載入中...
相關課程

登入觀看
⇐ Use this menu to view and help create subtitles for this video in many different languages.
You'll probably want to hide YouTube's captions if using these subtitles.
相關課程
0 / 750
- 歡迎回來。
- 現在,我們稍微有了一點初步認識對於
- 極限是什麽,或者怎樣計算一個函數的極限。
- 讓我們算幾道題。
- 有些題目是你可能會在考試中或者
- 當你真正想解決一般的極限問題時會看到的。
- 我們再來回顧一遍什麽事極限
- 我的筆無法正常工作。
- 當x接近,打個比方,負1,時
- 極限是什麽。
- 讓我看看,多好的一個表達式啊,
- 我把它放在括號裏,這樣看上去更整潔。
- 2x加2,除以x加1
- 我會做的第一件事是看看
- 如果直接把x的值代入表達式裏會發生什麽。
- 會發生什麽?
- 嗯,x等於-1的時候, 2 x 加2等於幾?
- 2乘以-1.
- 2乘以-1加上2,除以-1加1
- 嗯,分子是- 2 加 2-,等於 0 — —
- 除以……分母是什麽?
- -1 加 1。
- 等於 0。
- 我們知道0除以0等於幾嗎?
- 哦,不。
- 它是未定義的,對吧?
- 所以這種情況下,就像我們再上一個影片裏看到的那樣
- 極極極限值不等於當你把x的值
- 代入表達式時得到的數。
- 因爲你得到了一個未定義的答案。
- 讓我們看看,是否運行極限的我們能找到
- 一個更好的答案。
- 那好,既然我們剛剛開始解決這些關於極限的問題,
- 讓我畫一個圖。
- 我認爲這會讓你更直觀地
- 了解我們在幹嗎。
- 它可能會直接給你答案
- 然後我就會告訴你怎樣從分析來解決這個問題。
- 好,我畫了一個圖像,這些是坐標軸。
- 是事實上,我會同時進行畫圖
- 和分析。
- 所以我要重新寫一下這個表達式,
- 或許我們可以簡化它。
- 所以 2 x 加 2。
- 不就等於2乘以x加1嗎?
- ……
- 2 乘以(x 加 1),對吧?
- 2 x 加 2 等於 2 乘以 x 加1,然後
- 再除以x+1
- 所以只要這分子和分母不等於零
- 這個函數就變成了,
- 這是函數f(x),對吧?
- 這個函數,
- 嗯,只要x不等於-1,
- 你其實可以直接約分,然後式子就變成了這個
- 所以,真的,我們看到 f (x) 就等於 — — 我需要換個
- 更好的工具 — — f (x) 等於 2,當 x 不
- 等於-1的時候。
- 而且我們知道當 x等於-1,表達式的結果是無法定義的。
- 所以等於-1時無法定義,
- 我們怎樣將這個函數畫出來?
- 我們知道f(x)等於2,只要x不等於
- -1 ,還有, f(x)的值無法定義,當x
- 等於-1。
- 重申一下,我所做的全部就是稍稍改寫了一下這完全相同
- 的函數, 對吧?
- 我演示了 我們可以簡化並且可以分子分母同時消掉
- x+1,只要 x 不等於
- -1,不然,它就無法定義。
- 所以讓我來畫這個函數的圖像
- 我去換個顏色
- 用紅色吧
- 所以,這是 2。
- 所以我們看到,x 等……,這是-1。
- ……
- 這樣,對於除了-1的任意一個取值,函數
- f(x)的值,等於2.
- 這裡是1,這是 2,這是 3,依此類推。
- 當x等於-1時,圖像是無法定義的。
- 所以我們在這裡畫個洞。
- 然後我們繼續將圖像向左邊延伸
- 所以,如果我們想算這個極限,我們其實可以直接從圖上看出來
- 嗯,當x……我再換個顏色。
- 當X 從左邊逼近,f(x)等於什麽?
- 嗯,f (x)等於 2、 2、 2、 2、 2。f (x) 等於 2
- 知道x的值到了-1,對吧?
- 同樣地,我們從另一邊逼近,
- 還是一樣
- f (x)等於 2,2,2,直到我們數到了-1。
- 所以您會發現,我會確保您清楚地看到,
- 當x接近-1時, 2x+2除以
- x+1的極限,等於2
- 我在這再畫一條線,這樣您就不會
- 跟其它一大堆弄混了。
- 然後我想,我沒有去正式地證明,極限的值等於2。
- 但是我在說一種分析的方法,而且這實際上
- 是你在代數課上會傾向去做的,
- 你會簡化這個表達式,然後你發現,哦
- 如果這裡沒有這個洞,f(x)應該
- 等於幾,對吧?
- 然後,你就會算出在那個點時它等於幾。
- 我認爲這可能會給你一點初步認識,但是
- 這並不是正式地解決方法。
- 但除非你被要求用,你一般不會被要求寫出
- 正式的解法。
- 你實際上僅僅爲了求出極限,那麽你就可以用
- 這種方法來解決。
- 還有,你可以用另一種方法……我指,我經常
- 用它來檢查我的答案,當我以前做題的時候,這種方法就是,
- 找出計算器,並試試---它到底會等於幾,
- f(1.001)的值等於多少,對吧?
- 你也可以試試x等於0.99時等於什麽,對吧?
- 因爲你想做的其實就是想找出
- 當x非常接近-1時函數的的值。
- 然後你就可以讓x 越來越接近
- -1 ,然後觀察函數的值趨向於多少,在這種
- 情況下,您會看到它越來越趨近2.
- 咱們再來解一道題。
- ……
- 好,舉個例子,當x無限趨近於0時,
- 1除以x的極限是多少?
- 我想畫個圖可能會有用因爲
- 它會給你一個直觀的表現,事實上
- 我們兩種方法都做吧。
- 我說,我們來用一下代幾個不同的數的方法,因爲
- 我覺得它會給我們一個直覺,而且可能會
- 幫助我們繪制圖像。
- 所以我們假設,這是f(x)
- f(x)---你可以發現我的解說其實非常
- 沒有準備 — — ff(x)等於1除以x。
- 我們想算出x接近0時,函數的極極極限值。
- 所以當x等於……算了,我們還是畫個表吧。
- f(x)。
- ……
- 當x等於0的時候,我們不知道f(x)等於幾
- 它是無法定義的。
- 1除以0是無法定義的。
- ……
- 但是 當x =-0.01時,函數的值是多少?
- 嗯,用-0.01,1除以-0.01,等於
- -100,對吧?
- X 等於-0.001,f(x)等於多少?
- 所以我們的取值越來越接近0
- 從負數的方向。
- 嗯,這裡它等於——我得確保我的筆正常
- 工作,而且顏色是對的。
- 壞了,我的工具出毛病了。
- 現在我的電腦也不好使了。
- 讓我看看是怎麽回事。
- ……
- 我認爲我的電腦好像當機了。
- 嗯,我會在下一個視屏中,嘗試解決這個問題。
- 我得繼續講解這個問題。
- 所以,下節課見。只要我
- 弄明白爲什麽我的筆不好用了,然後我們就會
- 繼續討論這個問題。
- 再見。