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零空間 3: 跟線性獨立的關係 (英) : 認識到矩陣的零空間跟行向量之間的關聯
相關課程
- 一般來講 關於線性代數的一個微妙的事情就是
- 一些看起來很簡單的概念
- 可以被用多種方式來解釋
- 並且代表不同的觀點
- 或不同的問題
- 這就是我要在這個影片裏講的內容
- 我要研究一下零核空間 或甚至更好一些
- 我要探索一下其關係――
- 如果我有某個矩陣A乘以某個向量x
- 等於0向量
- 我們 當然
- 由上一個影片可以看出A的零核空間
- 等於所有Rn中的向量x
- 這個有n個分量
- 這個是一個m×n的矩陣
- 如果這個是一個m×n的矩陣
- 我說了是所有Rn中的向量
- 所以這裡的這個數必須是
- 和這個數相同 以使得
- 矩陣向量乘法是有意義的
- 但A的零核空間是所有Rn中的向量
- 使得滿足這個方程
- 這裡如果我取A 並將它與任意的
- 零核空間中的向量相乘
- 我就得到0向量
- 這就有m個分量
- 我們以前已經看過了――
- 這個包含0向量
- 我要這麽來處理它
- 0向量是Rm中的元素
- 所以這個就是零核空間
- 我們再來看一看它
- 我們知道我們的向量 矩陣
- 可以被寫成這樣
- 我們可以將它寫成行向量的集合
- 我稱這個 是v1
- 然後就有v2 有n個分量
- 最後一列是vn
- 所以如果我這麽來定義向量
- 這是第一個向量
- 這是第二個向量
- 那麽我就可以將矩陣A寫成是
- 我可以說A等於
- 就是一串行向量
- v1 v2 直到vn
- 將這個矩陣與向量x相乘
- 乘以x 就是乘以x1 x2 直到xn
- 我們已經講解了 矩陣與外積的定義
- 這個可以被看做是
- 這實際上就是
- 我們的定義
- 這個相同於x1乘以向量v1
- 乘以第一列 加上x2乘以第二列
- 乘以這一列 直到最後
- 一直把它們加起來
- 直到xn
- 乘以第n列
- 這個就是
- 我們的矩陣外積的定義
- 現在 如果我們說Ax=0
- 我們就是在尋找這個的解集
- 如果我們尋找
- 方程Ax=0的解集 那麽就是說――
- 是等於0向量
- 這就是說這個和
- 我們試圖找到
- 這個和等於0的解集
- 我們要找出x1 x2 x3
- 直到xn的 使得方程等於0向量的值
- 我們要做什麽？
- 我們要取行向量的線性組合
- 我們取
- 行向量的線性組合
- 然後來看看我們是否可以取某一個線性組合
- 使得它等於0向量
- 現在 你應該記住這一點
- 這個方程
- 或這個表示
- 應該被你記住
- 這是我們對於
- 線性獨立的定義
- 我們說如果這個
- 是線性獨立的的定義
- 或我們證明這個不滿足
- 線性獨立的定義
- 如果我有一串向量
- 即v1v2 直到vn
- 我們說它們是線性獨立的
- 還有非數學的方式
- 來描述它 我想這個是數學式的
- 這個看起來 沒有向量可以被表示成
- 其它向量的線性組合
- 然後我們來說明這個意味著
- 這個方程的唯一解就是x1 x2
- 從這往後的所有係數都是0
- 這是唯一解
- 線性獨立意味著
- 這是方程唯一的解
- 唯一得到0向量的方式
- 通過取這些行向量的線性組合
- 唯一的方式是
- 使它們都等於0
- 這就是線性獨立的含義
- 同樣地 如果v1 v2直到vn
- 是線性獨立的
- 那麽這個的唯一解就是
- 這些係數都是0
- 我們已經學過了線性獨立
- 現在 如果所有的係數都是0
- 這意味著什麽？
- 這就意味著 向量x是0向量
- 並且只能是0向量
- 這是唯一的解
- 所以這很有趣
- 如果行向量是線性獨立的
- 如果v1 v2 直到vn 都是線性獨立的
- 那麽這就意味著Ax=0的唯一解
- 就是x等於0向量
- 或從另一個角度 這個方程的解集
- 就是一個零核空間 這個零核空間
- 是所有滿足這個方程的x
- 使得A的零核空間
- 必須僅包含0向量
- 所以這是很有趣的一點
- 如果這是線性獨立的
- 那麽A的零核空間只包含0向量
- 這從另一個角度說明了――
- 我寫下來――
- 好吧 我已經寫下來了
- 即x1 x2 所有的 必須是0
- 現在如果我要把這個方程乘出來
- 得到行簡化階梯形
- 這意味著什麽？
- 我們在之前的那個影片裏看過了
- A的零核空間等於
- A的行簡化階梯形的零核空間
- 這就是――A的零核空間是0
- 因爲它的行向量是線性獨立的
- 這就是說
- A的行簡化階梯形的零核空間
- 必須是0向量
- 這就是說
- 如果我取A的行簡化階梯形
- 乘以――或許我說得有一點兒冗長了――
- A的行簡化階梯形
- 我將這個乘以x
- 或許我要解這個方程 唯一的解
- 就是x=0
- 而如果想一想這意味著什麽
- 如果這是唯一解
- 這就意味著這個行簡化階梯形
- 沒有自由變量
- 它看起來就像這樣
- 所以這是x x1 x2 直到xn
- A的行簡化階梯形
- 使得它有唯一解
- 而這個唯一解是0
- 行簡化階梯形
- 看起來就像這樣
- 即1乘以x1加上0乘以所有其它的
- 就是一串n個0
- 就得到1乘以x2
- 加上0乘以其它的東西
- 而這些1就是
- 在對角線上
- 所以它看起來就像這樣
- 然後這就是0向量
- 這是一個方陣
- 這是n 這也是n
- 我怎麽知道的？
- 因爲我說過x1 x2
- 所有的這些必須等於0
- 所以它們都等於0
- 如果我就把它們寫成方程組
- 如果我寫成x1=0 x2=0
- 還有x3=0
- 直到xn=0
- 這個方程組
- 如果我將它寫成增廣矩陣
- 記住這是x1加上0 x2加上0
- 這作爲增廣矩陣
- 我們已經做過這個很多次了
- 它看起來就像這樣
- 即1 還有一串0 n個0
- 然後1在對角線上
- 然後這裡有n個0
- 我就是從這裡得到的
- 如果這是線性獨立的
- A的零核空間就是0向量
- 而如果A的零核空間是0向量
- 那麽其行簡化階梯形的零核空間
- 也只是0向量
- 唯一的解就是所有x都等於0
- 這就意味著 A的行簡化階梯形必須
- 對角線上都是1
- 其它地方是0
- 無論如何 我僅僅想要這樣――這是一個簡潔的
- 零核空間的副產物
- 我寫下來
- 我總結一下結論
- A的零核空間 如果它就是0 這就意味著
- 你可以走兩條路 它是成立的若且唯若
- A的行向量是線性獨立的
- 而所有這些是成立的僅當――這是成立的
- 我要畫個三角形
- 這會變成一個方形――如果x1 x2
- 所有這些都是0
- 這是唯一解
- 然後這就意味著 這是行簡化階梯形
- 我沒有寫得很詳細
- 但A的行簡化階梯形
- 就是一個n×n方陣
- 順便說一下
- 這個是成立的 如果我們處理的是
- 一個n×n矩陣
- 或許我要說得更詳細一些
- 在將來的某個影片裏
- 但A的行簡化階梯形
- 看起來就像這個樣子 就是一串1
- 在對角線上 而其它地方是0
- 所有這些互相可以推出來
- 現在
- 如果A的零核空間包含其它一些向量怎麽辦？
- 好吧
- 那我們就說A的行向量
- 是線性相關的
- 而如果它們是線性相關的
- 那麽A的行簡化階梯形
- 看起來就不是這個樣子
- 這裡就會有一些
- 自由變量
- 允許你得到更多的解
- 但無論如何
- 我想要給你們一個角度
- 來看待零核空間
- 並理解它和線性獨立的關係
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