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- 讓我們想一想函數真正是做什麽的
- 然後我們會想一想反函數這個想法
- 讓我們從一個直接的例子開始
- 比方說f(x)=2x+4
- 如果我取f(2), 那就等於2
- 2+4, 那就是4+4，就等於8
- 我可以取f(3), 那就等於2<i>3+4</i>
- 那就等於10
- 6+4
- 讓我們再多想一下
- 從一個抽象一點的方面
- 我有很多東西可以放進這個函數
- 你可能對此已很熟悉
- 那就是定義域
- 一個我可以帶入這個函數的集合
- 那就是定義域
- 在這個定義域,2在裏面,還有3
- 你可以代入任何實數
- 到這個函數裏
- 那就是所有實數,但我們要
- 畫一個好看的集合幫助你形象化
- 現在,當你用這個函數時,我們這樣想
- 那就是拿f(2)
- 我們將2帶入函數
- 結果是8
- 它將我們將2和8聯係起來
- 讓我們在這裡再做一個集合，將所有可能值放進去
- 這樣我的函數就繼續
- 我們將它叫做值域
- 有一個更正式的說法
- 這需要一個更嚴謹的討論
- 特別是在數列裏，
- 這就是所有的不同的數值我可以帶入
- 如果我們從定義域裏拿出2，帶入函數
- 我們會得到8
- 讓我將它畫出來
- 那我們將2聯係到8這裡
- 這已由函數完成
- 這個函數就是在聯係
- 將2和8聯係起來
- 在這裡，那等於f(2)
- 一樣的道理
- 你從3開始，得到10
- 這其中建立了一種關係
- 函數將3和10聯係起來
- 現在，這産生了哥有趣的問題
- 有沒有一個方法從8得到2
- 或者說從10聯係到3
- 或者說是否有其他這樣的函數
- 我們將這叫做反函數
- 讓我們追溯過去
- 是否有其他函數帶我們
- 從10得到3嗎？
- 我們將它叫做反函數
- 我們用這個符號表示，它將我們從10得到3
- 有這樣一種方式嗎？
- 這個反函數，會把我們
- 從8得到2嗎？
- 現在，這看起來非常複雜和困難
- 實際上你會發現很容易
- 解這個反函數，而且我認爲一旦我們成功了
- 我所講的就變得清晰了
- 這個函數會將2得到8，
- 反函數會將8得到2
- 不妨這樣想，我們定義
- y=f(x)
- y=f(x)=2x+4
- 我可以寫成y=2x+4
- 再一次說明，這是我們的函數
- 你給我x，它就給我y的值
- 但我們想從另一個角度想
- 我們想要：給你一個y，得到一個x
- 我們要做的就是用y表示x
- 讓我們這樣做
- 如果我們在等式兩邊同時減去4
- 讓我換一種顏色，如果我們在等式兩邊同時減去4
- 我們得到y-4=2x
- 如果我們在等式兩邊同時除以2
- 我們得到y/2 - 4/2 =x
- 我們可以將它寫成這種形式
- 我們得到
- x=1/2 y - 2
- 我們得到的函數可以讓我們
- 已知y，求x的方法。這正是我們想要的
- 我們想要這個函數將y的值追溯到x
- 我們可以稱它
- 我用同一種顏色
- 這叫做函數y的反函數
- 讓我寫得好看點
- 我們可以說f是y的反函數
- 所以現在值域是反函數的定義域
- y的反函數等於1/2y-2
- 所以我們要做的就是從原函數出發
- y=2x+4
- 我們解得,做一些
- 加減乘除,用y表示x
- 我們說這就是y的反函數
- 就在這裡
- 然後,你知道,如果你說這個
- 你可以喲過a, ab, x代替y,什麽都可以
- 所以我們可以將y用x代替
- 所以你將想帶入函數
- 你得到反函數等於1/2x-2
- 你所要做的是,解x,代替y
- 如果你想這樣做的話
- 那是最簡單的方法
- 有一點我想指出
- 當你畫函數和反函數時
- 讓我在這裡做一些
- 草稿圖像
- 我會做很多解反函數的例子
- 我很想給你一個
- 大概的印象
- 函數將你從定義域得到值域
- 反函數將你從那點帶回到原點
- 原來的值,如果存在的話
- 如果我要作圖的話
- 讓我畫一個直角坐標
- 畫一個x軸
- 第一個函數2x+4, 它在y軸上的截距
- 1,2,3,4就是這樣
- 它的斜率會是這樣
- 它的斜率是2,
- 它看起來像是,讓我做得簡潔些
- 它看起來像這樣
- 這就是那函數的樣子
- 這個函數是怎樣的呢?
- 反函數是怎樣的呢?
- 記住我們解想
- 我們用y代替x
- 我們現在可以說y等於fx的反函數
- 我們的截距是2,1,2
- 現在斜率是1/2
- 斜率看起來像這樣
- 看看我能不能畫出來
- 這條/直線看起來是這樣
- 它們有什麽關係?
- 我的意思是,它們看起來有相關
- 它們關於什麽對稱
- 如果我們畫出y=x的圖像
- 這會變得更清楚
- 那y=x是這樣的
- 我畫成一條虛線
- 你可以看到，原函數和反函數
- 關於y=x對稱
- 希望這成立
- 因爲在這條線上
- 我們舉一個簡單的例子
- 我們的原函數，將0帶入 f(0)=4
- 我們的原函數將0指向4
- 而反函數，如果你將4帶入反函數
- 得到0
- 或者說反函數將4指向0
- 這也是我們想要的
- 原函數將我們從x指向y
- 我們倒轉一下，我們將x和y倒轉
- 我們就得到反函數
- 這就是爲什麽它們關於y=x對稱
- 我剛向你展示的例子
- 將你從0指向4，我應該用函數的顏色
- 原函數將你從0指向4
- 那就是f(0)=4，就在這
- 它從0到4，反函數
- 是從4到0
- 所以反函數將我們從4到0
- 你在這裡見過
- 當你帶入4，1/2 <i>4-2=0</i>
- 下兩個影片我們會一起做一些練習
- 這樣你可以真正明白怎樣解決問題和
- 應用它