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反函數例題 1 (英)

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反函數例題 1 (英) : 反函數例題 1

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現在有函數f(x)=-x+4
且其曲線已經在坐標平面上畫出來了
我們試著求一下其反函數
要求反函數
我常做的是設變量y
y=f(x) 或者寫成
y=-x+4
現在我們用x表示了y
爲了求反函數要反過來
用y表示x
兩邊同時減4
得到y-4=-x
要求出x
可以對方程兩邊
同時乘以-1
得到-y+4=x
因爲我們習慣於
把自變量寫在左邊
因此可以改寫成x=-y+4
還有另一種寫法
就是f^(-1) (y)=-y+4
這個就是反函數
我們把它寫成了y的函數
爲了得到x的函數我們可以把y命名爲x
我們來做一下
把y重命名爲x
得到f^(-1) (x)=-x+4
這兩個函數是等價的
在這裡我們用y表示自變量
或者說是輸入變量
在這兒則是用x 不過這兩者是完全一樣的
現在爲了有趣我們畫出反函數的曲線
看看它和這條曲線之間的聯係
如果看這個函數它和原函數看起來完全一樣
都是-x+4
是同一個函數
我們看一下如果我們-- y的截距是4
這兩條曲線應該是一樣的
這函數與自己互成反函數
如果要畫出來
應該把它畫到這條線上
有幾種方法思考這一情況
在第一個反函數的影片裏
我講過原函數和反函數是--
它們是關於y=x對稱的
那麽曲線y=x在哪呢？
y=x是這樣子的
而y=-x+4實際上是垂直於
y=x的所以如果取對稱
實際上就是把它翻過來
是同一條曲線
自己是自己的映射
現在我們來確保這是正確的
當我們討論這個函數時
如果代入2 會由函數映射成2
代入4 得到0
如果反過來會怎樣？
輸入是2
兩種方向輸出都是2 這樣可以講得通
對於原函數 4被映射成0
對於反函數 0被映射成4
所以這是完全正確的
換種方式思考
對於原函數-- 我把它寫下來
你們可能對於這很熟悉了不過僅僅是以防萬一
寫出來可能會有幫助的
我們選f(5)
f(5)=-1
或者說原函數把5映射成-1
那麽反函數呢？
f^(-1) (-1)是多少呢？
f^(-1) (-1)=5
或者可以說它把-1映射到5
如果你們想到了集合的概念
也就是定義域和值域
假設這是f的定義域
這是f的值域
f會從5得到-1
這就是f的作用
同時我們知道f^(-1)從-1回到5
f^(-1)把-1變回5
這也是我們所期望的
我再做一道
已知g(x)=-2x-1
就像上個問題設y等於它
y=g(x)
也就等於-2x-1
現在要求x
y+1=-2x
這一步是兩邊同時加1
現在方程兩邊同時除以-2
得到(-y)/2-1/2=x
或者寫成x=(-y)/2-1/2
或者寫成
f^(-1) (y)=(-y)/2-1/2
我們直接把y命名爲x
也就有--
我要仔細點了這不是f
原函數是g 我得說清楚這點
應該是g^(-1) (y)=(-y)/2-1/2
因爲是以g(x)作爲開始的
不是f(x)
要確保用對符號
我們可以重命名y並得到
g^(-1) (x)=(-x)/2-1/2
現在來畫一下圖
y截距是-1/2
這個點在那
斜率是-1/2
如果從-1/2開始
沿正方向移1
會下降1/2
如果再移動1個單位縱坐標又會下降1/2
如果沿反方向移動-- 會變成這樣
我盡最大努力來畫
曲線應該是這樣子的
它會一直延伸所以應該是這樣子
它會沿兩個方向一直延續
現在我們來看一下它們是否
關於y=x對稱 y=x是這條曲線
你們可以看出來它們確實是對稱的
如果把這條藍色的曲線沿y=x翻轉
會得到這條橙色的曲線
按照字面來理解反函數的中心思想是
函數最初被表示爲--
最初是用x表示y的
你們要通過做一些變換
把x用y來表示
得到的就是以y爲自變量的
反函數

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反函數例題 1 (英)

反函數例題 1 (英) : 反函數例題 1