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Exact Equations Intuition 1 (proofy) : Chain rule using partial derivatives (not a proof; more intuition).
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- 現在我要給大家介紹恰當方程
- 這不過是另一種
- 解一種特定類型微分方程的辦法
- 我開始寫了
- 恰當方程
- 在我展示恰當方程之前
- 我先給大家
- 展示一下必要的基礎內容
- 這樣當我作證明時。。。
- 至少大家能有個直覺吧
- 那就不會以爲是憑空而來的了
- 假設 有一個關於x、y的函數
- 讓它是Ψ吧
- 這是因爲
- 人們傾向於用它表示恰當方程
- Ψ是x、y的函數
- 大家可能還不習慣
- 在偏導下來應用連鎖律
- 不過我馬上給大家展示
- 我會給大家一些直覺
- 盡管我不去證明它
- 如果我對它求關於x的導數
- 這裡y也是x的函數
- 我也可以這樣寫 y是。。。
- 清除
- Ψ是x、y的函數
- y也是x的函數
- 可以寫成這樣
- 這不過是兩種不同的
- 寫出同一樣東西的方法
- 現在 如果我要對Ψ
- 求關於x的導數
- 這就是基礎知識了
- 如果我對Ψ求
- 關於x的導數
- 等於。。。
- 這是在求偏過程中應用連鎖律
- 我不去證明了
- 但這裡會給出直觀的印象
- 這會等於
- 函數Ψ
- 關於x的偏導 加上Ψ
- 關於y的偏導 乘上dy/dx
- 這能給大家一些直覺性的東西吧
- 這裡是關於x的導數
- 你可能會說 但不能那樣說
- 因爲這邊是關於y的偏導 還有dy呢
- 它們是不一樣的吧
- 但如果消去的話
- 就得到了另一個關於x的導數
- 如果加到一起的話
- 就得到了關於x的完整導數了
- 這並不完全是直覺 只是爲了告訴大家
- 這些個符號也有一些直觀的東西
- 現在的話 我們說Ψ
- Ψ並不是總是這樣的形式
- 但你可以用相同的方法
- 用更複雜的記號來寫Ψ
- 但這裡還是用Ψ
- 我就不寫出 Ψ是x、y的函數了
- 我們知道 它確實是
- 我們說 它是x的某函數
- 用f1(x)表示 乘上關於y的函數
- 有很多這樣的項
- 有n項這樣的東西 一直加到第n項
- 第n個關於x的函數 乘上第n個關於y的函數
- 我這樣定義了Ψ
- 這樣我就能
- 應用隱式微分 給你一些直覺的東西
- 當我對它關於x求導
- 事實上會得到這樣的東西
- Ψ關於x求導是什麽呢？
- 這是我們之前學過的
- 隱式微分 大家可能
- 在微積分課程開始就學了
- 這是。。。 用求導的乘法法則 對吧？
- 第一個表達式
- 對它求關於x的導數
- 是f1'(x) 乘以
- 第二個函數g1(y)
- 然後是 第二個函數的導數
- 乘上第一個函數
- 因此 就是f1(x)
- 乘以第二個函數的導數
- 現在第二個函數的導數
- 它是關於y的函數
- 可以寫爲g1'(y)
- 不過當然 我們要用連鎖律
- 乘以dy/dx
- 你可能想看看
- 關於隱式微分的影片
- 如果這看上去有點陌生的話
- 但這裡 我所做的
- 這個表達式
- 是它關於x求導
- 我們有n項這樣的
- 如果把它們加到一起 豎著來寫吧
- 加上。。。 有一堆這樣的東西
- 最後一項看上去也一樣
- 不過是第n個關於x的函數罷了
- 是fn'(x)gn(y)
- 加上前項fn(x)
- 乘以後項的導數
- 後項關於y的導數
- 是gn'(y)
- 由連鎖律 還有dy/dx
- 現在就有了2n項
- 這裡有n項 對吧？
- 每一項都是f(x)<i>g(y)</i>
- 或者說f1(x)<i>g1(y)</i>
- 一直加到fn(x)<i>gn(y)</i>
- 現在對於每一項
- 由乘法法則 得到了兩項
- 把這些加到一起
- 加到一起的話
- 這邊是沒有dy/dx的
- 得到什麽呢？
- 把它們加起來
- 我想 可以稱之爲“左側”
- 只是重新排列了
- 等於f1'(x)<i>g1(y) 加上f2'<i>g2。。。</i></i>
- 一直到fn'項
- 不好意思 是fn'(x)gn(y)
- 只是把這些加到一起
- 再加上這些
- 這些都帶有dy/dx
- 我用另一個顏色來寫
- 所有的這些
- 都用另一個顏色寫
- 另一種顏色
- 加上f1(x)g1'(y) 最後再寫dy/dx
- 把它提出去
- 加上。。。 有n項 加到fn(x)gn'(y)
- 最後這些項都要乘以dy/dx
- 現在看上去有趣多了
- 一開始我們定義了Ψ
- 在上面這裡
- 但綠色項是什麽呢？
- 好吧 我們
- 只是處理了其中的每一項
- 這裡的綠色項
- 是關於x
- 對每一項求了偏導
- 因爲如果你
- 關於x求偏導
- 關於y的函數就是常數 對吧？
- 對它們關於x求偏導的話 就是這樣了
- 如果你對這項
- 求關於x的偏導
- 就是把關於y的函數看作常數
- 這項導數就是f'1(x)g1(y)
- 因爲g1(y)是常數
- 其他的類似
- 所有的這些綠色項
- 都可以看做對Ψ求關於x的偏導
- 我們假設了y是常數
- 同理 忽略它
- 如果你只看這裡 這是什麽呢？
- 這裡的Ψ
- 我們把關於x的函數看做常數
- 然後只是求關於y的偏導
- 這就是爲什麽g上會有撇號
- 然後我們乘以dy/dx
- 可以寫出來 這等於。。。
- 用綠色吧
- 這裡的綠色項
- 是Ψ關於x的偏導
- 加上。。。這裡的紫色部分是什麽呢？
- 用另一個顏色寫 紫色
- 這裡
- 是Ψ關於y的偏導數
- 乘以dy/dx
- 這就是我想通過這個影片
- 展示給大家的
- 我發現 我又要超時了
- 連鎖律
- 先是一個變量
- 然後第二個變量
- 也是x的函數
- 這就是連鎖律了
- 如果Ψ是x、y的函數
- 我要求的不是偏導數
- 而是Ψ關於x的全導數
- 它等於?Ψ/?x
- 加上?Ψ/?y<i>dy/dx</i>
- 如果y不是x的函數
- 或者說y獨立於x
- 那dy/dx=0
- 這項就是0
- 那dΨ/dx
- 也就是等於?Ψ/?x了
- 但無論如何 我希望大家記住這些
- 這裡我沒有作證明
- 但還是希望給大家一種直覺
- 希望沒誤導大家
- 我們將會在下一個影片中
- 用到這個性質
- 去理解恰當方程
- 我發現 在這個影片裏
- 最後給大家的還是一種直覺
- 我沒有告訴大家什麽是恰當方程
- 下節課見吧