A加上矩陣B
- 我僅僅需要它們的 相應元素相加
- 所以 最上面這個元素將是
- 用不同的顏色標記下來
- 它將會是a11+b11 這一個是
- a21+b21 同樣的方法一直到am1+bm1
- 然後這裡將會是 同樣的 a12+b12
- 同樣的方法一直到a1n
- 屏幕向右移一點
- 同樣的方法一直到a1n+b1n
- 緊接著 依次到amn+bmn
- 這就是等價的定義
- 這裡花費了更少的空間去寫下它
- 做到這些我感覺很愉快
- 因爲我們同樣定義了向量加法運算
- 基本上歸結下來就是將
- 所有相應元素相加
- 這就是矩陣相加的全部內容
- 這可能是你最近的數學學習中
- 最簡單的定義之一
- 現在 矩陣純量乘法
- 非常相似的概念
- 我們定義 變換的純量乘法
- 等價於 純量乘以x的變換
- 這就是定義
- 我們同樣定義 純量乘以一個矩陣A
- 等價於這個純量。。。
- 一個新矩陣 它的每一列是
- 純量乘以A的行向量
- 這是a1 接下來第二個向量是ca2
- 一直到can
- 做這些的動機是
- 可以簡單地寫爲
- 我提到過T=Bx
- 這個x的變換
- 和關於x的變換T是等價的
- 我們仍然知道c
- 這將會是c乘以矩陣B
- 再乘以向量x
- 這就是x的變換
- 可以被寫成的樣子
- 這將等價於 非常巧妙的
- 我們在上一個影片做了這些
- 將矩陣被分成行向量的組合
- 讓行向量乘以x的相應元素
- 然後分配純量c
- 重新排列一下
- 我們現在可以說 通過這些定義
- 這個等價於一個新矩陣cB
- 我通過應用這些定義 新矩陣cB
- 它本質上是 c乘以B的每一列
- 再乘以向量x
- 這就是我們的動機
- 我們想要解釋這些 通過一個新矩陣
- 和一個向量的乘積
- 因爲任何的線性變換都可以
- 表述成這種形式
- 這也是做這些定義的原因
- 現在應用一下
- 我將展示給你們的是
- 它可能比矩陣加法更簡單
- 如果你想讓純量5乘以這個矩陣
- 我將寫一個3×2矩陣
- 是[1,-1; 2,3; 7,0]
- 它將等於
- 通過我剛才說的定義
- 我讓純量乘以
- 矩陣的每一個行向量
- 所以 這裡是5乘以1 2 7
- 但是 這是什麽
- 這是5乘以每一個元素
- 這裡是5<i>1 等於5</i>
- 5<i>2 等於10</i>
- 5<i>7 等於35</i>
- 接下來 下一列將是5乘以這一列
- 它是5乘以它的每個元素
- 5<i>-1 等於-5</i>
- 5<i>3 等於15</i>
- 5<i>0 等於0</i>
- 這就是這個例子
- 從字面上講 如果回到這個定義
- 可以定義關於矩陣的純量乘法
- 我們可以同樣定義cA等價於
- 我們說過這是A的表示
- 關於純量c乘以A的每個元素
- 就是這樣
- 所以 它是c乘以所有元素 c<i>a12</i>
- 一直到c<i>a1n</i>
- 用同樣的方法
- c<i>a21 一直到c<i>am1</i></i>
- 然後我們沿著對角線向下
- 這裡是c<i>amn</i>
- 字面上 你只是將純量
- 乘以A中的每個元素
- 這就是你所做的
- 所以這裡需要澄清一點
- 它只是
- 高中學習的內容的複習
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