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證明: 任何子空間基底都有相同數量的元素 (英) : 證明: 任何子空間基底都有相同數量的元素
相關課程
- 假設有一個向量集
- A爲a1,a2,...,an
- 已知它是次空間V的
- 一組基
- 在本段影片中我想告訴你們的是
- 如果這個集合有n個元素
- 那麽任何張成空間V的集合
- 至少有n個元素
- 或者說有n個元 或者說集合的勢是n
- 在這個集合中有n個向量
- 有很多種不同的敘述方式
- 我說的是
- 每一個張成V的集合至少含有n個元素
- 如果存在某個基底集合有n個元素
- 我們去尋找一個
- 少於n個元素的集合
- 看是否得到矛盾
- 有一個集合B
- 它等於
- m少於n
- 我得到一個向量集
- 它的元素個數少於集合A
- 你某一天找到我
- 說你找到了一個這樣的向量集合
- 它不僅元素比A少
- 還能張成空間V
- 我用懷疑的眼神看著你
- 因爲我始終堅信這個綠色的命題是正確
- 我們先來做一個思維實驗
- 我說好的
- 你說你的集合可以張成空間V
- 那我們來試試
- 定義一個新集合
- 它的名字叫B1’
- 你以後會明白 爲什麽要用這種古怪的符號
- 它本質上就是
- 集合B加上向量a1
- 這是a1 再添加B中所有的元素
- b1，b2 一直到 bm
- 我認爲我們達成了共識
- 都認爲這個集合是線性相關的
- 我是怎麽知道的？
- 線性相關的意思是說
- 這個集合中至少有一個元素可以
- 表示成其它元素的線性組合
- 根據基底的定義
- 我們知道a1是V中一個基向量
- 所有的基向量都是V中的元
- 如果這個集合是V的一個基
- 也就是說這個集合張成V
- 或者說V中的所有元
- 都可以被這組基線性表示
- 換一種思維
- 這組基的每一個線性組合都在V中
- 這組基其中一個線性組合
- 你可以令a1前的係數是1
- 其它的係數是0
- 顯然 a1在這個集合中
- 如果a1在V中 所有這些向量張成V
- 根據定義 這些張成V的向量的
- 線性組合可以用來
- 表示V中任何的元素
- 因此 你可以選取這個集合的
- 某個線性組合來表示a1
- 因此 你可以說a1等於d1
- 其中所有的d都是常數
- 那d1<i>b1+d2<i>b2+...+dm<i>bm</i></i></i>
- 其中至少有一個非零
- 我們知道所有的a都是非零向量
- 如果其中有一個等於零向量
- 這個集合不可能是一個基
- 因爲它是線性相關的
- 因爲你總可以用零乘上其它向量
- 來表示零向量
- 因此a不可能是零向量
- 因此這些裏面至少有一個非零向量
- 爲了論證的需要
- 令bj的係數dj是非零的
- 即dj≠0
- 我們實際上可以求出那一項
- 在式子的某個地方有dj<i>bj</i>
- 加上一串其它的東西
- 我們可以求出這一項
- 如果我們在等式的兩邊都減去它
- 然後除以-dj
- 把-a1放在另一邊 得到了什麽？
- 我們求解步驟很多
- 但是這個過程也只是純粹的代數問題
- 我在這裡把它重寫出來
- 求出bj
- 這個等於-1比上它的係數
- 如果我在兩邊都減去a1
- 然後再加上所有剩下的項
- d1<i>b1一直加到---</i>
- 這裡會出現一個缺口
- 我這樣把它畫出來
- 這是一個不常見的符號 原來bj<i>dj就在這裡</i>
- 一直加到dm<i>bm</i>
- 我做的所有這些就是想告訴你
- 根據定義
- 你可以把a1寫成
- 其它的線性組合
- 但是你也可以重新排列
- 重新排列後
- 你可以把其中某一項寫成
- 是其他項
- 和a1的線性組合
- 這個bj就是多余的了
- 我不再需要它
- 來張成空間V了
- 顯然 這個集合仍然張成空間V
- 我在這裡加上了一個額外的向量
- 但是我可以從我的集合B1’中去掉這個向量
- 但仍然張成空間V
- 我是怎麽知道的？
- 因爲我可以（通過其他向量）得到它
- 去掉它 但我們不會少什麽東西
- 因爲如果我需要這個向量
- 來創造一個其它向量
- 我可以用剩下的b和a1的
- 線性組合來表示它
- 我可以除去它 成這個集合V1
- 實際上 爲了符號的方便
- 我只需要改變它的名字
- 這種做法有點非常規
- 你在任何課本上都不會見到有這麽做的
- 但是 我認爲這種方法更簡單
- 我們無需討論
- 式子中間的
- 這一項
- 我的意思是說b1 b2 bn
- 它們都是隨便取的名字
- 我來交換標簽
- 令bj=b1
- 且b1=bj
- 我只是交換它們的名字
- 我給bj重新命名叫b1
- b1重新命名叫bj
- 爲了標記符號更簡單
- 本質上 我只要去掉b1向量
- 你也可以說你除去的是bj
- 但是這很容易産生混淆
- 我稱除去了bj的
- 新集合
- 爲B1
- B1等於a1
- 記住我除去了bj
- 並重新命名爲b1
- 然後重新命名b1爲bj
- 這時新的集合就變成了這樣了
- 我用另一種顏色寫出來 b2
- bj也有可能是b1
- 我們不知道
- 在集合中有可能包含許多非零向量
- 我們可以在其中任選一個令它等於bj
- 然後重命名bj爲b1
- 在除去b1
- 這時得到的集合就是這樣的了：b3一直到bm
- 這個集合仍然張成V
- 之所以知道 是因爲移除的向量可以
- 被其它向量的線性組合表示出來
- 因此 我們並沒有失去
- 構建V中所有向量的能力
- 我來創造另一個向量
- 換一種新的顏色
- 假設有向量B2’
- 我要做的是從V的基底中
- 移除另外一個元素
- 第二個移除的元素我取a2
- 我取a2 放在這個裏面
- 得到了B2‘等於---
- 我把a2加到這個集合中
- 然後是剩余的這些
- b2 b3 一直到bm
- 當然這些向量仍然張成空間V
- 我只是在集合中加了一些東西
- 顯然 它是線性相關的
- 剛開始我沒有說
- 它是線性相關
- 也可能是線性獨立
- 但是當加上這個V中的向量後
- 你就可以斷言它是線性相關的了
- 因爲這些元素可以表示這個元素
- 類似的 你知道這個向量B1可以張成V
- 因此 當我們加上新的元素後
- 它可以被其它的元素
- 線性表示出來
- 我們知道它是線性相關的
- 我們可以說a2等於
- 某個常數c1<i>a1+c2<i>b2+...+cm<i>bm</i></i></i>
- 現在我要說的是
- 這些係數中至少有一個是非零的
- 因此這少有一個c是非零的
- 我還能進一步斷言
- 排除了這一項後至少有一個是非零的
- 也就是說 這些b的係數
- 至少有一個是非零的
- 你會思考
- 如果這些係數都等於零會怎樣
- 如果這些係數都等於零
- 那麽a2就是a1的一個線性組合
- 所有後面這些項都消去了
- 你得到a2等於
- 某一個常數乘以a1
- 我們知道這是不可能的
- 因爲這兩個a都是來源於
- 同一個線性不相關集合
- 它們都來自同一個生成基
- 它們都是在一個基底中
- 我不應該這麽說 因爲這個基是過剩的
- 基底是一個線性獨立的生成集合
- 如果它是線性獨立的
- a2是不可能
- 被其它元線性表示的
- 因此b的係數
- 至少有一個是非零的
- 假設你有一個cj<i>bj</i>
- 這個和原來的那個不一樣
- 我們知道
- 這些項中至少有一項是非零的
- 因爲如果這些項全都非零
- 那麽你不能說這個向量和
- 這個向量是線性獨立的
- 因爲它們可以表示成互相的純量倍數
- 因此 我們利用相同的方法來做
- 這一項 cj<i>bj</i>
- 顯然這個係數是非零的
- 我們可以求出bj
- 再一次 令bj等於
- 等於-1/cj<i>（-a2+c1<i>a1</i></i>
- 加到cm<i>bm）</i>
- 因此bj可以
- 被剩余項的線性組合表示
- 也包括a2
- 和前面一樣 移除它
- 我們把它從集合中取出來
- 在把它從集合中移除之前
- 我先重新給它命名
- 爲了標記的簡單
- 我給bj重新命名b2
- 而b2=bj
- 我只是把名字重新排列
- 移除b2
- 或者說我移除的是 我稱之爲b2的元素
- 它可以被剩余項的
- 線性組合表示出來
- 包括這個a2
- 我把這裡的其中一項移除
- 我重新給它命名爲B2
- 它等於a1 a2
- 還有剩余的b
- b3 b4一直到bm
- 這個集合仍然包含m個元素
- 並且仍然張成V
- 它可以張成V
- 是因爲我從中移除的元素
- 可以被這些元素線性表示
- 因此 如果我想構造任意一個向量
- 可以用這些元素的某個線性組合
- 來表示這個向量
- 因此 這個b2並不是必要的
- 這個集合仍然張成V
- 我可以一直重覆我在做的這個過程
- 加上a3
- 定義爲B3’
- 我可以在這個集合中加上a3
- 在加入b3 b4一直到bm
- 我可以說這個集合是線性相關
- 因爲這個集合張成空間V
- 除了a3 其它元素張成了V
- 因此 顯然 你可以用其它元素的
- 一個線性組合來表示a3
- 因此a3=c1<i>a1+c2<i>a2+a3<i>b3</i></i></i>
- 一直加到cm<i>bm</i>
- 我們知道b項的係數
- 至少有一個是非零
- 因爲假如這些項的係數都等於0
- 那麽你可以得到
- a3是a1和a2的線性組合
- 但是我們知道a3
- 不可以被a1和a2線性表示的
- 因爲這三項是來自於
- 同一個線性穩定集合
- 我們利用相同的方法
- 我們假設cj是非零的
- 這是我們可以求出bj
- 我來重新命名這些元素
- 令bj=b3 b3=bj
- 然後移除b3
- 我得到集合B3等於a1 a2 a3
- 然後是b4一直到bm
- 它仍然張成V
- 我就這樣一直往下做
- 最終會是什麽樣？
- 如果我把這個過程一直重覆下去
- 我會得到一個什麽樣的集合
- 最終我會把所有的bm都替換了
- 我會替換所有的n項
- 因此 最終的集合會是這樣的
- 最終我會得到一個Bm
- 我把所有項都用a來替換了
- 因此這個集合是
- 根據定義 你總可以這麽做
- 如果初始集合B是生成集合
- 如果初始集合B是生成集合
- 按照這個步驟做下去
- 你會得到相同的集合
- 這個集合張成V
- 我把這個集合寫出來
- 這個結果我們是
- 從一個有m個元素的生成集得到
- 其中m是少於n的
- 我們有足夠的a元素
- 因爲a元素要比b的元素多
- 因爲a元素要比b的元素多
- 我們得到的結果張成V
- 但是我已經說了 集合A等於
- a1 a2 一直到am 然後是am+1
- 我不知道在m個n之間有多少數字
- 但是你可以一直寫到an
- 記得我說過n要比m大
- 或者說當我定義B的時候 我說過m比n小
- 它們是等價的 這是一個更小的集合
- 這個集合張成V
- 同時 它也是一個基底
- 這個是我們開始時的事實
- 它是V的基底
- 基底有兩層意思：它張成V
- 它是線性獨立的
- 現在我們通過假定我們某個集合B
- 它的元素比A少
- 但它同樣可以張成V
- 我們可以說
- a1一直到am可以張成V
- 我們得到的結果就是它可以張成V
- 但是如果A的子集張成V
- 那麽A就是線性相關的
- 因爲如果這個子集張成V
- 也就是說an可以
- 用這些的線性組合表示出來
- 因此 它也暗示著A是線性相關的
- 這和我們說的
- A是V的一個基底這個敘述是矛盾的
- 因爲它（原始敘述）意味著A是線性獨立的
- 如果你做到了這裡
- 那麽它意味著有一個更小的生成集合
- 你得到了A必須是線性相關這個結果
- 盡管我們說過它是線性獨立的
- 我們知道我們得到了矛盾
- 不可能存在一個生成集B
- 它的元素個數少於A
- 這是一個非常簡潔的結果 因爲
- 如果我來到你面前 對你說我找到了一個集合X
- 它張成了次空間V
- 已知X含有5個元素
- 你知道不可能存在一個元素個數少於5的集合
- 它張成次空間V
- 如果我告訴你X是V的一個基底
- 我告訴你它有5個元素
- Y是V的一個基底
- 你知道Y也恰好有5個元素
- 我們是怎麽知道的？
- 如果Y是一個基底 也就是說它張成V
- 我們知道它的元素
- 不可能少於5個
- 我們剛證明過
- 我們知道Y含有
- 大於等於5個的元素
- 另一方面 我們知道如果Y是V的一個基底
- X是一個基底 X也張成V
- 我們知道X的元素個數少於Y
- 因此我們知道
- Y的元素個數大於X的元素個數
- 因爲任何一個生成集合都有更多的元素
- 至少和基底集合X的元素
- 個數相等
- 由於X是一個生成集合
- X中的元素個數大於
- 等於Y中的元素個數
- 因爲Y是一個基底
- 如果它的元素個數少於（等於）它的元素個數
- 同時它的元素個數也大於等於（它的元素個數）
- 我們知道X
- X元素的個數
- 或者說是集合X的勢
- 等於Y元素的勢
- 現在我們知道一個向量空間的
- 任意一個基底
- 我們在回到集合A
- 有A=a1,a2,...,an
- 我們現在可以說對於次空間V的
- 任意一個基底
- 它的元素個數是一樣的
- 我們可以定義一個新的術語
- V的維數
- 有時它寫成dimension（V）
- 它等於元素的個數
- 有時也稱之爲V的勢
- 在這段影片中 曆盡千辛萬苦就是想告訴你們
- V的任意一個基底都含有相同元素個數
- 這一點是很明確的
- 你不可能找到一個基底 它有5個元素
- 而另一個基底是6個元素
- 根據定義 要麽它們都是5個元素
- 或者都是6個元素
- 因此 我們可以定義維數
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