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- 這一節的題比上一節稍微難一點
- (x-3)/(x+4)≥2
- 較難的原因在於
- 這個等號
- 另外右側不是簡單的0 而是2
- 另外右側不是簡單的0 而是2
- 解法還是有兩種
- 和上次一樣
- 這次我顛倒一下順序
- 看到這個首先想到
- 兩側同時乘以x+4
- 同上一節一樣
- 這需要非常小心
- x+4>0時 不等號不變
- x+4<0時 需要變號
- 分情況看看
- 一種情況寫在這裡
- 這種情況下x+4>0
- 記住 這裡不能是x+4=0
- 否則分式沒有定義
- 先看x+4>0
- 兩側同時減4
- 等價於
- 兩側同時減4 x>-4
- x>-4的情況下
- x+4>0
- 原不等式兩側同時乘以x+4
- 原來是(x-3)/(x+4)≥2
- 兩側同時乘以x+4
- 由於x>-4
- x+4>0 不等號不變
- 兩側乘以正數
- 不等號不變
- 這樣做是爲了約去這兩個
- 得到x-3≥2(x+4) 即2x+8
- 然後 兩側同時減去x
- -3≥x+8
- 因爲2x-x=x
- 然後兩側同時減去8
- -3-8 即-11≥x
- 兩側都減去8 這個8顯然沒了
- 所以 x>-4的情況下
- x需要少於等於-11
- 這似乎不合情理
- 要讓原不等式成立 x需要
- 同時大於-4且少於等於-11
- 大於-4的數肯定大於-11
- 所以這種情況沒有滿足條件的x
- x+4>0的情況下
- 結果是空集
- 這一種情況可以舍去
- x+4>0沒有可能
- 這種情況不等式無解
- 下面看x+4<0的情況
- 寫到這裡
- x+4<0時是什麽情況呢
- 兩側同時減去4 這相當於 x<-4
- 兩側同時減去4 這相當於 x<-4
- 兩側同時減去4 這相當於 x<-4
- 兩者等價
- x<-4的情況下
- 原不等式兩側同時乘以x+4
- x+4乘以(x-3)/(x+4)
- 2也乘以x+4
- 由於此時x<-4
- 兩側相乘的式子爲負
- 兩側乘以負數
- 不等號需要反向
- 結果這兩個約掉
- x-3≤2(x+4) 也就是2x+8
- 代數運算還是一樣 兩側同時減x
- -3≤x+8
- 兩側同時減8 有-11≤x
- 在x+4<0的情況下 x<-4
- 此時 要讓原不等式成立
- x還需要≥-11
- 這完全有可能
- 這個可以寫成x≥-11
- 只是換了個邊
- 且x<-4
- 確實存在符合這些條件的x
- 第一種情況沒有x滿足
- 第一種情況沒有x滿足
- 但第二種情況有x滿足
- 比如-5就滿足 畫數軸看看
- 畫出這個問題的解
- 這是數軸 換個顏色 這是-11
- 可以大於或等於-11 這是-11
- 然後-4在這裡
- 0大概是這裡 少於-4
- 記住不能等於-4 因爲此時不等式無定義
- 所以是少於-4 不包括-4
- 少於-4 且要大於等於-11
- 不能超過-11 不過包含-11
- 因爲是大於等於
- 粉色這段的任何值都滿足不等式
- 粉色這段的任何值都滿足不等式
- 再看第二種方法
- 也就是分子分母同號的那種方法
- 也就是分子分母同號的那種方法
- 也就是分子分母同號的那種方法
- 重新寫一下 換個顏色
- 還是這個問題
- (x-3)/(x+4)≥2
- 還是參照上一節的思路
- 如果a/b>0
- 要麽ab同爲正 要麽ab同爲負
- 但這只適用於右側是0
- 而這裡不是0 是2
- 不能馬上用這個
- 不過不等式兩側可以同時減2
- 不過不等式兩側可以同時減2
- (x-3)/(x+4)-2≥0
- 兩側同時減去2
- 同時加減 無需擔心不等號改變
- 同時加減 無需擔心不等號改變
- 只有乘除時才可能改變不等號
- 這是什麽 這似乎不是分式
- 不過我可以通分
- -2就是-2(x+4)/(x+4)
- 這是-2?1 值不變
- 這也就是(-2x-8)/(x+4)
- 這也就是(-2x-8)/(x+4)
- 這同-2是一樣的
- 乘以了(x+4)/(x+4)而已
- 通分之後 就能相加了
- 寫出來也就是 (x-3)/(x+4)
- 通分之後 分母相同
- 加上(-2x-8)/(x+4) 大於0
- 分母相同 這就是通分的目的
- 分母是x+4 分子相加
- x-2x得到-x
- -3-8是-11 整個大於0
- 於是問題就是這個樣子了
- 有兩種情況… 哦 我得小心
- 這裡大於等於號寫成了大於號
- 不要遺漏等於
- 這是本題的亮點
- 式子於是化成這樣了
- 首先 我需要強調一點
- 這個x一定不能是-4
- 如果x=-4 整個式子就沒有定義了
- 如果x=-4 整個式子就沒有定義了
- 先把這寫下來
- 一開始就可以寫清楚
- x≠-4
- 否則分式將無定義
- 這個 第一節我解過
- 總共是兩種情況
- 一種情況是 兩者同爲正
- 此時-x-11≥0
- 分子可以是0
- 這個等於0的話 式子顯然成立
- 這是第一種情況 -x-11≥0 且
- 這個x+4>0 但不能等於0
- 這是分子分母同時爲正的情況
- 第二種情況是 分子分母同時少於0 位置不夠了
- 此時-x-11≤0
- 這樣表示"且"
- 且x+4<0 記住不能等於0
- 要麽兩者都爲正 要麽都爲負
- 要麽兩者都爲正 要麽都爲負
- 分子可以爲0 因爲原不等式有個等號
- 要麽分子分母同時爲正
- 要麽分子分母同時爲負
- 負除以負得正 仍然是正數
- 看看這兩種情況的解
- 看看這兩種情況的解
- 這裡 兩側同時加x
- 有-11≥x
- 也就是x≤-11
- 交換兩邊
- 這個兩側同時減去4
- 有x>-4
- 這沒有意義
- 記住 這中間是個"且"
- 兩者需要同時成立
- 沒有同時大於-4且少於等於-11的數
- 這個不成立
- 分子分母不能同時爲正
- 分子分母不能同時爲正
- 因爲兩個條件相互矛盾
- 因爲兩個條件相互矛盾
- 再看這種情況
- 此時分子分母都爲負
- 此時分子分母都爲負
- 我講清楚點
- 不能同時爲正的不是這個分子分母
- 而是這裡的分子分母
- 因爲右側爲0的是下面這個式子
- 因爲右側爲0的是下面這個式子
- 所以當下面這個式子分子分母
- 同時爲正時 答案沒有意義
- 所以這個分子分母不能同時爲正
- 所以這個分子分母不能同時爲正
- 再看同時爲負的情況
- 同時爲負 或分子可以是0
- 這個兩側同時加x 有-11≤x
- 或者交換兩邊 x≥-11
- 而這裡 兩側同時減4
- x<-4
- 這裡還是"且"
- x≥-11且x<-4 結果和前面算的一樣
- x≥-11且x<-4 結果和前面算的一樣
- 還是畫數軸
- 需要≥-11
- 這是-11
- 可以大於或等於它 但要少於-4
- 這是-4
- 不能等於-4 否則分母爲0分式無意義
- 不能等於-4 否則分母爲0分式無意義
- 這就是解集
- 粗線表示的這段 包括-11
- 但不包括-4
- 通過這個題 大家肯定能夠舉一反三了
- 通過這個題 大家肯定能夠舉一反三了
- 祝開心
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