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反函數例題 1 (英) : 反函數例題 1
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- 現在有函數f(x)=-x+4
- 且其曲線已經在坐標平面上畫出來了
- 我們試著求一下其反函數
- 要求反函數
- 我常做的是設變量y
- y=f(x) 或者寫成
- y=-x+4
- 現在 我們用x表示了y
- 爲了求反函數 要反過來
- 用y表示x
- 兩邊同時減4
- 得到y-4=-x
- 要求出x
- 可以對方程兩邊
- 同時乘以-1
- 得到-y+4=x
- 因爲我們習慣於
- 把自變量寫在左邊
- 因此可以改寫成x=-y+4
- 還有另一種寫法
- 就是f^(-1) (y)=-y+4
- 這個就是反函數
- 我們把它寫成了y的函數
- 爲了得到x的函數 我們可以把y命名爲x
- 我們來做一下
- 把y重命名爲x
- 得到f^(-1) (x)=-x+4
- 這兩個函數是等價的
- 在這裡我們用y表示自變量
- 或者說是輸入變量
- 在這兒則是用x 不過這兩者是完全一樣的
- 現在 爲了有趣 我們畫出反函數的曲線
- 看看它和這條曲線之間的聯係
- 如果看這個函數 它和原函數看起來完全一樣
- 都是-x+4
- 是同一個函數
- 我們看一下 如果我們-- y的截距是4
- 這兩條曲線應該是一樣的
- 這函數與自己互成反函數
- 如果要畫出來
- 應該把它畫到這條線上
- 有幾種方法思考這一情況
- 在第一個反函數的影片裏
- 我講過原函數和反函數是--
- 它們是關於y=x對稱的
- 那麽曲線y=x在哪呢？
- y=x是這樣子的
- 而y=-x+4實際上是垂直於
- y=x的 所以如果取對稱
- 實際上就是把它翻過來
- 是同一條曲線
- 自己是自己的映射
- 現在我們來確保這是正確的
- 當我們討論這個函數時
- 如果代入2 會由函數映射成2
- 代入4 得到0
- 如果反過來會怎樣？
- 輸入是2
- 兩種方向輸出都是2 這樣可以講得通
- 對於原函數 4被映射成0
- 對於反函數 0被映射成4
- 所以這是完全正確的
- 換種方式思考
- 對於原函數-- 我把它寫下來
- 你們可能對於這很熟悉了 不過僅僅是以防萬一
- 寫出來可能會有幫助的
- 我們選f(5)
- f(5)=-1
- 或者說原函數把5映射成-1
- 那麽反函數呢？
- f^(-1) (-1)是多少呢？
- f^(-1) (-1)=5
- 或者可以說它把-1映射到5
- 如果你們想到了集合的概念
- 也就是定義域和值域
- 假設這是f的定義域
- 這是f的值域
- f會從5得到-1
- 這就是f的作用
- 同時我們知道f^(-1)從-1回到5
- f^(-1)把-1變回5
- 這也是我們所期望的
- 我再做一道
- 已知g(x)=-2x-1
- 就像上個問題 設y等於它
- y=g(x)
- 也就等於-2x-1
- 現在要求x
- y+1=-2x
- 這一步是兩邊同時加1
- 現在方程兩邊同時除以-2
- 得到(-y)/2-1/2=x
- 或者寫成x=(-y)/2-1/2
- 或者寫成
- f^(-1) (y)=(-y)/2-1/2
- 我們直接把y命名爲x
- 也就有--
- 我要仔細點了 這不是f
- 原函數是g 我得說清楚這點
- 應該是g^(-1) (y)=(-y)/2-1/2
- 因爲是以g(x)作爲開始的
- 不是f(x)
- 要確保用對符號
- 我們可以重命名y並得到
- g^(-1) (x)=(-x)/2-1/2
- 現在來畫一下圖
- y截距是-1/2
- 這個點在那
- 斜率是-1/2
- 如果從-1/2開始
- 沿正方向移1
- 會下降1/2
- 如果再移動1個單位 縱坐標又會下降1/2
- 如果沿反方向移動-- 會變成這樣
- 我盡最大努力來畫
- 曲線應該是這樣子的
- 它會一直延伸 所以應該是這樣子
- 它會沿兩個方向一直延續
- 現在我們來看一下它們是否
- 關於y=x對稱 y=x是這條曲線
- 你們可以看出來 它們確實是對稱的
- 如果把這條藍色的曲線沿y=x翻轉
- 會得到這條橙色的曲線
- 按照字面來理解 反函數的中心思想是
- 函數最初被表示爲--
- 最初是用x表示y的
- 你們要通過做一些變換
- 把x用y來表示
- 得到的就是以y爲自變量的
- 反函數
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