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函數的定義域與全域 (英) : 函數的定義域與全域
相關課程
- 我們做幾個例題 關於函數
- 及它的定義域和值域的題目
- 複習一下 函數只是一種運算
- 假設用f代表函數
- 這是函數最常用的字母
- 對輸入x的運算 輸入爲x
- 輸出爲y
- 你可以把它看成 把輸入x
- 放入函數f這個方框中
- 然後對它進行運算 得到輸出y
- x的取值範圍稱爲定義域
- 對於這一範圍的數 f有對應的值 這就是定義域
- 經過f運算得到的數 對應的取值範圍稱爲值域
- 根據剛剛說的
- 列出下面這些問題的函數
- 並指出定義域和值域
- 達斯汀的報酬爲每小時10美元
- 修草坪的報酬 每小時10美元
- 問他的報酬是多少 報酬是時間的函數
- 設達斯汀的報酬這個函數 用d表示
- d是時間的函數 與時間有關
- 輸入這個方框的是他工作的時間
- 等於操作時間乘以10
- 10乘以
- 這裡不寫乘號 直接寫10h
- 當然 他的操作時間不會是負數
- 所以h≥0
- 這是我們定義的函數
- 如果你問
- 如果他工作半小時 要怎麽算
- 把1/2代進去 這裡的h用1/2代替
- 10乘以1/2 我把它寫在這兒
- 達斯汀半小時的報酬
- 只要有h
- 都用1/2代替 乘以1/2 等於5
- 這是我們定義的函數
- 我只是舉個例子 讓你們知道怎麽用
- 下面 我們求解定義域和值域
- 操作時間不能是負數
- 這個數 這個函數 當h<0時沒有意義
- 因此我們可以說非負數
- 而且是實數
- 實數是指包括π和e的任何數
- 但是如果報酬是10乘以π 這樣是不合理的
- 這不是一個現實生活中
- 的合理報酬
- 因爲那意味著在結算的時候 要近似到美分
- 這樣的報酬是不合理的
- 因此他的報酬應該是個有理數
- 它能夠表示成分數
- 所以可以排除像π和e這樣的數
- 如果要很精確地說
- 那就是非負有理數
- 它是指能被表示成分數的數
- 不是大部分的數
- 不是這些無限不循環小數
- 因此非負有理數是可以放到這裡的數
- 值域是有效的-
- 無論h爲何值
- 記住 h只能是非負數
- h爲非負有理數
- 無論h爲何值
- 代入10h這個函數中
- 都能得到正的函數值
- 同樣 它必須是非負數
- 如果輸入是一個有理數
- 可以把它寫成分數形式 再乘以10
- 得到的仍是有理數
- 如果再精確一點
- 可以說是任何實際存在的美元數
- 不過 這個問題不用太精確
- 我想你會懂 我們再做幾個題
- 瑪利亞去做家教
- 教數學一個小時是25美元
- 不滿一小時 最低報酬是15美元
- 瑪利亞的報酬是時間的函數
- 如果時間不夠 她能得到15美元
- 一個小時25美元 要得到15美元的話
- 需要工作15/25 即3/5個小時
- 因此 如果她的時間少於3/5 並大於等於0
- 她可以得到15美元
- 因爲如果她只工作1/5個小時
- 應該是5美元
- 但是題目說了 最低報酬是15美元
- 因此在3/5個小時或者說36分鍾內 她可以得到15美元
- 如果h大於3/5
- 那她每小時的報酬是25美元-
- 她的報酬就是25乘以h
- 這個就是定義的函數
- 現在看看 瑪利亞所得報酬函數的定義域是多少？
- 同樣 這個只對非負數有意義
- 同樣的道理 我們精確一點
- 她不可能工作e或者π小時
- 這個不現實
- 必須能表示成分數
- 比如說 5小時 它可以表示成分數
- 5/1
- 因此是非負有理數
- 那這個函數的值域是多少？
- 至少是15美元
- 不管怎樣 她都會有15美元
- 因此要大於等於15美元
- 因此是大於等於15的有理數
- 等於14這種情況是不存在的
- 她的報酬爲-1 這種情況也不可能
- 它總是大於等於15
- 接下來 我們看看這些抽象的函數
- 我們可以隨便找個數代進去
- 不能是複數 是任何實數
- 我們看一下這樣能否限制一些 f(x)
- 重新寫一下 f（x）=15x-12
- 定義域是多少
- 代入任何實數
- 乘以15 再減去12
- 把π代進去
- 把2的平方代進去 也可以是e
- 可以是任何數
- 我是指任何實數
- 任何實數 代入x 可以得到一個合理的輸出
- 值域是多少
- 同樣 可以得到任何數
- 如果x足夠小 y就可以是任何負數
- 這裡減去12
- 這樣可以得到任何負數
- 還可以是0 也可以是任何正數
- 因此可以是任何實數
- 看這個函數
- f(x） 這裡漏了個等號
- 2x^2+5 問定義域是多少
- 能夠代進來的有意義的數都有哪些
- 我可以把任何數代入
- 可以把e代進來 2e^2+5
- 還可以是根2
- 也可以是一個負數
- 可以是任何實數
- 所有實數 正的 負的 都可以
- 甚至非有理數
- 對應的值域是多少？ 這個很有趣
- 因爲 不論我代入什麽數
- 這個數都大於0
- 這個數是非負數
- 即使是一個負數
- 平方一下
- 就會得到正數
- 因此這個是非負數
- 一個非負數 加上5
- 它總是大於等於5
- 如果這個是0 那得到的是5
- 但如果比0小一點
- 或比0大一點 則得到的就大於5
- 因此值域是所有大於等於5的實數
- f(x)永遠不可能是0
- 不可能是0 第5題
- f(x)=1/x
- 同樣 求定義域
- 我們可以代個數到x中
- 任何實數都是有意義的（注意：此處有誤 應該是非零的實數）
- 取倒數
- 因此是所有實數
- 值域是多少？這個也很有意思
- 因此無論我代入什麽數 總能得到輸出
- 實際上 我得非常仔細
- x=0的時候是沒有意義的
- 任何不爲0的實數
- 如果把0代入 就會變成1/0
- 這樣是沒有意義的 我把它寫下來
- 差點犯了個錯誤 f(0)沒有意義
- 那意味著不知道要怎麽處理0
- 我們沒有定義對0的運算
- 因此f(0)沒有意義
- 因此定義域是除0之外的所有實數
- 值域呢？
- 同樣 除0外可以是任何數
- 可以是非常接近0的數
- 如果x非常非常大
- 這個就會接近0
- 如果x是一個非常非常小的負數 它也會接近於0
- 但是都不可能等於0
- 因此 值域是除0外的所有實數
- 所有實數 除0之外 第6題
- y=x^2-5 求值域是多少
- 定義域是 題目給出了定義域
- 是這些數
- 定義域是-2
- -1 0 1 2
- 這個函數f（x）
- 等於x^2-5 其中x等於
- x是這些數-2
- -1 0 1 2
- 除這些數之外 都是沒有意義的
- 不知道要怎麽處理
- 只有當x是這些數時才能算
- 值域是多少
- 值域是這個函數
- 所有f(x)的值
- 因此值域是
- 是一組代入這些不同x得到的數
- 先算第一個 -2
- （-2）^2-5 就是4-5=-1
- (-1)^2-5
- 等於1-5=-4 代入0 0的平方
- f(0)=0^2-5=-5
- 代入1
- 1^2-5=-4 這個已經有了
- 代入2 2^2-5=-1
- 這個也有了
- 因此這些數就是對應這些輸入
- 得到的函數的輸出
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