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相關課程
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- 我們再多做點極限的例題
- 我們來做另一道題
- 當x趨向於3時
- (x^2-6x+9)/(x^2-9)的極限是多少
- 不論什麽時候 看到任何求極限的題
- 我要做的第一件事就是把數帶入看看
- 如果得到有意義的結果
- 那樣就算做完了
- 通常這就做完了
- 我不想再說這些空泛的言論了
- 如果函數連續 這就做完了
- 但把3帶入分子後
- 得到了3的平方
- 也就是9 再減18加9
- 結果是0
- 分母也-- 看一下
- 3的平方減9 也是0
- 我們並不喜歡得到0/0
- 我的筆又出故障了
- 我們不喜歡總是得到0
- 那麽有沒有方法可以把式子簡化
- 得到一個新的表達式
- 從而可以在x=3處
- 計算出有意義的值呢
- 無論何時 我看到這兒的這些表達式
- 檢查一下就發現 它們看起來
- 很容易被分解
- 我可以分解它們
- 因爲或許分子分母有相同的因式
- 這樣就可以簡化了
- 它其實和--
- 這個看起來像x+3
- 不是不是 x-3
- 這是x-3
- 這看起來像(x-3)的平方
- 我們寫一下(x-3)乘以(x-3)
- 也就是(x-3)的平方
- 接下來分母上
- 你們知道如何分解
- 是x-3乘以x+3 對吧？
- 所以當x趨向於3時 這個表達式的極限
- 和x趨向於3時 這個表達式的極限
- 是一樣的
- 當然 我們不可能
- 改變這個函數或者表達式
- 在x=3時無定義的事實
- 不過如果我們能簡化它
- 我們就可以進行計算
- 假設x是3以外的任何數
- 可以消掉這兩項
- 因爲它們都不會爲0
- 只有當x=3時才是0
- 所以分子分母上
- 把這個消去
- 那麽我們可以說-- 這裡我並不是很嚴謹
- 但這是爲了更好地教會你們
- 我想你們知道了
- 它和x趨向3時(x-3)/(x+3)的極限
- 是一樣的
- 現在我們試著把x代入 看看會得到什麽
- 在分子上 是3-3
- 仍是0
- 但分母上得到6 對吧？
- 3加3是6
- 現在我們得到了一個好點的數
- 0/6 這是個實數 結果爲0
- 0/6是0
- 這就有趣了
- 第一次做的時候 得到了0/0
- 但現在通過化簡卻得到了0
- 但是 記住表達式在x=3時無定義
- 仍然是很重要的
- 它在任何地方都有定義 但-
- 但如果畫出它的曲線 這也是我鼓勵你們做的
- 你們會發現
- 隨著x越來越接近3
- 表達式的值爲0
- 我知道你們在想什麽
- 不錯 這是0/0
- 是不是計算表達式的值時 每次得到0/0
- 都會以0結束
- 我們來考慮一下
- 我把這擦掉
- 我們看一下-- 筆不寫了--
- 當x趨向1時 x^2-x-2的-
- 不對 是x^2+x-2
- 你們看到了 我在做心算
- 很容易犯錯
- 上面的表達式再除以x-1
- 如果我們代入計算
- 看一下當x=1時會怎樣
- 1的平方加1再減2
- 是0/0
- 我們又一次得到了0/0
- 我們必須想法簡化式子
- 分解一下分子
- 這和x趨向於1時--
- 這是x-1乘以x+2 對吧？
- 我想當你們見過很多求極限的問題後
- 你們會發現即使上面這部分
- 如果上面這部分難以分解
- 你可以試著這樣去考慮
- 分母上的使表達式無定義的那部分
- 很有可能是這上面的因子
- 因此有時你們可能會遇到比這更複雜的
- 不易分解的表達式
- 但是一個很好的突破點是
- 猜測其中一個因子會是下面的表達式
- 因爲這在某種意義上說是這些題目的陷阱
- 因爲可以簡化表達式
- 如果我們再次假設x不等於1
- 那麽這個表達式和這個表達式都不會爲0
- 這兩項就可以消去
- 我們得到 這和x+2在x趨向1時的極限
- 是一樣的
- 現在這就很簡單了
- 當x趨向1時x+2的極限是多少？
- 只需把1代入 得到3
- 這很有趣
- 當我們試著計算表達式在x=1時的值
- 得到了0/0
- 在之前的例子
- 我們看到了簡化之後結果爲0
- 而這個例子結果爲3
- 我很鼓勵你們
- 如果你們有圖形計算器
- 畫一下我們做的這些函數
- 就可以發現這是對的
- 當x趨近於1時
- 函數的值很接近
- 我們求得的極限
- 你們也可以自己想一些問題
- 這就是我所做的
- 你們自己證明
- 我們做下一題
- 我們做一道我認爲很有趣的題
- 當x趨向於無窮
- 當x趨向於無窮時
- 我們說 (x^2+3)/x^3
- 我思考這些趨向於無窮的問題
- 的方法
- 是考慮當x值非常大時
- 情況是怎樣的
- 一種有點作弊嫌疑的方法是
- 如果有一個計算器
- 即使沒有計算器
- 也可以代入很大的數
- 看看x是100萬時
- 以及x是10億時 情況是怎樣的
- 再看看x是萬億的情況
- 我想你們明白了
- 你們會看到-- 如果存在極限
- 你們會看出它是多少
- 但我思考的方法是 在分子上
- 增長最快的項
- 是x^2
- 這是這裡增長最快的項
- 在分母上 增長最快的項是什麽呢？
- 在分母上
- x^3增長最快
- 那麽x^3和x^2
- 哪一個增長的更快呢？
- 是的 x^3比x^2的增長速度
- 要快很多
- 所以當x越來越大時
- 分母要比分子
- 增長的快很多
- 因此你可以想象
- 如果分母比分子增長快很多
- 隨著數字越來越大
- 會得到一個
- 越來越小的分數 對吧？
- 會逐漸趨向於0
- 所以隨著x趨向於無窮 表達式接近0
- 我知道這有點不嚴謹
- 但這其實正是我們思考的方式
- 另一種做法是將分子分母
- 同時除以一個數
- 實際上可以對這個有理分數進行相除
- 你們會得到一個類似於
- 1/x加上什麽什麽的式子
- 那樣你們就會發現
- 當x趨向於無窮時 1/x也是0
- 我們再做一道
- 我會做的很快 可能你們會感到迷惑
- 求一下當x趨向無窮時
- (3x^2+x)/(4x^2-5)的極限
- 這些題看起來有迷惑性
- 但實際上很簡單
- 你們只需考慮
- 當x很大時會怎樣
- 當x很大時
- 這些小項
- 這些比大項增長得慢很多的項
初次見面
好像又更了解你一點了
要常常來找我玩喔！
(1/3) (2/3) (3/3)
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