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數列與級數 (第二部分 英語) : 等比級數之和
相關課程
- 歡迎回來
- 所以在上次的影片中 我已經向你展示了
- 這個叫做幾何級數的玩意
- 而且 你知道 我們可以有一個基數 a
- 它可以是任何號碼
- 它可以是 1/2 它可以是 10
- 但無論如何 它只是個號碼
- 如果我們把它和它的指數們
- 相加在一起 結果就是一個幾何級數
- 如果我要求一個幾何級數的和
- 而它是由一個基數 a 和它的指數們
- 到 a 的 n 次方
- 什麽——這是 a 的 ——爲什麽我會寫
- a 的 n-2 的次方在這兒？
- 這應該是 a 的 N 次方
- 我的腦筋從上個影片就開始
- 有些問題了
- 當我快沒時間的時候這種時間就會發生
- 無論如何
- 言歸正傳
- 所以我定義 s 爲此幾何級數的和
- 我現在要定義另一個和
- 而這個和 我定義成 a 乘 s
- 這等於 — — 這只不過等於 a 乘於
- 這確切的和 對嗎？
- 而這兩個 a 是一樣的 對嗎？
- 那個 a 和 這個 a 是一樣的
- 所以這個 a 乘於這整項東西到底是什麽？
- 嗯 它是 a 乘於 a 的 0 次方——讓我
- 爲你寫下來
- 所以這將會是 a 因爲我只不過把 a 乘進去 對嗎？
- a<i>a^0 加上 a<i>a^1</i></i>
- 加上 a<i>a^2 一直加到 a<i>a^(n-1)</i></i>
- 加上 a<i>a^n</i>
- 我只是把一個 a 分配給這個和中的
- 每一項
- 但這等於什麽？
- 嗯 這是等於 a<i>a^n</i>
- 這等於 a —— a^1 —— a^2 加上
- a^3 + ... + a^n 對嗎？
- 因爲你只是把 a 的指數加起來 a^n
- a^(n+1)
- 這就是 aS
- 而我們之前知道 s 只是我們原本的和
- 這只是 a^0 + a^1 加上
- a^2 一直相加 加加加
- 一直到加上 a^n 對嗎？
- 讓我問你一個問題
- 如果我把那項與這項相減 那會是怎麽樣？
- 會發生什麽？
- 如果我說 as - s
- 嗯 我在等式的左手邊 把這相減，
- 在右手邊會發生什麽？
- 嗯 所有這些會變爲負值 對嗎？
- 讓我用比較亮的顏色
- 這將成爲—— 因爲我在相減 —— 負
- 負 這些都是負值
- 負號
- 負號
- 嗯 a^1 - a^1
- 它們抵消 a^2 - a^2 也會抵消
- a^3 它們都會抵消
- 一路到 a^n 正確嗎？
- 所以剩下什麽？
- 我們只剩下 -a^0 對嗎？
- 我們只剩下那個項
- 還有 我們只剩下那個項
- 加上 a^(n+1)
- 當然 a^0 是什麽？
- 那只是 1
- 所以我們得到 a<i>s - s 等於</i>
- a^(n+1) - 1
- 現在讓我們來分配 s
- 所以我們得到 s<i>a - 1 = a^(n+1) - 1</i>
- 對嗎？
- 然後我們得到的是什麽？
- 嗯 我們可以在兩邊除以 a - 1
- 讓我刪掉上面的東西
- 我想我真的可以把這個擦掉
- 嗯 我不想擦掉這麽多
- 我想要抹去這種東西
- 這就好了
- 好了
- 所以我只是—— 在方程式兩邊除以 a - 1
- 我得到
- s = (a^(n+1) - 1)/(a - 1)
- 所以 我們進展到哪裏了？
- 我們定義幾何級數等於總和
- 從 k 等於 0 到 n a^k 的總和
- 現在 我們剛剛推算出了一個公式
- 來算出那個和到底是什麽
- 等於 a^(n+1) - 1 整項除以 a - 1
- 爲什麽這很有用處？
- 我們現在知道什麽是 ——
- 讓我把這些也刪掉。
- 讓我把這全都清掉。
- 所以我說 你要算出 3 的幾何級數
- 可能從 3 開始，
- 直到 3^10
- 因此 3
- 所以 3^0 + 3^1 + 3^2，加到
- 3^10
- 所以這是同樣的事情 如 k 等於 10
- 3^k 的總和
- 對吧？
- 所以在這個我們剛推出的公式 a 是 3 n 是 10
- 所以這個和等於 3^11 - 1
- 整項除以 3 - 1。
- 這等於。。。嗯 我可不知道 3 的 11 次方
- 到底是多少
- 減 1 除以 2
- 這看起來蠻有用的
- 這是一個數字
- 雖然你得把你的指數表背得滾瓜爛熟
- 直到 11 次方 才能算得出來
- 但我想你知道了
- 這是非常有用的 尤其是我們要算——
- 如果基數是 10^0 這將是輕而易舉的事
- 不過我現在其實想做的是 我要用這公式
- 然後。。比方說 如果 n 趨近於無限？
- 讓我告訴你
- 會發生什麽事情呢？
- 所以有兩種類型的數列 我們可以——
- 這不是我要的
- 所以有兩種類型的數列
- 我們可以算出它們的和
- 有有限數列和無限數列
- 如果我們要求一個無限數列有一個非無窮大的和
- 它們需要——
- 我們說它們是收斂的。
- 如果你在想它們收斂的條件是什麽
- 每下個數字需要越來越小
- 越來越小 當我們趨向無限的時候
- 所以我們可以說 a 是個分數
- a 是1/2
- 所以如果我們有一個 1/2 在這幾何級數將會是怎樣？
- 拿個例子來說我們的幾何級數
- 從 k 等於 0 到 無限
- 這很俐落
- 我們將計算一個無限的和 無限個項
- 來看看我們能不能算到一個號碼
- 你知道我們把無限的東西加起來
- 它真的是個有限的號碼
- 這總是使我覺得驚奇
- 基數將是 1/2
- 這是 1/2 它將會是 1/2^k
- 那這將是什麽？
- (1/2)^0 + 1/2 加上 — — 什麽是 1/2 平方？
- 加上 1/4 加 1/8 加 1/16
- 所以你瞧每一項變得越來越小
- 每一項都是上一項的一半
- 讓我們說 如果這不是無窮大會發生什麽？
- 如果這是 n 將會發生什麽？
- 好 那麽我們會得到 (1/2)^n 對嗎？
- (1/2)^n 和 1/2^n 是同樣的東西
- 如果我們看我們推導的公式 我們會說
- 好 就剛好等於 (1/2)^(n+1) - 1
- 除以 1/2 - 1
- 這就是我們的答案
- 我們必須知道 n 是多少
- 但現在我們想知道如果我們 把 n 延伸到 無限大 將會發生什麽
- 本質上這是一個極限的問題
- 當 n 趨向無窮大的時候 (1/2)^(n+1) - 1
- 除以 1/2 - 1 的極限是什麽？
- 嗯 這些都是常數項 所以他們沒事
- 所以在這兒的這項 趨向無限的時候 將會發生什麽？
- 1/2 的無窮大次方是什麽？
- 嗯 那是零
- 這號碼是令人難以置信的小
- 1/2 的任意大的次方 都會趨向於 0
- 所以我們剩下什麽？
- 我們剩下這等於 -1/(1/2 - 1)
- 或者我們能在分數線上下乘以 - 1
- 我們就得到 1/(1 - 1/2)
- 這等於 1/(1/2) 其值等於 2
- 太棒了！
- 如果我把 0 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16，不停地加——
- 趨近於無限——並不是無限
- 我加到1/2 的無窮大次方
- 我將會得到這幹淨俐落的數目
- 2
- 這可以是你的小小項目來實際操作
- 比如說畫一個餡餅
- 然後把越來越小片的餡餅加進去。
- 但它永遠都讓我覺得驚奇 我加了無限多個項
- 對嗎？
- 這是無窮大
- 然後我得到一個有限的號碼
- 我得到一個有限的號碼
- 無論如何 時間到了
- 我們後會有期
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