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相關課程
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- 現在我們對夾逼定理
- 有了較好的理解
- 我們會用它來證明--
- 我用黃色來做--
- 當x趨於0時 sinx/x的極限
- 等於1
- 現在你們肯定很期待
- 因爲之前我說過好幾次了
- 那麽我們開始吧 我們必須以-- 顯然
- 這需要用到三角學
- 會是一個形象地證明
- 那麽我先畫一下單位圓
- 的第一和第四象限
- 我用品紅色來畫
- 我看看能不能-- 我應該畫大點
- 看一下
- 應該要畫大點
- 像這樣
- 這很接近了
- 接下來畫一下坐標軸
- 這是x軸 是這樣的
- 對不起 那應該是y軸
- 好了
- 接下來x軸 像這樣
- 這個是單位圓
- 好了
- 現在我來畫一些其它的東西
- 我來畫個-- 這是半徑
- 不過我要超出單位圓
- 一直到這兒
- 爲了說明問題 再畫一些東西
- 哦 不是這樣
- 從這點開始
- 像這樣
- 然後從這點開始 像這樣
- 再從這一點畫這樣一條線
- 要開始證明了
- 準備好了
- 我說的什麽來著？
- 這是單位圓 對吧?
- 單位圓意味著什麽呢？
- 是半徑爲1的圓
- 所以這裡和這裡的距離是1
- 如果這個角是x弧度
- 這條線的長度是多少呢？
- 這條線長度是多少？
- 由定義 sinx表示
- 單位圓上任意一點的縱坐標
- 所以這是sinx
- 我快沒地方寫了 畫個箭頭
- 這是sinx
- 我再問個稍微難點的
- 這個長度是多少
- 我們想一下
- 什麽是正切
- 我們通過SOH-CAH-TOA想一下正切的定義
- TOA
- 正切等於對邊比鄰邊
- tanx是多少呢？
- 應該等於-- 可以拿這個來說明--
- 如果說這是直角三角形
- 那麽就是對邊長度
- 比鄰邊長度 對吧？
- 我們稱這個長度
- 稱它爲o 表示對邊
- 但鄰邊長度爲多少呢？
- 這個大三角形
- 是單位圓 對吧？
- 所以這裡到這裡的距離
- 這距離是1 對吧？
- 因爲這又是一個半徑
- 長爲1
- 那麽對邊比鄰邊等於tanx
- 由於鄰邊爲1
- 所以對邊的長度
- 就等於tanx
- 另一種說法是
- tanx等於這條邊除以1
- 或者說等於這條邊的長度
- 我把它寫下來
- 這條邊等於tanx
- 現在我們來討論
- 圖的這幾個部分的面積
- 或許我該畫得大點
- 但我想我們可以解決的
- 首先我選擇較小的三角形
- 也就是這一個
- 用綠色描一下
- 我用綠色塗的這個三角形
- 面積是多少？
- 應該是二分之一底乘高
- 二分之一底 底是1
- 對吧？
- 這是整個三角形
- 它的高是多少呢？
- 剛才我們已經計算出來了
- 高是sinx
- 乘以sinx
- 這是那個綠色的三角形的面積
- 那麽這個扇形的面積--
- 我用其他顏色描一下
- 用紅色
- 這個扇形的面積是多少
- 這個扇形
- 這兒的這個扇形
- 希望你們看的出來這是個不同的顏色
- 那麽 這個扇形
- 一直到這兒
- 一直到這段弧
- 它比我們剛才計算的三角形
- 大一點 對吧？
- 它總會大那麽一點
- 因爲它包含三角形
- 和圓弧之間的區域 對吧？
- 那段弧形區域的面積是多少?
- 如果這個角是x-- x弧度
- 它占整個單位圓的百分比是多少？
- 一個單位圓有2π的弧度
- 那麽這個區域面積是多少呢？
- 它等於x占整個單位圓弧度
- 的百分比
- 也就是x除以
- 整個單位圓的2π弧度
- 所以它是-- 你們知道
- 用角度表示的話 是它比上
- 360度
- 乘以整個圓的面積 對吧？
- 這告訴我們扇形占圓的比例
- 我們要用它乘以
- 整個圓的面積
- 這個單位圓的面積是多少呢？
- 面積等於πr方 半徑是1 對吧？
- 所以整個圓的面積是π
- π乘以r方 r是1 所以圓的面積--
- 這個扇形的面積
- 等於
- 這兩個π消去了-- 等於x除以2
- 所以這個小三角形
- 也就是這個綠色的三角形 是sinx
- 1/2sinx 這是綠色三角形的面積
- 這個大一點的扇形的面積--
- 我們剛才計算出來了--是x除以2
- 現在算一下這個大點的三角形的面積
- 這個大的三角形
- 這個看起來是最明顯的
- 那麽1/2底乘高
- 也就是1/2-- 底仍是1
- 1乘以高 是tanx
- 等於1/2tanx
- 那麽看這個圖應該很清楚
- 不論我把頂上這條線畫在哪
- 這個綠色三角形的面積
- 都少於這個扇形
- 而扇形的面積少於這個大三角形
- 對吧？
- 我們寫一個不等式
- 綠色三角形的面積
- 1/2sinx
- 這是綠色三角形的面積
- 少於扇形的面積
- 也就是x除以2
- 這兩者都少於
- 大的三角形的面積 對吧？
- 也就是1/2tanx
- 這在什麽時候成立呢？
- 只要在第一象限就是成立的
- 只要在第一象限
- 在第四象限也是可以的
- 但是這時sinx是負的
- tanx是負的 x也是負的
- 但如果取絕對值
- 則在第四象限也成立
- 因爲只要出現負數
- 取絕對值後
- 長度仍然是有效的
- 仍然可以得到正數的面積值 類似的東西
- 由於我的目的是求x趨向0時的極限
- 我要求這個極限--
- 爲了極限有定義
- 必須
- 要從兩個方向取極限
- 我們求一下兩邊的絕對值
- 希望對你們有幫助
- 如果我把線畫在這下面
- 這是sinx
- 這是tanx
- 只要對所有的都取絕對值
- 那麽實際上和在第一象限
- 是一樣的
- 那麽我們來取一下絕對值
- 不會改變什麽
- 特別是在第一象限
- 但是 你們可能要想一會
- 爲什麽在第二象限不會改變任何東西
- 我們有這個不等式
- 看一下可不可以圍繞它來進行
- 首先
- 先把所有數乘以2去掉1/2
- 那麽|sinx|
- 少於|x|
- 少於|tanx|
- 希望取絕對值不會迷惑你們
- 我寫的原來的第一象限中的不等式
- 也是有效的
- 但由於我想讓這個不等式
- 在第一和第四象限都成立
- 因爲要取兩個方向上的極限
- 所以取了絕對值
- 可以把線畫在這
- 在第四象限做同樣的事情
- 但要取絕對值
- 這應該是會有同樣的結果
- 不管怎樣 回到我們的問題
- 有這個不等式
- 沒地方寫了
- 我把這些擦掉
- 擦去
- 沒擦掉呢
- 哦 可以了
- 好的 我可以把所有的推導都擦掉
- 但不能忘了這個
- 現在有很多空間了
- 那麽我們用這個表達式
- 把所有的邊
- 你們知道 有3個邊 左邊 中間 右邊
- 用它們除以|sinx|
- 由於我們知道
- |sinx|是個正數
- 我們還知道這些少於號不變 對吧？
- 那麽我們開始做
- |sinx|
- 除以|sinx|
- 是1
- 少於|x|
- 除以|sinx|
- 少於-- tan絕對值是什麽來著
- 我所做的是 把它們除以|sinx|
- 都除以|sinx|
- 那麽|tanx|除以
- |sinx|是多少呢
- tan是sin除以cos
- 它等於-- 在這做吧
- 等於sin/cos再除以sin
- 你們可以說
- 這和加上絕對值是一樣的
- 它的絕對值除以它的絕對值
- 那麽還剩下什麽呢？
- 還剩下1除以-
- 這個和這個消去 成了1
- 1除以|cosx|
- 你們可能感覺到我們向答案靠近了
- 因爲這兩個看起來很像 互爲倒數
- 那麽我們對這個取倒數
- 之後會怎樣呢？
- 首先 對1取倒數之後
- 1/1還是1
- 但對不等式兩邊取倒數後
- 不等號要改變
- 如果你們不明白 想一下這個
- 比如1/2少於2
- 取倒數後 有2大於1/2
- 希望這會給你們直觀的理解
- 那麽我把不等式兩邊取倒數
- 必須要改變不等號
- 所以1大於|sinx|
- 除以|x|
- 大於|cosx|
- 現在我來問個問題
- |sinx|除以--
- 首先 sinx除以x-
- 有沒有可能sinx除以x是--
- 在第一和第四象限
- sinx除以x有可能
- 是負的嗎
- 在第一象限 sinx是正的
- x也是正的
- 正數除以正數是正的
- 第四象限 sinx是負的
- y是負的 這個角也是負的
- 所以x也是負的
- 所以在第四象限
- sinx除以x是
- 負數除以負數
- 又一次得到正數
- 所以sinx除以x總會是正的
- 絕對值符號有些多余
- 所以可以寫成1大於sinx/x
- 同樣的邏輯 在第一和第四象限--
- 那是我們討論的區域
- 我們考慮的是
- -π/2
- 從-π/2一直到π/2
- 所以是在第四和第一象限
- cosx會是負的嗎
- 求餘弦的是x 由定義 x--
- 在第一和第四象限--
- x總是正的
- 如果x一直是正的
- 就可以把這的絕對值去掉
- 這樣寫就行
- 現在 我們可以用夾逼定理了
- 我把這下面都擦掉
- 我來問你們
- x趨向0時 函數1的極限是多少
- 函數1總是等於1
- 所以可以知道x趨於無窮
- x趨於π等任何時候 它的極限
- 總是會等於1
- 所以當x趨於0 這個等於1
- 那麽當x趨於0時cosx的極限是多少呢？
- 這同樣很簡單
- 當x趨於0 cos0等於1-- 如你們知道的
- 它是個連續函數-- 所以極限是1
- 我們已經準備好運用夾逼定理了
- 當x趨於0時
- 這個函數趨於1
- 這個函數趨於1
- 而這個函數在這二者之間
- 如果它處於兩者之間 當我們趨向--
- 當x趨於0時 這項趨於1
- 當x趨於0時 這項也趨於1
- 這個在它們之間
- 所以它也必須在x趨向0時趨向1
- 我們是基於這個和這個
- 運用了夾逼定理
- 你們可以說
- 因此根據夾逼定理- 因爲這個成立
- 這個成立 這個也成立
- 所以當x趨於0時 sinx/x的極限是1
- 希望這給你們直觀的認識
- 另一種思考方法 隨著這條線越來越短
- 當短到長度接近0時 x也接近0
- 這片區域和這片區域慢慢收斂
- 所以中間的這片區域
- 必須向它們兩個收斂
- 如果你們想看得更生動 我在這畫一下
- 看看我能不能畫出這個
- 我會畫給你們看
- 只要你們相信我
- 我們說過在-π/2到π/2
- 1比sinx/x大
- sinx/x比cosx大
- 當然x=0時這個無定義
- 但我們可以計算出極限
- 就是這樣
- 這條藍色的線 是函數1
- 也就是y=1
- 這條淺藍色的是cosx
- 這個是sinx/x
- 你們可以看到實際上我打上了
- 所以sinx/x 在-π/2到π/2上
- 或者說第四和第一象限
- 這條紅線總是在中間
- 總是在深藍色和淺藍色之間
- 這就是對夾逼定理
- 一個直觀上的說明
- 我們知道
- 當x趨於0時 這條淺藍線是1
- 還知道
- 當x趨於0時 這條深藍線是也1
- 這條紅色的線總是在中間
- 所以也趨向1
- 那麽現在你們知道了
- 這個證明 用到了夾逼定理
- 以及三角學的一點知識
- 證明了爲什麽x趨向0時
- sinx/x的極限是1
- 希望沒有讓你們困惑