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- 歡迎回來。
- 現在，我們稍微有了一點初步認識對於
- 極限是什麽，或者怎樣計算一個函數的極限。
- 讓我們算幾道題。
- 有些題目是你可能會在考試中或者
- 當你真正想解決一般的極限問題時會看到的。
- 我們再來回顧一遍什麽事極限
- 我的筆無法正常工作。
- 當x接近，打個比方，負1，時
- 極限是什麽。
- 讓我看看，多好的一個表達式啊，
- 我把它放在括號裏，這樣看上去更整潔。
- 2x加2，除以x加1
- 我會做的第一件事是看看
- 如果直接把x的值代入表達式裏會發生什麽。
- 會發生什麽？
- 嗯，x等於-1的時候， 2 x 加2等於幾？
- 2乘以-1.
- 2乘以-1加上2，除以-1加1
- 嗯，分子是- 2 加 2-，等於 0 — —
- 除以……分母是什麽？
- -1 加 1。
- 等於 0。
- 我們知道0除以0等於幾嗎？
- 哦，不。
- 它是未定義的，對吧？
- 所以這種情況下，就像我們再上一個影片裏看到的那樣
- 極極極限值不等於當你把x的值
- 代入表達式時得到的數。
- 因爲你得到了一個未定義的答案。
- 讓我們看看，是否運行極限的我們能找到
- 一個更好的答案。
- 那好，既然我們剛剛開始解決這些關於極限的問題，
- 讓我畫一個圖。
- 我認爲這會讓你更直觀地
- 了解我們在幹嗎。
- 它可能會直接給你答案
- 然後我就會告訴你怎樣從分析來解決這個問題。
- 好，我畫了一個圖像，這些是坐標軸。
- 是事實上，我會同時進行畫圖
- 和分析。
- 所以我要重新寫一下這個表達式，
- 或許我們可以簡化它。
- 所以 2 x 加 2。
- 不就等於2乘以x加1嗎？
- ……
- 2 乘以（x 加 1），對吧？
- 2 x 加 2 等於 2 乘以 x 加1，然後
- 再除以x+1
- 所以只要這分子和分母不等於零
- 這個函數就變成了，
- 這是函數f（x），對吧？
- 這個函數，
- 嗯，只要x不等於-1，
- 你其實可以直接約分，然後式子就變成了這個
- 所以，真的，我們看到 f （x） 就等於 — — 我需要換個
- 更好的工具 — — f （x） 等於 2，當 x 不
- 等於-1的時候。
- 而且我們知道當 x等於-1，表達式的結果是無法定義的。
- 所以等於-1時無法定義，
- 我們怎樣將這個函數畫出來？
- 我們知道f(x)等於2，只要x不等於
- -1 ，還有， f(x)的值無法定義，當x
- 等於-1。
- 重申一下，我所做的全部就是稍稍改寫了一下這完全相同
- 的函數， 對吧？
- 我演示了 我們可以簡化並且可以分子分母同時消掉
- x+1，只要 x 不等於
- -1，不然，它就無法定義。
- 所以讓我來畫這個函數的圖像
- 我去換個顏色
- 用紅色吧
- 所以，這是 2。
- 所以我們看到，x 等……，這是-1。
- ……
- 這樣，對於除了-1的任意一個取值，函數
- f(x)的值，等於2.
- 這裡是1，這是 2，這是 3，依此類推。
- 當x等於-1時，圖像是無法定義的。
- 所以我們在這裡畫個洞。
- 然後我們繼續將圖像向左邊延伸
- 所以，如果我們想算這個極限，我們其實可以直接從圖上看出來
- 嗯，當x……我再換個顏色。
- 當X 從左邊逼近，f(x)等於什麽？
- 嗯，f （x）等於 2、 2、 2、 2、 2。f (x) 等於 2
- 知道x的值到了-1，對吧？
- 同樣地，我們從另一邊逼近，
- 還是一樣
- f (x)等於 2，2，2，直到我們數到了-1。
- 所以您會發現，我會確保您清楚地看到，
- 當x接近-1時， 2x+2除以
- x+1的極限，等於2
- 我在這再畫一條線，這樣您就不會
- 跟其它一大堆弄混了。
- 然後我想，我沒有去正式地證明，極限的值等於2。
- 但是我在說一種分析的方法，而且這實際上
- 是你在代數課上會傾向去做的，
- 你會簡化這個表達式，然後你發現，哦
- 如果這裡沒有這個洞，f(x)應該
- 等於幾，對吧？
- 然後，你就會算出在那個點時它等於幾。
- 我認爲這可能會給你一點初步認識，但是
- 這並不是正式地解決方法。
- 但除非你被要求用，你一般不會被要求寫出
- 正式的解法。
- 你實際上僅僅爲了求出極限，那麽你就可以用
- 這種方法來解決。
- 還有，你可以用另一種方法……我指，我經常
- 用它來檢查我的答案，當我以前做題的時候，這種方法就是，
- 找出計算器，並試試---它到底會等於幾，
- f(1.001)的值等於多少，對吧？
- 你也可以試試x等於0.99時等於什麽，對吧？
- 因爲你想做的其實就是想找出
- 當x非常接近-1時函數的的值。
- 然後你就可以讓x 越來越接近
- -1 ，然後觀察函數的值趨向於多少，在這種
- 情況下，您會看到它越來越趨近2.
- 咱們再來解一道題。
- ……
- 好，舉個例子，當x無限趨近於0時，
- 1除以x的極限是多少？
- 我想畫個圖可能會有用因爲
- 它會給你一個直觀的表現，事實上
- 我們兩種方法都做吧。
- 我說，我們來用一下代幾個不同的數的方法，因爲
- 我覺得它會給我們一個直覺，而且可能會
- 幫助我們繪制圖像。
- 所以我們假設，這是f(x)
- f(x)---你可以發現我的解說其實非常
- 沒有準備 — — ff(x)等於1除以x。
- 我們想算出x接近0時，函數的極極極限值。
- 所以當x等於……算了，我們還是畫個表吧。
- f(x)。
- ……
- 當x等於0的時候，我們不知道f(x)等於幾
- 它是無法定義的。
- 1除以0是無法定義的。
- ……
- 但是 當x =-0.01時，函數的值是多少？
- 嗯，用-0.01，1除以-0.01，等於
- -100，對吧？
- X 等於-0.001，f(x)等於多少？
- 所以我們的取值越來越接近0
- 從負數的方向。
- 嗯，這裡它等於——我得確保我的筆正常
- 工作，而且顏色是對的。
- 壞了，我的工具出毛病了。
- 現在我的電腦也不好使了。
- 讓我看看是怎麽回事。
- ……
- 我認爲我的電腦好像當機了。
- 嗯，我會在下一個視屏中，嘗試解決這個問題。
- 我得繼續講解這個問題。
- 所以，下節課見。只要我
- 弄明白爲什麽我的筆不好用了，然後我們就會
- 繼續討論這個問題。
- 再見。