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相關課程
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- 我們學習一點關於數列和級數的知識
- 數列是什麽？
- 數列就是一些以某種順序排列的數字
- 你們懂了吧
- 級數是什麽呢？
- 它經尋常表現爲-- 級數就是數列求和
- 數列的和
- 例如 等差數列--
- 對不起 算術級數就是
- 等差數列的和
- 也就是1+2+3--
- 我們可以繼續直到某個數
- 這叫做算術級數
- 沒什麽太花哨的
- 但在接著講下去之前
- 我們引入一個符號來表示它們的和
- 這樣就不需要寫出所有的數字
- 也不用出現這些點和加號
- 這個符號就是Σ
- 這是大寫的Sigam
- 這個符號該怎麽用呢？
- 假設我想表示這個算術級數
- 那麽要把這些k
- 加起來
- k是個任意的變量
- 從k=1開始
- 從k=1開始
- 一直到k=N
- 它等於什麽呢
- 首先令k=1
- 然後加2加3
- 一直到加N-1 加N
- 這就是用Σ來表示的算術級數
- 在我接著講下去之前
- 我想現在是很好的機會
- 來學習更多算術級數的內容
- 實際上我們會把多重點放在它和幾何級數上
- 因爲它們是最經常遇到的
- 接下來學了微積分後
- 我會給出冪級數和泰勒級數
- 什麽是--
- 泰勒級數是一種特殊的冪級數
- 但我們還是繼續討論--
- 我總是想把這個詞的重音都在後面
- 不過其實在前面 都差不多
- 我們用S表示和
- S等於從k=1到k=N對k求和
- 也就是我們之前說的
- 1+2+3
- 一直加下去
- 直到N-1 N 對吧？
- 很好
- 稍等我一下
- 我要再寫一遍相同的求和
- 但這次倒過來
- 我想很明顯
- 無論以什麽順序相加都一樣
- 其結果會是同一個數
- 2+1=1+2 對吧？
- 那麽我再寫一下
- 相反的順序
- 等於N+N-1
- 加N-2
- 一直加下去-- +2+1
- 它們是一樣的 只不過順序相反
- 我之所以這麽做
- 是要把式子的對應項相加
- 要拿-- S+S
- 等於2S
- 它就等於這兩個和相加
- 我加上括號是爲了更清楚
- 爲什麽這麽說
- 我們來加一下相應項
- 我們可以把所有項一塊加起來
- 不過-- 既然總是要加
- 就把1和N相加
- 2和N-1相加
- 3和N-2相加
- 我想你們會發現
- 或者你們已經意識到我爲什麽要這麽做
- 1+N 2+N-1
- 3+N-2
- 一直到N-1+2
- N+1
- 1+N是多少
- 就是N+1 對吧？
- 2+N-1呢？
- 也是N+1 對吧？
- 3+N-2呢？
- 我想你們猜也能知道
- 是N-1
- 一直加下去
- N-2加2是多少（這裡老師口誤了）
- 對不起 這是加
- N+1
- N+1是多少？
- 就是N+1 對吧？
- 我的問題是
- 這裡共有多少個N+1
- 有N個 對吧？
- 每個N+1都對應著這些項
- 所以共有N個
- 與其把N+1加N次
- 不如說N乘以N+1
- 所以有2S=N(N+1)
- 可以兩邊同除以2
- 和就等於N(N+1)/2
- 現在 爲什麽這很巧妙 或者說爲什麽這樣很棒
- 首先 我們找到了
- 一種計算Σ算式的方法
- 找到了一個定義明確的公式
- 尤其棒的是
- 你們可以把它用於低端的客廳把戲上
- 我是什麽意思呢？
- 你們可以去跟某個人說
- 你覺著我可以在多少時間內
- 算出來1到100的和？
- 人們會說
- 這應該要花點時間 1+2+3
- 你就可以說 根本不需要
- 我可以立刻做出來
- 那麽其結果-- 我想告訴你們的是
- 你可以用不同的變量 從B=1開始
- 我們用變量B 一直到100 對吧？
- 這就是1到100的和
- 看一下公式是什麽
- 應該是100乘以101除以2
- 100乘以101是多少
- 是10100 對吧？
- 再除以2 等於5050
- 這很巧妙
- 不用再去算1+2+3
- ……+98+99+100
- 這樣會花很長時間
- 而且你們
- 很可能會大意犯錯
- 現在我們可以直接代入
- 之前證明的公式-- 希望你們先要理解
- 然後說出結果 5050
- 你們甚至可以做點更令人印象深刻的：
- 1到1000的和
- 1到1000的和是多少？
- 記住我們的公式 N(N+1)/2
- 那麽如果N=1000 和是多少？
- 是1000乘以1001除以2 等於多少？
- 給1001加3個0 1個 2個 3個
- 對不起 我想這是我在所有影片中
- 第一次打飽嗝
- 我該重錄一遍 不過還是繼續吧
- 這讓我有點不安
- 我吃太多了
- 總之 再除以2 是多少？
- 看一下 等於500-- 這是一百萬
- 一百萬的一半是500000
- 是500500
- 如果手算會花很長時間
- 不過基於這個公式
- 你們知道如何很快做出來
- 這就是算術級數
- 我們來做另一個題
- 這是你們可能會遇到的另一種經典級數
- 實際上 你們在生活中見的很多
- 特別是如果你們進入到
- 金融學或者一係列學科
- 它會經常出現 叫做幾何級數
- 幾何級數是--
- 通常我都會用變量x來做
- 所以我想說-- 不不
- 我不用x了
- 我來取一些數
- 假設是a^k從-- 我不知道
- 假設從k=0到k=N
- 這是什麽意思？
- 這表示a的0次方-- 對 k=0
- 加a的一次方加a的平方加a的3次方--
- 可以繼續加下去
- 加a的N-1次方加a的N-2次方(應爲N)
- 這叫做幾何級數
- 你們可能不熟悉 不過這種增長
- 也就是指數一直增加
- 叫做幾何增長
- 該如何計算它的和呢？
- 看看有沒有類似的竅門
- 雖然這個竅門會增加一步
- 我們把和稱作S
- S等於當k從0到N時a^k的和
- 它就等於我剛才寫的