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2nd Order Linear Homogeneous Differential Equations 1 : Introduction to 2nd order, linear, homogeneous differential equations with constant coefficients.
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- 現在我們要離開
- 一階微分方程的世界
- 來到二階微分方程的世界
- 什麽意思呢？
- 意思是 現在我們開始
- 涉及二階導數了
- 我馬上要給大家展示的一類是。。
- 這可能是最有用的一類
- 如果你正在學經典物理的話
- 就是二階線性微分方程了
- 什麽是二階線性微分方程呢？
- 我想 在很開始的幾課裏面
- 我們接觸過了
- 它們看上去是這樣的
- 如果我有。。。僅關於x的函數
- 乘以y關於x的二階導數
- 加上b(x)乘以
- y關於x的導數 加上c(x)
- 乘以y等於某函數
- 僅關於x的函數
- 爲了複習一下術語
- y是二階的
- 因爲這裡面的最高階
- 是二階導數
- 所以它是二階的
- 什麽是線性的呢？
- 這裡的所有係數
- 我想 要認真對待這些係數項
- 因爲通常我們認爲
- 它們都是常數
- 但這裡是以x的函數作爲係數
- 爲了使得
- 它是一次方程
- a(x) b(x) c(x)和d(x)
- 它們都只是關於x的函數
- 正如所寫的那樣
- 現在
- 在我們來解普遍情況之前
- 先來處理特殊情況
- 也就是a、b、c都是常數 d是0
- 這看上去怎樣呢？
- 重寫一下
- A不是函數了
- 它只是一個數字
- A乘以 y關於x的二階導
- 加上B乘以一階導 加上Cy
- 第四個常數沒有了
- 不再是d(x)
- 讓它等於0
- 讓它等於0之後
- 我給大家介紹的是
- 另一種形式的齊性微分方程了
- 稱它爲齊次的
- 我實在沒有辦法
- 把這些個二階方程
- 和之前介紹過的一階齊次方程
- 聯係起來
- 這兩種“齊次”
- 看上去沒有什麽聯係
- 我想 它們只是恰巧有一樣的名字
- 盡管它們沒有聯係
- 至於爲什麽它稱爲“齊次”
- 是因爲這爲0
- 所以這使得它是齊次的
- 事實上 我倒是看出了
- 這種方程
- 和均脂牛奶的聯係
- 因爲你想啊
- 所有齊次方程的解
- 當你解出來的時候
- 它們總是等於0
- 所以它們也是“均質”的 我想
- 這勉強說是有點聯係吧
- 所以 我們可以稱這爲二階的
- 因爲A、B、C都是函數。。。
- 它們甚至不是x、y的函數
- 它們只是常數
- 二階線性齊次。。。
- 因爲它們等於0
- 我想 在某種程度上
- 它們解起來倒是挺有趣的
- 事實上 它們很有用 因爲
- 經典物理中有很多應用
- 這就是大家要解得
- 但它們解起來很有趣
- 因爲可以歸結爲代數2的問題
- 馬上我就介紹解法
- 但現在還是細想一下
- 想想這些解
- 都有什麽性質
- 我們來抛磚引玉啦
- 假設g(x)是一個解
- 意味著 Ag''(x)
- 加上Bg' 加上Cg 等於0
- 對吧？
- 這是一樣的東西
- 現在 我的問題是
- 如果g乘上常數呢？
- 那還是一個解麽？
- 我的問題是 c1g(x)
- c1g 還是一個解嗎？
- 好的 我們來試試
- 把這個代入我們的原方程
- A乘以二階導。。。
- 換種顏色 用棕色吧
- A乘以二階導。。。
- 每次求導的時候
- 常數都可以提出去
- 所以是 Ac1g''
- 加上。。。對一階導也是那樣
- B乘以c1g'
- 加上C
- C和c1是不同的 乘以g
- 看看這是否等於0
- 我們可以把c1提出來
- 得到c1乘以Ag''
- 加上Bg'+Cg
- 注意啦 我們知道
- 因爲g(x)是一個解
- 我們知道這是對的
- 所以這會是0
- 因爲g是一個解
- 如果這是0 c1乘以0也是0
- 這裡的式子也會是0
- 另一種理解方式是 如果g是一個解
- 是這個二階線性
- 齊性微分方程的解
- g乘以某常數也會是一個解
- 所以這也是微分方程的一個解
- 然後下一個我想說的性質是。。。
- 不要擔心 這能行
- 我想問的下一個問題是
- 我們知道g(x)是
- 微分方程的一個解
- 如果我告訴你們
- h(x)也是一個解呢？
- 我的問題是
- g(x)+h(x)也是解嗎？
- 如果這兩個函數都是解
- 加一起的話 那還是
- 原方程的解嗎？
- 好吧 我們把這個
- 代入我們的原方程 對吧？
- A乘以這個的
- 二階導
- 好吧 這很簡單粗暴
- 這是g''+h''
- 加上B乘以。。。 它的一階導
- 是g'+h'
- 加上C乘以。。。函數g+h
- 現在怎麽做？
- 用一下分配律
- 得到Ag''
- 加上Ah''
- 加上Bg'
- 加上Bh'
- 加上Cg 加上Ch
- 現在重排一下
- 得到A。。。 處理一下這個
- 所有g項
- A乘以g''
- 加上Bg' 加上Cg
- 共這三項
- 加上Ah''
- 加上Bh' 加上Ch
- 現在 我們知道g和h都是解
- 原微分方程的解
- 根據定義 如果g是
- 原方程的解
- 這就是那方程的
- 左邊
- 這等於0
- 所以它會等於0
- 我們展示過 整個表達式是0
- 如果g是微分方程的解的話
- 是這個二階線性
- 齊性微分方程的解
- h也是解的話
- 把它們加到一起
- 和還是一個解
- 總的來說 如果g是解
- h也是解 加到一起還是解
- 之前看到過
- 乘上任意常數也是解
- 所以可以說 某常數乘以g(x)
- 加上某常數乘以g(x） 還是一個解
- 也許這些常數有某一個
- 會是0
- 我不確定
- 但無論如何 這些都是
- 很有用的性質
- 可以用來理解二階齊劣線性微分方程
- 下一個影片中
- 我們會把這些性質
- 應用到解上面的
- 你們會發現 它們確實很簡單直接
- 我會說
- 比之前的一階齊次方程
- 或者恰當方程
- 都要簡單得多
- 真的很簡單
- 下次見啦