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極座標 1 (英) : 介紹極座標
相關課程
- 之前我們都是
- 在笛卡爾座標係中討論
- 即便你們可能沒有意識到
- 是笛卡爾座標係
- 因爲之前我沒有這樣說過
- 那麽什麽是笛卡爾坐標？
- 畫出坐標軸
- 現在你們非常熟悉了
- 不熟練的話複習一下之前的影片
- 畫出y軸和x軸
- 實際上笛卡爾坐標
- 不僅適用於二維平面
- 但是我們將要討論二維平面
- 如果要確定二維平面上任意一點
- 只需要給出
- x軸方向上的距離
- 和y軸方向上的距離
- 就可以確定這個點
- 看一下
- 給出這個點的
- 笛卡爾坐標 那麽
- 爲到達這個點
- 需要右移3個單位長度
- 坐標爲3
- 上移4個單位長度
- 1,2,3,4
- 到達這一點
- 按照慣例 這是橫坐標
- 這是縱坐標
- 稱這個點坐標爲(3,4)
- 這是慣例
- 第一個坐標表征x方向上移動的距離
- 第二個坐標
- 表征上下或者說y方向移動的距離
- 所以是(3,4)
- 可以右移3個單位後再上移4個單位
- 或者說上移4個單位後再右移3個單位
- 都可以到達這個點
- 這只是確定
- 二維平面點的一種方法
- 其他的方法 可能你們在日常生活中
- 用到過
- 就是說給定一個方向
- 然後在這個方向上移動一定距離
- 也就是說
- 假設是這個方向
- 假設是這個方向
- 需要移動這段距離
- 在這個方向上移動這段距離
- 同樣得到這個點
- 那麽如何給出這個方向呢？
- 爲什麽稱之爲0°？
- 爲什麽稱之爲x軸？
- 爲什麽稱之爲0°？
- 我們討論角度
- 希望你們會做角度和弧度的轉換
- 那麽可以輕松地轉換到弧度
- 可以將這個方向定義爲0°
- 設這個角度爲θ
- 我指出這個方向
- 可以想象成一個人蒙住眼睛
- 給他指出這個方向
- 然後你說走r單位長度
- 那麽他們會到達這一點
- 所以指定這一點
- 這是笛卡爾坐標
- (x,y)
- 現在用另一種表示方法
- 用紅色筆寫
- 也可以用(r,θ)表示
- 基本意義是
- 沿θ方向移動r個基本單位
- 我們來表示一下
- 因爲這樣敘述太抽象
- 不容易理解
- 從三角函數入手
- 其實只是利用勾股定理
- 能否求出r和θ？
- r比較容易求解
- 因爲看一下
- 這是直角三角形
- 直角三角形
- 這段距離爲3
- 這段距離爲4
- 這個角是直角
- 那麽r是多少？
- 根據勾股定理
- 3的平方加4的平方等於
- 斜邊的平方 也就是r方
- 那麽3的平方加4的平方
- 等於r方
- 9+16=r方
- 25=r方
- 我們不考慮距離爲負值
- 那麽r=5 很好
- 已經得到r=5
- 如何求θ？
- 現在已知什麽？
- 我們要求θ
- 這是θ的對邊
- 回到"soh cah toa"
- 寫出來"soh cah toa"
- 如果你對此完全不熟悉
- 就去看一下"基本三角學"這節影片
- 已知θ的對邊
- 是4
- 鄰邊同樣已知
- 是3
- 那麽哪個三角函數
- 用到對邊和鄰邊？
- 是"toa"
- 對邊和鄰邊
- tan
- tanθ等於對邊
- 也就是縱坐標y
- 等於4 除以鄰邊
- 也就是橫坐標 等於3
- 那麽tanθ=4/3
- 爲求解θ
- 可以對等號兩邊同時求arctan
- 一回事
- 取決於計算者
- 或是使用的慣例 可以寫爲
- 對兩邊求arctan
- 得到--寫出來
- 可以寫爲
- arctan(tanθ)=arctan4/3
- 當然正切值的反正切
- 也就是
- arctan(tanθ)
- 就等於θ
- 化簡得到θ
- 等於arctan4/3
- arctan的另一種寫法是
- 經尋常表現爲
- 等同於
- 寫爲tan-1
- 有時這樣寫
- 雖然這種寫法帶有迷惑性
- 但是通常這樣表示
- 因爲不知道的話
- 還以爲在求tanθ的-1次方
- 或是別的
- 但是有時就表示爲tan-1
- 不管哪種表示方法
- 可以由arctan4/3求得θ
- 絕大部分人都記不住arctan4/3
- 如果不用TI-85的話
- 我也不知道怎麽求
- 拿出計算器
- 好了
- 那麽怎樣求arctan
- 要求反正切
- 計算器向上放一些
- 你們就能可以看到了
- arctan在這裡
- tan-1(4/3)
- 我已經調到角度模式了
- 得到53.13°
- 所以θ=53.13°
- 求解出來了
- 我們知道二維平面上這個點
- 可以表示爲
- x=3 y=4
- 也可以表示爲r=5
- θ=53.13°
- 寫出來
- 極坐標是(r,θ)
- r=5 θ=53.13°
- 也就是說 從x軸沿逆時針方向
- 轉53.13°
- 然後移動5個單位長度
- 就可以得到這個點
- 這就是極坐標的意義
- 再做一個
- 我們來求一個
- 一般性的問題
- 因爲只要學會一般情況
- 就可以求解特殊情況下的問題
- 取任意一點
- 上一次我們給定一點
- 是(3,4)
- 我想是這樣的
- 取點(x,y)
- 在這裡
- 橫坐標在這
- 縱坐標在這
- 如何轉換爲r
- 轉換爲極坐標？(r,θ)
- 和上次相同
- 設長度爲r 角度爲θ
- 像上個一樣
- 利用勾股定理
- x方加上
- 這段距離爲y
- 這段距離爲x
- 根據勾股定理 x方+y方
- 等於r方
- 這是勾股定理
- 然後求tanθ
- 這個角的正切值
- "soh cah toa"
- 對應"toa"
- 對邊除以鄰邊
- tanθ等於
- 對邊y除以鄰邊x
- 這就是你所需要的
- 如果想再求一步
- 可以寫在
- 筆記的一旁
- 用其他的表示方法時
- 如何表示y？
- 如果已知r和θ如何求y？
- 我們來想一下
- 如果要求-
- 如果已知r和y
- 要求θ
- 如何利用r和y求解θ？
- r是斜邊
- y是對邊
- 寫出來"soh cah toa"
- 哪個函數用到對邊和斜邊？
- sin
- sinθ等於對邊
- 也就是y
- 除以斜邊r
- 兩邊同乘以r
- 得到rsinθ=y
- 換一種方法
- 如何得到關於θ r和x的
- 等式？
- x是鄰邊
- 斜邊還是r
- 哪個函數用到鄰邊和斜邊？
- 是"cah" cos
- cosθ等於
- 鄰邊x
- 除以斜邊r
- 兩邊同乘以r得到
- x=rcosθ
- 如果得到了由三角恆等式推導出的
- 這個公式
- 這個公式
- 是由"soh cah toa" 推導出來的
- 這個是由"soh cah toa"推導出來的
- 如果這些已知
- 已知這兩個式子
- 可以很容易推導出那個式子
- 這個式子用到勾股定理
- 現在你們完全有能力
- 可以完成極坐標和
- 笛卡爾坐標的轉換了
- 下次課再講
- 已經超時了
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