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用加減消去法解聯立方程式 (英) : 用加減消去法解聯立方程式
相關課程
- 讓我們來探索更多方法
- 來解方程式
- 例如我有一個方程式 3x+4y=2.5
- 另一個方程式 5x-4y=25.5
- 然後我們要來找x跟y來滿足
- 這兩個式子
- 如果你以圖形來思考的話 這將會是
- 兩條線的交點將會滿足
- 這兩個式子
- 所以我們要如何來進行呢?
- 我們從替代的方法看 我們想要
- 消掉其中的一個變數
- 我們在上次就做過了替代了
- 但是這裡有任何我們可以加或減的 讓我聚焦在
- 黃色上面 在上面這個式子中
- 有任何東西是我們可以在式子的
- 兩邊同時加或是減的?
- 記住 在任何時候 當你在處理一個方程式時
- 你必須同時在兩邊加或是減
- 但是當我們在兩邊同時加獲減一個相同東西
- 其中的一個變數
- 一定會被消掉嗎?
- 我們有一個方程式只有一個變數在裡頭
- 我們可以把他解出來
- 他可能不會相當的明顯 即使
- 他就在你的眼前
- 不過如果我們把這個方程式
- 加到另一個方程式
- 我的意思就是 如果我將5x-4y
- 加到式子的左邊 然後把25.5加到式子的右邊
- 所以如果我只是在字面上 加這個在左邊
- 加這個在右邊
- 你可能就會說 Sal 不會吧 為何你可以
- 像那樣將兩個式子相加?
- 但記住 當你在處理任何等式時 如果我
- 有任何形式的方程式 恩 真的 任何的方程式
- Ax+By=C 如果想在這個方程式上做任何事
- 我就必須在兩邊加上
- 同樣的東西
- 所以我可以 比如說
- 將D加到等式的兩邊
- 因為D=D 所以
- 我並沒有改變這個方程式
- 妳會得到 Ax+By+D=C+D
- 我們已經看過很多很多次了
- 無論妳在哪一邊做了任何事 你必須在另一邊
- 再做一次
- 但是妳又說了 恩 Sal 等等 在左邊
- 妳是加上5x+4y
- 但在右邊 你則是加上25.5
- 妳不是在加兩個不一樣的東西
- 在右邊跟左邊上嗎?
- 然而我的答案是 "不"
- 我們知道5x-4y=25.5
- 所以說這個跟那個是相同的
- 他們都是25.5
- 第二個式子很明確的告訴我們
- 所以我們加這個在左邊
- 很明顯的也是加25.5上去
- 然後我可以在右邊加25.5
- 所以讓我們做吧!
- 如果我們在左邊加了
- 3x+5x=8x
- 然後4y-4y?
- 這就是我們的重點
- 當我看到這兩個式子 我說 噢 我有一個4y
- 我又有一個 "-4y"
- 如果你將兩個東西相加
- 他們就會消掉
- 就會變成"0y"
- 或者這整個項目就整個消失了
- 然後右邊會是2.5+25.5=28
- 所以你劃分開兩邊
- 然後得到8x=28
- 兩邊同除以8 你得到x=28/8
- 或者你將分母跟分子
- 同時除以4
- 所以變成 7/2
- 這就是我們x的值
- 線在我想要把y值解出來
- 然後我們就將他代回
- 其中任何一個式子當中
- 讓我用上面那個
- 妳當然也可以用下面那一個
- 所以我們知道 3x 3*(7/2)
- 我只是將我們找出來的x值
- 所以是 3*(7/2)+4y=2.5
- 讓我寫成5/2
- 我們要保持在分數的世界
- 所以變成21/2+4y=5/2
- 在兩邊同時減掉21/2
- 所以-21/2 -21/2
- 在左邊 妳只剩4y 因為
- 這兩個東西互相抵消 會等於 這是
- (5-21)/2
- 所以是-16/2
- 所以-16/2 是相同的東西
- 恩 我會寫他是-16/2
- 或者我們可以寫 讓我們繼續在這 4y
- 我只是持續在這個思路
- 4y=-8
- 同除以4 所以你可以得到
- y=-2
- 所以這個方程式的解是
- x=7/2 y=-2
- 這將會是他們交集點的座標位置
- 然後你可以試著
- 把他代入兩個式子
- 所以讓我們來驗證
- 他也會符合底下的方程式
- 5*(7/2) 是 35/2 減掉4*-2
- 是-8
- 他將會等於 恩 讓我看看 是17.5+8
- 所以就變成了25.5
- 所以他就就符合了兩個等式
- 現在 讓我們瞧瞧 如果我們可以用我們發現的新技巧
- 來解決問題 我們在消去中
- 發現的新方法
- 這裡說到 Nadia 和 Peter 去糖果店買東西
- Nadia 買了3個糖果棒跟4個水果捲 花了2.84
- Peter也買了3個糖果棒 但只夠負擔
- 額外一個糖果捲的錢
- 他總共付了1.79
- 那一個糖果棒跟一個水果捲各要多少錢呢?
- 讓我先定義一些變數
- 用個 x 跟 y
- 讓x等於糖果棒的價格 我或許想要用a跟f來代表
- 但是我也要繼續用x跟y
- 來代表兩者的價格
- 然後讓y等於水果捲的價格
- 好了
- 讓我們做第一個句子給我們的東西
- Nadia買了3個糖果棒 所以花費是
- 3x
- 和4個水果捲
- +4y 水果捲的花費
- 這就是Nadia所花的錢
- 3個糖果棒跟4個水果捲
- 花了2.84
- 這就是第一句話告訴我們的
- 把他轉變成方程式而已
- 第二個句子
- Peter 也買了3個糖果棒 但是只能夠負擔1個
- 額外的水果捲
- 所以加1個額外的水果捲
- 他的總花費是1.79
- 那糖果棒跟水果捲的個別花費是多少呢?
- 我們將使用消去法來解決這個問題
- 妳可以用任何技巧來解決這個問題
- 例如 替代法 消去法 畫圖法 之類的
- 雖說直接用從圖形上
- 看出來是有點困難
- 所以我們可以如何來解決?
- 記住 用消去法 妳要加的話
- 讓我們聚焦在上面的式子中
- 這裡有任何我們可以加在式子的左右邊
- 來幫助我們
- 消去其中一個變數嗎?
- 或者是 讓我換個方式說 有任何東西是我們可以在兩邊
- 同時加或減的 來幫助我們
- 消去其中一個變數?
- 恩 像這個問題 我們確實有點在這個影片中太早做了
- 如果我們減去這個式子
- 就是從3x+4y 減掉 3x+y
- 在左式 而在右式
- 則是減掉1.79
- 記住 在做這些事時 我會減去相同的東西
- 在方程式的左右邊
- 這便是1.79
- 我是怎麼知道的?
- 因為他說他等於1.79
- 所以如果我們能夠在兩邊
- 減去相同的東西
- 讓我們減掉(3x+y)
- 在式子的左邊
- 然後讓我們做同樣的事在右邊
- 如果減掉3x-y 如同加上
- -3x+y 如果你把負號用了進去
- 所以讓我們來剪吧
- 所以你得到3x-y 或許我應該
- 讓他非常清楚不是加號 妳可以想像
- 我在第二個式子上 兩邊同時乘上-1
- 他就會等於-1.79
- 我只是變一下第二個式子
- 妳可以想像我是乘了-1
- 而現在我可以
- 在左邊加上去了第二個的左邊
- 在右邊加上第二個的右邊
- 然後得到了什麼?
- 當你加3x+4y - 3x -y
- 3x 消掉了
- 3x-3x=0x
- 我不會把它寫下來
- 你得到4x- 不抱歉 是 4y-y
- 就是3y
- 而右邊則等於2.84-1.79
- 那是多少?
- 就是1.05
- 所以說3y=1.05
- 同除以3
- y=? 1.05/3=?
- 所以除1.05
- 3除1=0
- 0*3=0
- 1-0=1
- 把0寫下來
- 3除10
- 3*3=9
- 減掉
- 10-9=1
- 寫下5
- 3除15
- 5*3=15
- 減掉
- 我們沒有餘數了
- 所以y等於0.35
- 所以一個水果捲的花費是0.35
- 現在我們可以代回任何一個式子
- 來求出糖果棒的花費
- 所以讓我用底下的式子
- 用原本那個 如果你記得在我乘以-1之前的式子
- 他會是3x+y=1.79
- 所以代表著3x加上水果捲的花費0.35
- 會等於1.79
- 如果我們在兩邊同時減掉0.35 我們會得到?
- 在左邊 會得到3x
- 其餘的消掉了 右邊則是
- 1.79-0.35
- 就是1.44
- 然後3除1.44 恩 3除1.44
- 他除以1=0
- 0*3=0
- 寫下1
- 減掉
- 寫下4
- 3除14
- 4*3=12
- 我在使這變很亂
- 14-12=2
- 寫下4
- 3除24
- 8*3=24
- 沒有餘數了
- 所以x=0.48
- 所以你得到了
- 我們解出來了 在使用消去法之下
- 一個糖果棒的花費是0.48
- 一個水果捲的花費是0.35
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