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反函數例題 3 (英) : 反函數例題 3
相關課程
- 函數f(x)=(x-1)2-2
- 定義域限定爲x≤1
- 這就是抛物線左半側
- 有限制條件 所以不是完整U形抛物線
- U形就是讓求逆這麽麻煩的原因
- 要求的是逆函數
- 首先還是設y=f(x)
- 首先還是設y=f(x)
- 或者寫成y=(x-1)2-2
- 條件是x≤1
- 這是y表示成x的形式
- 要求逆 需要求出x表示成y的形式
- 同時需要知道y滿足的條件
- 從圖中可以看出
- y只在大於等於-2時才有定義
- 寫下來 y≥-2
- 現在 這是值域
- 交換x和y後 這就是定義域了
- 這裡先寫在括號裏 下面求x的表達式
- 這裡先寫在括號裏 下面求x的表達式
- 同時別忘了定義域和值域
- 兩側同時加2
- 得到y+2=(x-1)2
- -2和+2抵消掉了
- 這裡 可以關注y的限制條件
- 我們知道 最後y的取值範圍是定義域
- 我們知道 最後y的取值範圍是定義域
- 這裡就交換
- y≥-2
- 括號裏寫上x≤1
- 由於這個形式還很模糊
- 兩個取值範圍都寫上
- 要用y表示x 兩側需要同時開平方
- 要用y表示x 兩側需要同時開平方
- 別搞錯
- 這裡需要非常非常小心
- 下一步 也許會讓你覺得很奇妙
- 下一步 也許會讓你覺得很奇妙
- 我們希望右側只剩下x-1
- 這是開平方的目的
- 希望這裡只有x-1
- 那麽 x-1是正數還是負數呢
- 限制條件是x≤1
- 我們只關心x≤1的情況
- 此時 x-1是負數
- 所以需要負的平方根
- 我講清楚一點
- 比如-3的平方是9
- 想想9開平方的情況
- 等式兩側同時開平方
- 我們希望得到-3
- 如果取正平方根
- 如果取算術平方根
- 結果是3=3
- 但這不是我們要的 我們要的是-3
- 所以需要取負的平方根
- 由於這個x-1是負的
- 要得到x-1
- 兩側需要取負平方根
- 任何數都有正負兩個平方根
- 算術平方根也就是正平方根
- 但這裡需要負平方根
- 因爲x-1是負的
- 這也是我們要的
- 兩側同時取負平方根
- 所以有負根號(y+2)等於…
- 我多寫一步 好讓大家認識更深刻
- …等於-根號(x-1)2
- 條件是y≥-2
- 且x≤1
- 這就是取負平方根的原因
- 我再寫一下
- -根號(y+2)=-根號(x-1)2 也就是x-1
- -根號(y+2)=-根號(x-1)2 也就是x-1
- x-1的平方是正數
- 負平方根是平方後得到這個正數的負數
- (x-1)2的負平方根是x-1
- 希望大家沒被我搞迷糊
- 這裡目的是去掉平方
- 但需要負的平方根
- 而不需要正的1-x
- 別搞糊塗 這裡 需要用y表示x
- 條件是y≥-2
- 兩側同時加1
- 有-根號(y+2)+1=x
- 其中y≥-2
- 或者寫成 x=-根號(y+2)+1 其中y≥-2
- 或者寫成 x=-根號(y+2)+1 其中y≥-2
- 寫成f?1(y)的形式是
- 寫成f?1(y)的形式是
- f?1(y)=-根號(y+2)+1 其中y≥-2
- f?1(y)=-根號(y+2)+1 其中y≥-2
- 然後把變量y都換成x
- 然後把變量y都換成x
- f?1(x)=-根號(x+2)+1 其中x≥-2
- f?1(x)=-根號(x+2)+1 其中x≥-2
- f?1(x)=-根號(x+2)+1 其中x≥-2
- 畫圖
- x=-2時 根號下是0
- 所以點(-2,1)在圖像上
- 而x=-1 對應有負根號1 即-1
- 點(-1,0)在圖像上
- 再看x=2
- 根號下是4
- 根號4即2
- -2+1 所以是-1
- (2,-1)在圖像上
- 逆函數圖像大概是這樣的
- 大概是這樣
- 它和原函數f(x)圖像關於y=x對稱
- 因爲我們其實是交換了x和y
- 這個逆函數問題比較難
- 特別是在還沒學微積分的現在
- 取負平方根比較難意識到
- 由於定義域限制
- 這個x-1是負數
- 所以需要取負的平方根
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