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- 這個影片我會給你們證明
- 當x趨向0時sinx/x的極限等於1
- 但在那之前 在我講三角學之前
- 我要複習一下極限的另一個內容
- 那就是夾逼定理
- 因爲一旦你們理解了夾逼定理
- 就可以用它來證明這個問題
- 這是一個複雜的闡述
- 但我認爲你們會發現它很巧妙
- 並且在理解之後會感到滿足感
- 如果你們不能理解 那麽就要記住了
- 因爲這是很有用的極限
- 稍後我們求三角函數導數時你們就會知道
- 那麽什麽是夾逼定理呢
- 夾逼定理是我最喜歡的一個定理
- 可能因爲它裏面有squeeze這個詞吧
- 夾逼定理
- 當你們在微積分的書中讀到它的時候
- 看起來很複雜
- 我不知道你們是在
- 微積分還是微積分預備的教材中看到的
- 反正它看起來很複雜
- 但所講的東西卻是顯而易見的
- 我舉個例子
- 如果我告訴你我總是
- Sal總是吃的比Umama吃的多
- Umama是我的妻子
- 如果我告訴你這是對的
- Sal總是吃的比Umama多
- 還有Sal總是吃的比--
- 我來編個虛構的人物
- Sal吃的比Bill吃的少
- 所以在任意給定的某天裏
- Sal總是會吃的比Umama多
- 且比Bill少
- 如果我告訴你們星期二 Umama吃了300卡路裏
- Bill也吃了300卡路裏
- 那麽我要問的是 Sal吃了多少卡路裏
- 或者說我吃了多少
- 那麽 我總是比Umama吃得多--
- 多於或者等於Umama--
- 並且我總是比Bill吃得少
- 所以星期二我肯定是吃了300卡路裏
- 這就是夾逼定理的要義
- 接下來我會正式地講解
- 但從本質上來說
- 如果我總是比某物大
- 而且總是比另一個小
- 在某點二者相等
- 那麽無論它們等於幾
- 我也必須等於那個數
- 我被擠在了它們二者中間
- 我總是在Umama和Bill之間
- 星期二他們吃的一樣多
- 那我也必須吃那麽多
- 或者至少要接近那麽多
- 我用數學術語表達一下
- 這定理說的是 在某一域上
- 若g(x)少於等於f(x)
- f(x)少於等於h(x)
- 同時我們還知道
- 當x趨向a時 g(x)的極限
- 等於L 以及
- 當x趨向a時 h(x)的極限也等於L
- 那麽由夾逼定理告訴我們-
- 現在我暫時不先證明
- 但理解夾逼定理講的什麽
- 是很有幫助的
- 夾逼定理告訴我們
- 當x趨向a時 f(x)的極限也一定等於L
- 這和我剛舉的例子是一個意思
- 這裡的f(x)
- 可以看成Sal一天吃的
- g(x)是Umama一天吃的 h(x)則表示Bill
- 那麽我總是吃的比Umama多 比Bill少
- 星期二這天 可以認爲a是星期二
- 如果Umama和Bill都吃了300卡路裏
- 那麽我也必須是吃了300卡路裏
- 我畫圖表示一下
- 我畫一下圖 換種顏色
- 夾逼定理
- 夾逼定理
- 我們畫出點(a,L)
- （a,L）
- 假設這是a
- 這是我們關心的 a點 這是L
- g(x)是較小的函數 對吧？
- 假設這裡綠色的是g(x)
- 這個是g(x)
- 我們知道當g(x)趨向--
- g(x)看起來應該是這樣的 對嗎？
- 當x趨向a時
- g(x)的極限等於L
- 在這裡
- 這是g(x)
- 這就是g(x)
- 再換種顏色畫h(x)
- h(x)可能是這樣
- 像這樣
- 這是h(x)
- 我們還知道x趨向a時
- 這是關於x的函數
- 所以可以叫它爲h(x) g(x) 或者f(x)
- 它僅僅取決於坐標軸 這是x軸
- x趨向a時 h(x)的極限--
- 在這點 h(x)等於L
- 或者至少說極限等於L
- 這些函數
- 甚至不需要在a點有定義
- 只要這些極限
- 它的極限和它的極限都存在
- 這點也是很重要的 需要記住的
- 那麽這告訴我們什麽呢？
- f(x)總是比綠色的函數大
- 比h(x)小 對吧？
- 所以我畫的任何f(x)
- 必須要在這兩個之間 對不對？
- 不論我怎麽畫 如果我要畫一個函數
- 必須受這兩個函數的制限來定義
- 必須要穿過這一點
- 或者至少要接近這點
- 或許函數在這點無定義
- 但x趨於a時f(x)的極限必須要等於L
- f(x)不需要在這點有定義
- 希望這會說得通
- 也希望我舉得關於卡路裏的例子
- 對你們會有幫助
- 那麽我們記住
- 夾逼定理
- 現在我們要證明
- x趨於0時 sinx/x的極限爲1
- 我想證明它
- 是因爲它是很有用的一個極限
- 另一個原因是
- 學了夾逼定理後 有時
- 你們可能會想 它在哪裏會用到呢
- 我們會看到的
- 實際上我想在下個影片裏做
- 因爲已經過了8分鍾了
- 下個影片我們會看到 夾逼定理
- 在我們證明中的巨大作用
- 下個影片再見