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- 歡迎觀看這個關於極限的短片。
- 在我解題之前我們先－－
- 嗯，先解釋一個事情。
- 我們先假設－－等我先確認我的筆能不能用，
- 顏色是不是對的。
- 好的，我們先假設有一個極限。我一會就會
- 解釋極限是什麽。
- 但是你書寫極限的格式是－－哦，我用錯
- 顏色了－－好了，讓我用這只筆然後選上黃色。
- 好了，當 x 趨近於 2 時 x 平方的極限。
- 現在呢，這個符號意思就相當於“當 x 趨近於 2 的時候
- 表達式 x 平方的值是什麽”。
- 這很簡單嘛。
- 如果我們看－－讓我先來畫一個函數圖象。
- 我就用這個黃顏色了。
- 那我來畫圖。
- x 平方的圖像大致是－－我來用另外
- 顏色的筆標注。
- x 平方的圖像大致是這樣，對吧？
- 當 x 等於 2 時，y，或者說是函數表達式－－
- 因爲我們不能說這個（極限）等於什麽。
- 只能說這個表達式－－x 的平方等於4，對吧？
- 那麽極限就是在說，當 x 趨近於 2 時，當 x 趨近於 2
- 無論從哪邊，從 2 左邊的數字或是 2
- 右邊的數字，這個表達式趨近於什麽呢？
- 你或許，我覺得，已經能夠看出結果是什麽了，
- 然後在想，我們幹嘛沒事學這個
- 新概念呢。這不是非常明顯嗎？但是當 x －－
- 當 x 從這個方向越來越接近 2 時，
- 還有當 x 從這個方向越來越接近 2 時，
- 表達式因該等於什麽呢？
- 嗯，它就是等於 4，對吧
- 這個表達式等於 4。
- 我想這個問題的方法就是當你在弧線上越來越
- 接近表達式的值，這個表達式
- 等於什麽呢？
- 在這個情況下，值是 4。
- 你或許想說，薩爾，這個概念看起來完全
- 沒有用啊因爲如果我直接把 2 代進去，然後我知道
- 如果－－假設這是 x 的函數值，那麽它就等於
- x 的平方， 那 x=2 的函數值就是 4，然後這個問題
- 想都不用想就解決了。
- 那我現在或許應該給你一個小小的難題，然後
- 你大概就能理解極限的用處是什麽了。
- 我們先來定義－－我說當 x 不等於 2 時， x 的函數值等於 x 的平方，
- 而當 x 等於 2 時，我們說
- 它等於 3。
- 很有趣吧。
- 那麽這裡的表達式就有一點點變化了。
- 這是我們新的函數。
- 現在我問你一個問題。
- 當 x －－我的筆還能用－－當x 趨近－－我這下用
- 花體－－當 x 趨近於 －－ 這是 x －－
- 趨近於 2 的時候，關於 x 的函數值是什麽呢？
- 這是 x。
- 這是說當 x 趨近於 2。
- 就像這樣。
- 好啦，我先把函數圖象畫出來。
- 這是一個和我之前畫的圖一樣
- 整潔的函數圖象。
- 我來畫。
- 現在這和當初的弧線差不多，只不過在 x 等於 2 時
- 一些有趣的現象發生了。
- 就是這樣.
- 一個x平方的曲線.
- 但是在x等於2, 也就是f(x)等於4的時候, 我們
- 畫一個圈.
- 我們在這裡畫了一個圈是因爲x等於2的時候函數值沒有定義
- x等於2在這兒.
- 這裡是2.
- 這裡是4.
- 這是f(x)的軸, 很明顯.
- 當x等於2 -- 這裡是3.
- 當x等於2, f(x)等於3
- 這個點應該是在圓圈的正下方.
- 應該是 -- 看起來不是完全的正下方,
- 但是我想你明白我的意思.
- 看, 這就是x平方的圖像
- 標準的x平方直到我們遇到x等於2的那個點
- 在x等於2的地方, 我們有一個'空圖' -- 不, 不是'空圖'
- 有一個空白, 不過我們倒是
- 可以發明一個新詞叫他'空圖' (呵呵)
- 我們的圖上有個空白, 然後我們
- 走過x等於2, 曲線又繼續了.
- 那個空白是在這裡定義的
- x等於2的時候會發生什麽?
- 恩, 是f(x)等於3.
- 所以這個曲線是這樣的 -- 它和x平方的曲線幾乎一樣, 但是
- f(2)是不等於4, 而是降到3, 但過了f(2)
- 以後我們又繼續x平方的曲線.
- 回到極限的問題, x接近2的時候
- 的極限是多少?
- 現在, 好的, 讓我們同樣的想想.
- 我們這樣 -- 我會這樣想.
- 當x從這個方向接近2, 從左向右,
- 或者說從少於2的一邊接近2, f(x)開始
- 接近4, 對不對? f(x)接近4, 當x
- 接近2的時候, 對不對?
- 我覺得你不難看出來.
- 如果你沿著曲線, 當你接近f(2)的時候
- 你越來越接近4.
- 同樣的, 如果你從右邊過來 -- 我確認
- 一下我的電腦還在轉.
- 當你從右邊過來, 沿著
- 曲線, f(x)也是慢慢的接近4.
- 所以, 就像你看到的一樣, 當我們越來越接近
- x等於2, f的值
- 接近4, 對不?
- 所以, 這種情況下, 當x接近
- 2的時候的極限也是4.
- 這很有趣, 因爲, 這個函數裏,
- x逼近2的極限不等於f(2).
- 正常情況下, 這個應該寫在這一行.
- 在這個函數裏, 這個表達式的極限
- 等於這個表達式在這一點的值.
- 但在這個函數裏, 極限不等於.
- 我想現在你應該看出來爲什麽極限
- 和函數在一個固定點的值稍微有點不一樣了
- 因爲你的函數
- 不管什麽原因, 在某一個點, 要麽函數沒有
- 定義或者函數向上或向下跳變, 但是如果你
- 接近這個點, 你任然接近一個不同於
- 函數在那個點的值.
- 這就是極限的簡介.
- 我想這個能給你一個關於極限的直觀的認識.
- 在後面的講座裏面, 我會給你一個
- 在數學上更正式, 你知道, 那個σ(delta), ε(epsilon)
- 的極限的定義.
- 實際上, 在緊接著的講座裏嗎, 我會
- 解幾個和極限有關的題目.
- 我認爲如果多做幾個關於極限的題目的話, 你會對
- 極限有個越來越直觀的了解.
- 然後我們會進入到微分和積分的概念.
- 那時候你會明白爲什麽人們會
- 先要引入極限的概念.
- 下次講座見咯.