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相關課程
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相關課程
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- 本期影片我們會試著理解
- 爲什麽--
- 爲什麽複數的指數形式
- 很有用
- 假設我們要求--
- 我們要解方程式
- x^3=1
- 我們要求這個方程
- 所有的實根或者複數根
- 它和x^3-1=0
- 是一樣的
- 所以我們要求它的
- 所有實根和複數根
- 有好幾種方法可以解出
- 這個不含複數的指數形式的方程
- 但-- 我們在影片中將要看到的
- 方法可以被應用在--
- 如果這裡是x^5-1
- 或者x^(13)-1 都可以運用這種方法
- 而且它也可以表明
- 在阿根圖上
- 看問題時的一種模式
- 所以爲了解出方程 我們想一下
- 我們想一下1的複數表示
- 假設z=1 1是複數
- 也是實數
- 所有的實數都是複數
- 是複數的一個子集
- 它們在複數平面上
- 它們沒有虛的-
- 它們僅僅是沒有虛部
- 我們把它在阿根圖上畫出來
- 這是實軸
- 這是虛軸
- 這是實軸 這是虛軸
- 如果想表示z=1
- 由於它只有實部
- 所以我把各個方向的1畫出來
- 1 -1 z應該是這樣
- 應該是這樣的
- 它是一個從0到1的位矢 可以這樣理解：
- 它和1+0i是一樣的
- 現在把這個式子用指數形式表示
- 它的模量很簡單
- z的模就是向量的長度
- 或者說是1的絕對值
- 也就是--
- 也就是1 那麽輻角是多少呢？
- z的輻角是多少？
- 這個向量與正實軸
- 所呈的角度是多少？
- 正實軸上是什麽？ 是實數
- 所以它沒有輻角 也就是說輻角等於0
- 目前爲止可能還沒什麽意思
- 我們剛才計算出了
- 1=1e^(0i)
- 0i 這很明顯 就是e^0
- 這項是0 0乘以i是0
- e^0等於1乘以1 也就是1
- 這沒什麽大不了的 但奇妙的地方在於輻角
- 你們可以把它看成0弧度
- 或者可以給它加2π
- 得到的是同一個點
- 轉一整圈 加上2π
- 得到了同一個點
- 所以我們的複數1的輻角
- 也可以是2π或者4π
- 或者6π
- 或者8π 所以我們可以把1寫成--
- 可以把1寫成1乘以e
- 我不想再寫1了
- 1乘以e^(2πi) 或者是1乘以e^(4πi)
- 這裡有趣的地方在於這個方程
- 這個方程可以被寫成很多種形式
- 可以是x^3=1
- x^3=1
- 也可以寫成x^3=e^(2πi)
- e^(2πi)
- 或者可以寫成x^3=e^(4πi)
- e^(4πi) 這很有趣
- 我們很快就會明白
- 爲了解出x
- 我們對這些方程兩邊取1/3次冪
- 我們要對它取1/3次冪
- 對這個也是一樣
- 爲了求出這些方程的x
- 對每一項都取1/3次冪
- 1/3次方 那麽第一個方程
- 變成了x=1^(1/3)
- 也就是1
- 第二個方程是什麽呢？
- 第二個方程應該是x=e的--
- 這項是2πi/3
- e^(2πi/3)
- 接下來這個方程是
- x等於--
- 很明顯3乘以1/3 左邊這項變成了x^1
- x等於-- 我用藍色來寫
- x等於
- e^(4πi/3)
- 我們想一下
- 我們可以-- 那麽
- 這裡輻角是多少？
- 我寫一下-- 這是3個不同的根
- 我稱它們爲x1 x2 x3
- 這是3個不同的數 其中一個根是1
- 這裡很清楚
- 1是它自己的一個立方根
- 但這些則不同
- 這些是複數
- 我們把這些數變得直觀一些
- 輻角是多少？
- 對於所有這些-- x2的模-
- x2的模是1
- 也就是e的係數 很明顯是1
- x3的模-- 我們用同一種顏色做
- x3的模也是1
- 但x2的輻角是多少？ φ是多少？
- 輻角是多少？ 是2π/3
- 輻角是2π/3 那麽我們該怎麽畫x2呢？
- 輻角是2π/3-- 我總是--
- 對我而言用角度來表示更形象
- 2π是360度 360度除以3
- 是120度
- 120度比180度小60
- 所以應該是這樣的
- 應該是這樣的
- 就像這樣 這是-- 這個角
- 也就是x2的輻角
- 等於120度 也就是2π/3
- 長度是一樣的
- 我用同種顏色做
- 這是x1
- 也就是綠顏色的
- x2是品紅色的
- 它們的模相等
- 我們僅僅是旋轉--
- 旋轉了120度 那麽x3呢？
- 它的輻角是多少？
- x3的輻角是多少？
- 是4π/3
- 如果轉化爲角度
- 也就是720/3
- 3被720除
- 3被720除- 是多少？
- 240？ 720- 是240 我本就應該知道的
- 240度 需要轉180度
- 之後再轉60度
- 也就是在這裡
- 在這個位置
- 像這樣畫出來
- 在這個位置
- 這個角是--
- 這個角是4π/3(弧度)
- 4π/3(弧度) 也就等於--
- 等於240度
- 再一次的 模是一樣的
- 我們可以看到的是
- 當對這個實數取立方根時
- 實質上我是取整個--
- 我想我們可以稱之爲整個圓
- 或者說360度
- 或者說2π弧度-- 我用它除以--
- 除以3
- 這是1/3 這樣我們就有120度
- 以及另一個120度
- 你們應該看出來
- 這些根的分布模式了
- 如果你們仍不滿意--
- 你們會說 好的 你說過
- 要求出複數根 或者--
- 你知道的 我不太習慣這種形式
- 這實際上是複數
- 但我想用a+bi的形式表示
- 我們可以通過這個很簡單的計算出來
- x2 x2等於-
- 等於
- cos(2π/3) + isin(2π/3)
- 如果觀察一下這裡
- 我們可以算出這些項是多少
- 這是輻角
- 如果這個角是60度
- 它確實是 因爲上面這個角是30度
- 直角三角形的斜邊長度是1