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- 也許比求逆方陣更有趣的是
- 判斷它的逆矩陣什麽時候不存在
- 或者說什麽時候沒定義
- 當一個方陣沒有逆矩陣時
- 或者它的逆矩陣沒定義的時候
- 我們稱之爲奇異矩陣 接下來就是
- 研究什麽樣的矩陣是奇異矩陣
- 以及怎樣運用在不同的
- 處理矩陣的問題中
- 假設這有個2×2的矩陣
- 因爲這樣的例子更簡單
- 而且它能運用到任何階數的實際方陣中
- 所有我們先用2×2的矩陣
- 它的元素是a,b,c和d
- 那麽它的逆矩陣是什麽？
- 相信這個你們能馬上反應過來了
- 它等於1除以A的行列式
- 再乘上A的伴隨矩陣
- 在這種情況下 a與d的位置互換
- 變成d和a
- b和c取負數
- 變成-c和-b
- 那麽我要問你們的問題是
- 怎樣才能使這個式子沒有定義？
- 當然不管這裡面元素是多少
- 如果這裡的元素有定義
- 那麽我交換這裡或者那裏取相反數後
- 並不會改變這一部分表達式
- 但是有什麽辦法能
- 讓這裡的除數是0
- 如果矩陣A的行列式沒有定義
- 所有A的逆也沒有定義 若且唯若――
- 有時候我們簡寫成iff――
- 若且唯若A的行列式等於0
- 從另一個角度看
- 如果任何矩陣的行列式等於0
- 那麽這個矩陣是奇異矩陣
- 它不可逆 或者說它的逆沒定義
- 從概念上考慮
- 我們至少要思考的以下兩個問題
- 行列式爲0表示什麽
- 另一個是能否通過直覺來判斷
- 爲什麽一個矩陣不可逆
- 那麽行列式爲0表示什麽？
- 在這種情況下 2×2的行列式又表示是什麽
- A的行列式等於什麽？
- 它等於ad-bc
- 因此如果這表達式等於0
- 那麽這個矩陣是奇異的 或者說它不可逆
- 我把它寫在這
- 如果ad等於bc――
- 我們可以把式子處理一下
- 我們說如果a/b等於c/d
- 即在等式兩邊
- 同時除以b和d
- 如果a：b的比值等於c：d的比值
- 則可以說矩陣不可逆
- 或者換一種寫法
- 如果a/c――
- 如果等式兩邊 同時除以c和d――
- 即等於b/d
- 使這個矩陣奇異的另一種情況是――
- 它們其實都是換湯不換藥
- 如果它成立 則它也成立
- 它們是一個意思
- 只是用了一點代數變換
- 但若a：c的比值等於b：d的比值
- 你可以考慮一下 爲什麽它們一樣
- a：b的比值等於
- c：d的比值
- 但無論怎樣 我希望你不要迷惑
- 來看看它是如何轉變成
- 我們遇到的問題
- 假如我們遇到這樣的問題
- 假設有以矩陣形式表示的
- 一次方程的問題
- 實際上 它可以表示爲任何一個一次方程問題
- 矩陣[a,b;c,d]乘上[x,y]等於
- 另外兩個未知的值[e.f]
- 如果已知這個矩陣方程
- 它代表一個一次方程組
- 那麽這個一次方程問題
- 其實就是ax+by=e
- 以及cx+dy=f
- 我們要求它們的交點
- 交點就是解
- 就是這個方程的解向量
- 爲了直觀地感受
- 這兩個直線是什麽樣的
- 我將其改寫成用x表示y的形式
- 這將是什麽？
- 在這種情況下 y等於什麽？
- 等於y=-(a/b)x+e/b
- 我跳了一些步驟
- 兩邊同時減去了ax
- 然後同除以b
- 就得到這個結果
- 對於這個等式
- 把它化成相同的形式
- 解出y
- 得到y=-(c/d)x+f/d\N【此處有筆誤 影片中未修正】
- 我們考慮這些
- 我需要換一種顏色 因爲它看起來――
- 我們考慮如果這項成立
- 那麽這兩個等式會變成什麽
- 其實如果這項成立
- 那麽就不會有行列式
- 從而這就是一個奇異矩陣
- 從而沒有逆矩陣
- 既然它沒有逆矩陣
- 你就不能通過兩邊同時乘以逆的方法
- 來解這個方程
- 因爲逆根本就不存在
- 我們考慮這裡
- 如果它成立 則行列就不存在
- 然而從這些等式的直觀上來看
- 它意味著什麽呢？
- 如果a/b=c/d
- 這兩條直線就有相同的斜率
- 它們斜率相同
- 如果這兩個表達式不同
- 那麽從中能得到什麽？
- 如果這兩條直線斜率相同
- 而縱坐標不同
- 那麽它們相互平行
- 它們永遠不會相交
- 我畫出來 你會得到――
- 上面這個直線方程――
- 這些不一定是正數
- 但是不妨設這個爲負值
- 我就畫一個負的斜率
- 這是第一條直線
- 它的縱坐標爲e/b
- 就是這條直線
- 然後是第二條直線――
- 我換一種顏色――
- 我不知道它是在第一條直線的上面還是下面
- 但是二者肯定是平行的
- 它就像這樣
- 這是縱坐標―― 所以就是這條直線――
- 它的縱坐標爲f/y
- 如果e/b和f/y不相同
- 但是這兩條直線有相同形式的方程
- 即它們相互平行 永不相交
- 因此方程組沒有解
- 如果有人告訴你――
- 用傳統的方法
- 或者使用替換法
- 或者通過加減等式――
- 你都不能找到一個解
- 使得二者相交 前提是a/b=c/d
- 理解奇異矩陣的一種方式是
- 將它們看做是平行線
- 現在你可能會說
- 如果e/b=f/y 那麽這兩條線就相交了
- 如果這兩項相等
- 那麽它們就是相同的直線
- 它們不僅僅是相交
- 而是重合了
- 但你仍然沒有得到唯一解
- 這個方程組不只有一個解
- 它對於所有的x和y值都成立
- 所以當你把矩陣應用到這類問題時
- 你就可以這麽考慮
- 這個矩陣是奇異的
- 如果這兩條直線
- 相互平行
- 甚至是重合的
- 它們相互平行 永不相交
- 或者是重合的
- 相交於無窮多個點
- 這樣A的逆沒有定義
- 或許就能說得通
- 我們來考慮
- 向量的線性組合
- 我不是想擦掉它
- 當我們用因子的線性組合
- 考慮問題時
- 通常用這樣的方式
- 它與下式是相同的
- 即[a,c]x+[b,d]y
- 等於向量[e,f]
- 我們進一步考慮
- 考慮是否有[a,c]和[b,d]線性組合
- 等於向量[e,f]
- 我們剛剛說過它沒有逆
- 因爲我們知道這個行列式等於0
- 如果這個行列式等於0
- 那麽在本題中a/c一定等於b/d
- a/c一定等於b/d
- 這表明了什麽？
- 我畫出來
- 也許代入具體數值會好一些
- 但我想你應該有這種直覺
- 我就畫出四分之一圓
- 假設兩個部分都在其中
- 我畫出來
- 向量[a,c]
- 假設這是a
- 我換一種顏色
- 繼續畫向量[a,c]
- 如果這是a 這是c
- 那麽向量[a,c]就像這樣
- 我畫一下
- 我要寫得簡潔一些
- 向量[a,c]就像這樣
- 這裡有個箭頭
- 向量[b,d]是什麽樣呢？
- 向量[b,d]――
- 我可以把它畫在任意的位置
- 我們假設它沒有導數――
- 抱歉 是沒有行列式
- 我一直都把“行列式”說成“導數”了嗎？
- 但願不是這樣
- 我們假設
- 這個矩陣沒有行列式
- 如果行列式不存在
- 則有a/c=b/d
- 另一種考慮方式是c/a=d/b
- 這表明
- 這兩個向量有相同的斜率
- 如果它們都從0點出發
- 它們的方向相同
- 而它們的長度不同
- 方向是相同的
- 如果這是點b 這是點d
- 向量[b,d]就在這裡
- 如果你還看不出來
- 那麽如果這項成立
- 就考慮爲什麽這兩個向量
- 指向同一個方向
- 這個向量有一部分與前者疊置
- 方向與前者是相同的
- 而長度是不同的
- 其實應該說長度有可能相同
- 現在的問題是
- 我們不知道向量[e,f]是多少
- 我們任取一些點
- 假設這個是e 這個是f
- 這個就是向量[e,f]
- 我換一種顏色
- 比如說向量[e,f]在這
- 我要問的問題是
- 如果這兩個向量方向相同
- 也許長度是不同的
- 那麽是否可以通過這兩個向量的線性組合
- 來構造出這個向量？
- 答案是否定的 你可以將這個向量伸縮或加減
- 你所能做的都是沿著這條直線
- 你能得到的是
- 這些向量的一個倍數
- 因爲它們方向相同
- 所以不能得到
- 其他方向上的任何向量
- 如果這個向量處在一個不同的方向上
- 那麽這個方程組就無解
- 如果這個向量恰好
- 與前兩個向量同向
- 那麽就有一個解
- 就是將它伸縮
- 事實上 存在著關於x和y的
- 無窮多個解
- 如果向量的方向不同
- 那麽就無解
- 不存在這樣的線性組合
- 使得這個向量加這個向量等於這個向量
- 你還要再仔細思考一下
- 然後應該就會明白
- 另一種考慮方式是
- 當你對向量做加法時
- 任何其他的向量
- 爲了沿著這個方向移動
- 需要有這個方向
- 以及另一個方向
- 這樣才能得到另一個向量
- 如果兩個向量
- 方向相同
- 就不能得到方向不同的向量
- 無論如何 我一直在
- 重覆地解釋同一內容
- 但我希望能夠給大家
- 一點直觀的感覺
- 現在你知道了什麽是奇異矩陣
- 知道了什麽時候逆不存在
- 知道了當行列式爲0時
- 矩陣不存在逆
- 我希望――
- 以下是本次課的關鍵――
- 你要理解爲什麽會這樣
- 因爲如果你考慮向量的問題
- 你不能找到――
- 或者不存在這樣的解
- 使得這兩個向量
- 構成那個向量的線性組合
- 或者有無窮多個解
- 同樣的事情
- 對於求兩條直線的交點也是成立的
- 它們或者平行 或者重合
- 如果行列式等於0
- 我們下次課見