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相關課程
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- 我們來做一個關於指數型成長的題
- 如果你們想想看
- 會發現我們在這以細菌爲例所要做的
- 和我們學習利率和數字e時
- 進行的那些操作
- 是一樣的
- 因爲如果思考一下--
- 我會在解決問題的同時進行類比
- 總之 這是個復合增長問題
- 或者一個指數型成長問題
- 題目是：細菌培養最初有100個細胞
- 以與其數量成某種比例的速度生長
- 一小時後 數量增至420
- 第一問說 求出t小時後
- 細菌數量的表達式
- 一般而言 任何-- 當你們處理
- 指數型成長或者指數衰減
- 或者連續復合增長
- 或者連續復合衰減時
- 雖然你們很少會聽到那種術語
- 不論題目給的是什麽
- 數量對於時間的函數都是這樣
- 這裡細菌是時間的函數
- 寫作b(t)
- 我在這裡做
- 那麽b-- 在這做吧 b(t)
- 細菌作爲時間的函數
- 等於初始細菌數
- 或者無論任何東西的初始數量
- 因爲我們一開始討論的是複增長
- e^(kt)
- k是複增長率
- 通常 如果已知I0
- 也就是初始數量
- 這樣講得通 對吧？
- 因爲如果t=0 整個表達式就是1
- 所以b(0)應該正是I0
- 所以如果已知初始量
- 就要設法得到另一個點 才能求出k
- 之後就得到了表達式
- 這樣就求出了第一問
- 求出t小時後細菌數量的表達式
- 我的問題是 首先 I0是多少？
- 細菌的初始數量是多少？
- 題目告訴我們了
- 題目在這告訴我們了
- 細菌培養初始有100個細胞
- 所以我們知道時間爲0時函數值b(0)
- 就等於100 單位是細胞個數 對吧？
- 如果把這裡代入t=0 是1
- 所以我們知道I0=100
- 我們做一下
- b(0)還等於-- 如果看那裏
- I0乘以e的幾次方？
- k乘以0爲0 是乘e^0等於I0
- 這告訴我們0時刻細菌數爲100
- 接著當代入這裡時
- 有細菌在0時刻數量是I0
- 所以I0肯定是100
- 好的
- 現在我們有些進展了
- 我們知道細菌作爲時間的函數
- 等於I0 也就是100 乘以e^(kt)
- 現在 如果k已知 那麽就可以做出來a這一問
- 找出t小時後細菌數量的表達式了
- 應該怎麽計算k呢
- 題中給出的另一條件是
- 一小時後 數量增加到420
- 這就告訴我們--
- 我電話響了 是誰啊 我把它關了
- 總之 我該怎麽辦呢？
- 這裡告訴我們
- 一小時後 數量會增加到420
- 也就是給出了b(1) 對吧？
- 一小時後細菌數量增加到420
- 所以b(1)=420
- 也就等於-- 把1代入這裡
- 這是100e^(kt)
- 此時t是多少？
- t是1
- 所以是e^k 對吧？
- 那麽420=100e^k
- 現在可以求出k了
- 看一下結果是什麽
- 兩邊同除以100
- 得到4.2
- 我把e^k放在這邊
- e^k=4.2
- 爲了求出k 對兩邊取自然對數
- 得到k=ln4.2
- 這是個奇怪的數字
- 稍後我們可以用計算器算出來答案
- 那麽這裡就做出來了-- 用起始情況
- 得到了I0
- 接著用這個額外的已知條件 求出了k
- 並得到k=ln4.2
- 剩下的步驟是什麽？
- 現在我們知道等式了
- k與I0都是知道的
- 所以等式是-- 那麽a問
- 等式是b(t) 細菌對時間的函數
- 等於初始細菌數量
- 100個 乘以e^(kt)
- k是ln4.2
- 是4.2
- 之後再乘以t
- 這就是我們的函數
- 我知道讀起來有點難 不過之後會用到它的
- 這應該講得通
- 那麽接著說-- 這是b問了
- 求出3小時後的細菌數
- 這就很簡單直接了
- 函數已經有了
- 在任何時刻
- 我們都可以得出細菌的數量
- 那麽我們算一下3小時後的細菌數
- b(3)等於100乘以e^(3ln4.2)
- 如果有計算器可以計算一下
- e的ln-- 看一下
- 實際上是-- 這個是多少呢？
- 這是一樣的
- 實際上可以通過分析來計算
- 等於100e^ln4.2
- 如果有兩項作爲指數相乘
- 那麽可以把它提出來
- 然後取3次方 對吧？
- 如果化簡一下 我們會說
- 這和把它與這個相乘是一樣的
- e^ln4.2是多少呢？
- 就是4.2 對吧？
- 自然對數的定義是
- 爲了得到4.2 需要給e取多大的指數？
- 也就是e的多少次方等於4.2
- 那就等於-- 我不需要用計算器
- 4.2的3次方
- 我不知道那是多少
- 可能是七十幾
- 所以我們稍後再做
- 這是b部分
- 只需要把它輸到計算器裏就可得到答案
- 這是b部分
- 現在問題是什麽？
- 求出3小時後的增長率
- 我用一種特殊的顏色來做
- 這是要我們做什麽呢？
- 實質上是在問
- 這個函數3小時後的斜率是多少？
- 或者用另一種思考方法
- 時刻爲3時的導數是多少
- 我們來做一下
- 我把這些都擦掉
- 我想可以擦掉
- 因爲已經把函數寫出來了
- 可以擦掉這些
- 實際上可以擦掉這裡的全部
- 因爲剛剛我們回答過了
- 把數輸入計算器就可以解決
- 只保留最初的函數
- 我們來做c部分
- c部分是 求3小時後的增長率
- 那麽我們需要求
- 函數關於時間的導數
- 來做一下
- 那麽b'(t)
- 等於多少呢？
- 那麽導數是-- 我們用連鎖律
- 可以把常數100提出來
- 乘以裏面函數的導數
- 這一項是常數乘以t 所以這裡是常數
- 100乘以ln4.2 再乘以e的
- 這些次方的導數
- e^x的導數是e^x
- 那麽連鎖律告訴我們
- 它是這整個表達式的導數
- 所以乘以e^(t・ln4.2)
- 這就是任何時刻t的導數
- 接著題目要求
- 3小時後的增長率
- 所以b'(3)等於100ln4.2
- 乘以--
- e的-- 我們剛在b部分做過了
- e^(3・ln4.2) 這和--
- 這個表達式值是4.2
- 所以是4.2的3次方
- 那是我們剛才做的對數問題
- 是一樣的邏輯
- 我所做的是把3代入並化簡
- 希望你們可以理解
- 如果不行 你們可以用計算器
- 但這是一個很重要的需要了解的知識
- e^lnx=x 對吧？
- 因爲lnx表示
- e的多少次方等於x
- 所以如果給e取那個指數 會得到x
- 這裡我就是這個意思
- 這個地方和e^ln4.2的t次方
- 是一樣的 對吧？
- 因爲如果進行化簡 把指數提出來
- 乘以這個 就會得到它
- 那麽這就等於4.2^t 對吧？
- 實際上
- 我應該像那樣寫初始表達式
- 我把原來的細菌函數等式重寫爲
- 100乘以-- 同樣的
- 乘以4.2^t
- 實際上 這是個比原來簡單的式子
- 也是a部分的一個更好的答案
- 並且會使b部分更容易解答
- 那麽對於c部分
- c部分實際上--
- 對它來說保持原來的形式更簡單些
- 因爲求底爲e的導數
- 要比求其它底的導數更容易
- 並且我們可能會進行逆變換
- 所以還是用第一種形式好
- 因爲那樣求導簡單
- 我們可以把這個導數重新寫一下
- 可以寫爲 b'(t)=100ln4.2
- 然後乘以4.2^t 對吧？
- 我把這個-- 對不起 不是
- 我拿這個替換了這項
- 總之 我搞得更複雜了
- 還是來看最後一問吧
- 什麽時候細菌數量會達到10000
- 我把c部分的擦去
- 什麽時候數量會達到10000
- 我把得出的結果寫的清晰點
- 我們知道-- a部分
- b(t)=100e^(t・ln4.2)
- 也等於
- 100・4.2^t
- 題目問什麽時候細菌數量會達到10000
- 實質上是問--
- t爲多少時 b(t)=10000
- 所以可以說10000等於這個--
- 100-- 實際上我要用這個式子
- 因爲我想取兩邊的自然對數
- 這樣會使事情簡單
- 100e^(t・ln4.2)
- 可以將兩邊同除以100
- 得到100=e^(t・ln4.2)
- 現在再對等式兩邊
- 取自然對數 對吧？
- 那麽會得到什麽呢？
- 有-- 我畫條分開線-- 好了
- 我換種顏色來做
- 我們有-- 取等式兩邊的自然對數--
- 100的自然對數是--
- 如果對e的多少次方取自然對數
- 結果就等於那個指數
- 如果你們覺著有些困惑
- 可以去複習一下對數的知識
- 不過-- 如果對這邊取自然對數
- 就剩下了指數
- 所以等於(ln4.2)t
- 如果想求t
- 只需對兩邊同除ln4.2
- 會得到t等於ln100
- 除以ln4.2
- 單位是1小時
- 那麽需要多少小時呢
- 只需拿出計算器算一下
- 會得到一個數 它就是需要的小時數
- 希望你們沒覺著很糊塗
- 實際上因爲-- 爲了複習下另一個要點
- 我們可以用這個等式
- 這是一樣的 對吧？
- 用這個式子會得到什麽呢？
- 會有100・4.2^t
- 等於10000
- 兩邊同除以100
- 得到4.2^t=100
- 爲了算出結果
- 你們應該對兩邊
- 取以4.2爲底的對數
- 那麽就是t等於以4.2爲底100的對數
- 我在講指數性質時講過-
- 在對數特性的那個影片中講過了
- 但這點是很有用的 應該要了解
- 怎麽計算-- 你們的計算器有兩種底
- 有以10爲底的對數和以e爲底的對數
- 也就是自然對數
- 那麽該怎麽計算其它底的對數呢
- 一種簡單的方法是取100的自然對數
- 然後除以4.2的自然對數
- 當然也可以取100的以10爲底的對數
- 除以4.2以10爲底的對數
- 無論如何 希望我沒有使你們感到更困惑
- 我會-- 這是指數型成長
- 你們可以替換掉這些詞
- 可以說-- 不以細菌培養爲例
- 可以說一個銀行賬戶一開始有100美元
- 以與其數量成比例的某種速率增長
- 也就是複利
- 接著可以說
- 1小時後數量增長到
- 4.2美元
- 找出存款數的表達式
- 本質上 你們要試著
- 計算複利率以及所有那些問題
- 不過這是相同的例子
- 增長的越快
- 增長率就越大
- 不管怎樣 我會做更多的這類題目
- 因爲它們有一些迷惑性
- 我以後也會出一道指數衰減的題
- 再見