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相關課程
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- 假設我有3把椅子
- 它們是空閑著的：1 2 3
- 3把椅子 7個人
- 假設這些人是A B C D E- 這是多少了？
- 是5個- F G
- 所以現在有7個人了 我想知道-
- 這7個人坐這3把椅子
- 有多少種不同的方式？
- 在有人坐下之前 如果我們選出一把椅子
- 這些只是椅子的任意標簽
- 我們從左邊的一號椅子開始
- 如果沒有人坐下
- 那麽會有多少不同的人可以坐在一號椅子上？
- 7個人站著
- 沒有人坐在任何一把椅子上
- 所以有7個不同的人可以坐在一號椅子上
- 所以一號椅子有7個可能
- 所以這7個可能中的1個將會
- 坐在一號椅子上
- 那麽剩下有多少人坐在二號椅子上？
- 7減1
- 將會剩下6個人坐在二號椅子上
- 當然 如果2個人已經坐下
- 那麽會剩下幾個人坐在三號椅子呢？
- 將會有5種可能
- 我們來想一下 每一個可能
- 這把椅子上有6種可能
- 這6種可能中有5種可能坐在那把椅子上
- 所以可以把所有的可能乘起來
- 希望這講得通
- 我們通過一些實例來試試
- 這個事件中的可能的總數是
- 7乘以6乘以5 是多少來著？
- 6乘以5是30
- 30乘以7等於210
- 有210種可能
- 可能的方法可真多
- 我們來舉個小點兒的例子
- 我們不要安排人坐椅子了
- 我們有些杯子
- 我們用另外一個顏色來畫杯子
- 所以 這是一個杯子 一號杯子
- 然後是二號杯子
- 我有3個球
- 一個品紅色的球 一個棕色的球
- 還有一個黃色的球
- 那麽 把這三個球放入這兩個杯子中
- 有多少種不同的方式？
- 假設我至今仍沒有把任何一個球放入
- 任何一個杯子中
- 有多少個球- 我們從二號杯子開始
- 我只是想讓你知道
- 並不需要從
- 左邊的碰巧標記爲一號的杯子開始
- 如果我們並沒有把任何球放入任一個杯子裏
- 二號杯子可以有幾種放法？
- 有3種可能
- 對這三種可能中每一個來說
- 一號杯子可以有幾種放法？
- 我們把1個放進這兒
- 就會剩下2個可以放在二號杯子裏
- 所以應該是3乘以2 等於6
- 看看我們可以畫出來麽
- 我們給這些杯子編號
- 因爲不斷切換顏色
- 有些太難
- 所以我們把它們稱爲A B C
- 我會讓你們看到把這3個球放入這2個杯子裏
- 有6種方式
- 所以可能是一號杯子裏放A 二號杯子裏放B
- 可以是一號杯子裏放B 二號杯子裏放A
- 你可以轉換它們
- 我們真正關心的是哪個球進了哪個杯子
- 而不僅僅是一個球進入一個杯子
- 有可能是A和C
- A放入一號杯子 C放入二號杯子
- 可能是C放入一號杯子 A放入二號杯子
- 最後 還有B和C
- B放入一號杯子 C放入二號杯子
- 或者是C放入一號杯子 B放入二號杯子
- 注意 如果我們只是關心選取了哪個球
- 卻不關心把它們放入了一號杯子還是二號杯子
- 這些結果就沒有了
- 放置這些球的方法會變成原來的1/2
- 但是當我們關心球放在哪裏-
- 我們關心球是在一號杯子還是二號杯子
- 或者在此 我們關心人們坐在座位1 2或3上
- 我們排序的方式就稱爲排列
- 到這裡 我們可以這樣寫這個排列
- 呃 可以這樣說
- 7個人安排到3把椅子有多少種方法？
- 如果我們關心人們所坐的椅子
- 所以我們可以這樣寫 7個人-
- p不是代表人
- 而是代表排列- 坐3把椅子
- 它的另一種表示方法 寫一個大寫的P
- 將7件物品放入3個空間有多少種方法？
- 或者可以這樣寫
- 將7件物品放入3個空間有多少種方法？
- 在這個事例中 答案是210
- 這些表示法表示的數都是210
- 我很快就會告訴你這是爲什麽
- 這個我們要怎麽寫？
- 這個是- 我用綠色的筆來寫
- 我們有3件物品 把它放到2個空間裏
- 3件物品放入2個空間
- 就相當於3件物品放入2個空間
- 就等於3件物品放入2個空間
- 來看一下不同的表示方法
- 我們計算得出有6種方法
- 我們看看可不可以推算出一個通用的公式
- 如果要算出nPk
- 把n件物品放入k個空間裏有多少種方法？
- 考慮這個問題 我們來做一下類比
- 有k個位置 1號位置 2號位置 3號位置
- 這樣一直到k號位置
- 第一個位置有n種可能
- 就像我們在前兩個例子中的計算一樣
- 有n種可能
- 然後 既然一個人或一件東西放置在一號位置裏
- 二號位置就有n-1種可能
- 類似地 三號位置有n-2種可能
- 然後 以此類推
- k號位置有多少種可能？
- 按照規律 所有都是
- n減去（位置數減1）
- 其實我們可以從0號位置開始
- 但是這種方式更好
- 因爲實際上一直到k
- 所以最後應該是n-（k-1）
- 這看起來比較複雜 但是是有道理的
- 把7件物品放進3個空間裏 我們做7乘以6乘以-
- 可以看出我們從階乘中提出了
- 前三個數
- 7的階乘就是7乘以6乘以5-
- 我覺得這是有用的
- 這裡只是前3個數
- 7乘以6乘以5乘以4乘以3乘以2乘以1
- 這是7的階乘
- 但是我們只取階乘中的前3個
- 相類似地 6 6也是3的階乘
- 我們可以用另外一種角度來看這個問題
- 就是 我們只取了3的階乘的前2個
- 所以我們在這裡要說的就是
- 我們只取n的階乘的前k個
- 所以有沒有什麽簡單的方式把那個寫下來呢？
- 寫下n的階乘的前k個
- 爲什麽可以
- 我們可以把它寫作n的階乘-
- 這個公式幾乎比它表示的意思還要難
- 我們可以寫作n的階乘-
- n的階乘除以n減k的階乘
- 我們來看看這個行不行
- 會發生什麽？
- 在這個事例中 n的階乘是7的階乘
- 所以就是7乘以6乘以5乘以4乘以
- 3乘以2乘以1
- 然後n減k的階乘是多少？
- 在我們的事例中 k是位置的數目
- 有3個位置
- 所以7減3是4 所以就是4的階乘
- 4乘以3乘以2乘以1
- 當然 這可以消去的
- 我們換個顏色來做
- 這個和這個會消去
- 所以剩下7階乘的前3個
- 7的階乘的3個最大的因數
- 我總是重新推導出這個 因爲我總是想著
- 我們最開始做的
- 我認爲- 好的
- 如果我們是計算排列
- 我一直做階乘直到沒有位置了
- 7乘以6乘以5
- 我們來看看在這兒是不是也成立
- 爲什麽是3的階乘？因爲有3件不同的東西
- 3的階乘除以- 然後是3減2的階乘
- 就是1的階乘
- 所以是3乘以2乘以1除以1
- 當然 1和1消去之後是3乘以2
- 希望這樣講得通
- 很多人
- 他們學習排列表示方法 並且說
- n的階乘除以n減k的階乘
- n是需要放置的物品數目
- n減去所有位置的階乘
- k是存放位置的數目
- 他們就只是記住這些
- 所有這一切說的是你開始做n的階乘
- 但是你只是取了階乘的前3個因子
- 根據前面的影片可知 這講得通
- 如果有7件東西 7件東西可以到這裡來
- 6件可以到這裡來 5件可以到這裡
- 沒有更多的位置了？
- 把它們相乘
- 這就是這個公式的全部意思
- 希望我沒把你弄糊塗
- 下期關於組合的影片時再見