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極限例題 (第四部分 英語) 第一題有些腦經故障 : 3 interesting limit examples (correct answer for problem 1 is 3/16 (6/(4*8) NOT 6/(4+8))
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- 我的表妹 Nadia 正在修讀一個暑假微積分的課
- 她昨晚打電話給我
- 她在極限這方面有點問題
- 這些問題都很值得討論
- 所以我想不妨把她的問題
- 都錄制成影片
- 好吧，我們開始
- 如果我沒記錯的話
- 我只憑記憶來做這些題目
- 所以這些答案都正確
- 就像我昨晚在電話中討論的一樣
- 如果我記得沒錯的話
- 第一道是 當 z 趨近 2 時 x
- 噢不
- 錯了——不是 x
- 這是個 z
- z^2 + 2x - 8
- 全部除以 z^4 -16
- 所以當你嘗試解一道極限的問題時
- 第一步通常是把數字代入
- 可能當 z 等於 2 時 你把數字代入
- 一切都沒問題
- 如果這是個連續函數
- 當 z 趨近 2 時的極限將會等於函數在 2 的數值
- 不過你會馬上發現當你把 2 代入時
- 這兒 —— 2^4 -16 ——
- 分母等於 0 這整個函數是未定義的
- 所以我們得想些方法來避開這問題
- 當你遇到這種題目時
- 十之八九 分子和分母都能因式分解
- 所以第一個可行的
- 就是因式分解分子和分母
- 所以這等於當 z 趨近 2 時的極限
- 分子的因式是什麽？
- 瞧瞧
- 當你有兩個號碼 加起來等於 2
- 乘起來等於 -8
- 所以這可能是 4 和 -2，對吧？
- 所以這等於 x+ —— 不
- 不是 x
- 我已經很習慣用 x 了
- 像是一只狗似的 [編按：這幽默來自巴甫洛夫的經典心理學實驗]
- 哦
- 我都無法複原這了
- 無論如何 z —— 讓我擦掉這
- 我不想弄得亂糟糟的
- 擦掉這些
- 我嘗試複原 但它不記得我之前做了什麽
- 所以這是 (z + 4)<i>(z - 2)</i>
- 所以這只是因式分解一個二次方程式
- 那麽這是什麽？
- 這的形式像是 a^2 - b^2，對嗎？
- 所以這將是——如果是 a^2 - b^2——
- a 是 z^2，對嗎？
- 所以這等於 (z^2 +4)<i>(z^2 - 4)</i>
- 而這個式子當然也有
- a^2 - b^2，對嗎？[老師講成 a^2 + b^2]
- 所以這進一步分解成 (z + 2)<i>(z - 2)</i>
- 嗯 看起來蠻成功的
- 在分子和分母
- 我們看到有一項是一樣的
- 不只是一樣
- 他們還是之前令我們頭疼的那項，對嗎？
- 因爲當你把 2 代入時 你得到 0
- 所以我們假設我們沒有計算它在 z = 2 時的值
- 因此在其它的值
- 我們可以相除上下這兩項 因爲它們都是一樣的值
- 所以我們剩下什麽？
- 這等於——我已經換顏色了——
- 當 z 趨近 2 時
- z + 4 除以 z^2 +4<i>z +2</i>
- 這等於什麽呢?
- 這等於 6 除以—— 2 平方 + 4 等於什麽？
- 8
- 2 + 2 是 4
- 6 除以 12 是 1/2
- 完成了
- 我想這道是蠻有趣的題目
- 我們再解另一題
- 這個我覺得更有趣
- 她問我——這在考驗我的記憶——
- 但我記得題目的多重點在哪裏
- 所以可能這數字不是她問我的
- 但是希望我能得到相同的特性
- 所以這題是當 x 趨近無窮大時
- x^2 + 4x +1 的平方根 - x
- 所以當你看到這的時候 你會——
- 嗯 這該如何下手
- 我們來解解看
- 當你趨近無窮大 這項會變得很大很大
- 當然我們在取它的平方根
- 看起來這項將會大過這項
- 而且這項會收斂成 x
- 這裡又減去 x
- 所以可能趨近 0
- 至少 當我和她說話時
- 這是我的第一個直覺
- 當然我們會發現 我的直覺是錯的
- 要發現這的話
- 你還真的需要一些小技巧
- 每當你看見一個項的平方根 減去另一些項
- 如果你想除掉那個平方根
- 這是很管用的技巧
- 所以下一步我們將乘於——
- 基本上是我們在複數裏的共轭
- 如果我們有一項是 a + b
- 共轭數是 a - b 對嗎？
- 又或者我們有 a - b
- 共轭數是 a + b
- 這原因——還有我們會做的——
- 是乘以這個的共轭數
- 爲什麽這很普遍？
- 爲什麽這麽有用？
- 因爲我們有 a - b
- 如果我乘以 a + b
- 我們會得到 a^2 - b^2
- 就可以去掉這根號
- 沒花太多力氣
- 讓我們嘗試看看
- 上下乘於這的共轭數
- 但我們不能直接乘於它 對吧？
- 我們必須乘於它除以它自己
- 因爲你不能改變它的數值
- 只能乘以 1
- 乘以共轭數：
- x^2 +4x + 1 的根號 + x 對吧
- 這是共轭數 對吧？
- 我們有個 +x 而不是 -x
- 我們不能直接乘
- 我們必須乘於 1
- 不然會改變它的數值
- 所以除以相同的東西
- x^2 + 4x +1 的根號+ x
- 讓我把這些擦掉
- 不然會被幹擾
- 不想被幹擾
- 所以我們有什麽？
- 這是當 x 趨近無窮大時的極限
- 嗯 這是 a - b 乘於 a + b
- 所以得到了一個平方項
- 所以這平方項是什麽？
- 這是 x^2 + 4x + 1 - b^2
- 那麽 b^2 是什麽？
- b 是 x
- 所以減去 x^2
- 這都是代數的活兒
- 除以這東西：
- x^2 + 4x +1 的平方根 + x
- 讓我瞧瞧
- 我們可以再簡化一下
- 我們可以減去——上面這兩項互相抵消
- 所以 x^2 - x^2
- 所以讓我檢查一下我們還能做什麽
- 嗯 既然我們取 x 趨向無窮大
- 你通常會這麽做
- 我們可以分子和分母都除以
- 最高次方的項
- 在這裡 最高次方的項是 x，對嗎？
- 這有個 x 這裡也有 x
- 當你取——當然 當你用 x 除這個時
- 再趨近無窮大
- 這會趨近 0
- 讓我做做看
- x 除分子和分母
- 記得：你對分子做了什麽
- 分母也得做相同的動作
- 不然你就會改變式子的數值
- 所以乘以 1/x 除以 1/x
- 我只是用 x 除分子和分母
- 這將等於當 x 趨近無窮大時的極限
- 這將是 4 + 1/x 除以 ——
- 讓我問你個問題
- 1/x 乘於這個是什麽？
- 這是個代數的複習
- 1/x 乘於 x^2 + 4x +1 的平方根 是什麽？
- 我在這邊上做一下
- 嗯 1/x 放進這平方根內
- 會變成 1/x^2 對嗎？
- 當然你可以說是 1^2/x^2
- 這是一樣的東西
- 你可以說是 1^2
- 你可以在這平方 但是——
- 乘以 x^2 + 4x +1
- 這對你來說蠻合理的 對吧？
- 因爲如果我們先這麽做
- 我們可以輕松地取這的平方根 再拿到外面
- 這的平方根是 1/x
- 我只是反過來做 對吧？
- 所以假設你還能接受這
- 這平方根的全部東西
- 即使我們其實在除以 1/x
- 因爲我們把它拿進平方根內
- 我們其實在除以 x^2
- 這等於——這是平方根——
- x^2/x^2 等於 1 對吧？
- 我希望你能理解爲什麽我會除以 x^2
- 其實我們是在除以 1/x
- 當你把它放進平方根內
- 它變成了 1/x^2
- 讓我這麽說
- 1/x 乘於 a 的平方根
- 這是一樣的東西
- 這等於 1^2/x^2 的平方根
- 乘於 a 對吧？
- 這只是 1/x^2
- 所以這是我們用的代數
- 無論如何 我們用 x^2 除這全部
- 這等於 1 + 4/x + 1/x^2
- 當然我用 x
- 除以這這個項 對吧？
- 因爲這不在根號內
- 這等於 1
- 所以現在 當 x 趨近無窮大時的極限是什麽？
- 嗯 當 x 趨近無窮大時
- 這個項等於 0 對嗎？
- 1 除 無窮大等於 0
- 這項等於 0
- 這項等於 0
- 所以我們剩下什麽？
- 這等於 4 除 1 的平方根 + 1
- 這是 1
- 所以是 4/2 等於 2
- 完成了
- 讓我們再做多一題
- 這是她問我的第三題
- 這題我們必須複習一下三角函數的恆等式
- 比較難的極限問題
- 通常都在考你的代數和三角學
- 非常非常地難
- 所以你必須了解如何處理這些函數
- 因爲極限的部分 你必須簡化它
- 直到取極限時 是十分直截了當的事情
- 讓我解這三角問題
- 清空
- 換個顏色
- 所以這是 當 x 趨近 0 時
- cot 2x 的極限
- 是這嗎？
- 對
- cot 2x 除以 cosec x
- 這個 就像是之前的問題
- 除了要了解微積分之外
- 還需要了解三角恆等式
- cosec x
- 等於 1/sin x
- 我之所以會記得 因爲它並不很直觀
- 你可能覺得 cosec 是 1/cos
- 不是的
- 是 1/sin
- 所以它並不直觀 所以我才會記得
- 而 cot 2x 等於 1/tan 2x
- 而 tan 是 sin/cos
- 所以 cot 是相反過來的
- 所以這等於 cos 2x/sin 2x 對吧？
- OK
- 那這等於什麽？
- 這是當 x 趨近 0 時的極限
- cot 2x 是 cos 2x 除以 sin 2x
- 所以這是這些除以 cosec x
- 這是 1/sin x
- 所以你除以 1/sin x
- 正等於乘於 sin x
- 所以我們得到什麽？
- 我們有 cos —— 嗯 sin x 乘於 cos 2x
- 全部除以 sin 2x
- 一些小演算
- 我們這有個問題
- 因爲當 x 趨近 0
- 這項趨近 0 而分母是個 0
- 這不是個可以接受的答案
- 因爲它是未定義的
- 所以這就是原因
- 爲什麽我們會解這個極限
- 而你應該先嘗試這個
- 你必須先嘗試代入這數字
- 才會發現你在分母會算到一個 0
- 這變得完全無法計算
- 對
- 因爲真的
- 我們還沒碰到任何一項
- 這和這是同樣的東西
- 當你把 0 代入這裡 這變成未定義
- 所以我們還可以做什麽？
- 嗯 這時就是三角函數派上用場時
- 該好好回憶一下
- sin 2x 等於？
- 這是你其中一個倍角公式
- sin 2x 等於 2 sin x cos x
- 如果你記得這公式的話
- 簡化這個會變得十分簡單
- 所以這是 2 sin x cos x
- 假設 x 不是 0 只是趨近於 0
- 我們可以在分子和分母都除以 sin x
- 我們剩下什麽？
- 剩下當 x 趨近 0 時
- cos 2x 除以 2 cos x 的極限
- cos 0 等於什麽？
- cos 0 是 1 對吧？
- 所以 cos 2<i>0 2<i>0 等於 0 所以這項是 1</i></i>
- 所以是 1 除以——
- 嗯 cos 0 是 1 —— 2 乘以 1
- 所以是 1/2
- 完成了
- 這三道極限題都蠻有分量的
- 當然如果你知道了
- 你可能已經有心理準備 你的老師會問你什麽了
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