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- 上一節講的是一位小數無限循環的例子
- 這種小數可以轉化爲分數
- 而這一節將討論更有趣的問題
- 即多位小數無限循環的例子
- 比如0.36(36循環)
- 橫線在36上 所以是0.363636…
- 橫線在36上 所以是0.363636…
- 36無限循環下去
- 這種問題的技巧
- 和上一節類似 設這個爲x
- 此時乘以10不夠 因爲10只移了一位
- 我們希望小數點移動後
- 小數各位仍然能很好地對齊
- 所以 這裡小數點需要右移兩位
- 右移兩位也就是乘以100
- 或者說10的2次方
- 100x相當於小數點右移兩位
- 兩位 於是100x等於36.363636…
- 兩位 於是100x等於36.363636…
- x重寫下 要用100x減它
- x=0.363636…
- 注意到 乘以100後
- 3和6的位置依然對齊
- 3和6與上面對不上的話
- 相減就無法消去
- 無限循環部分需要對齊才能消掉
- 下面兩式相減
- 左側100x-x=99x
- 然後右側 無限循環部分消掉
- 只剩下36
- 兩側可以同時除以99
- x=36/99
- 分子和分母有公約數9
- 上下可以約掉9 分子得4
- 分母得11
- 所以0.363636…等於4/11
- 再看一題
- 我要設爲x的數是
- 0.714(14循環)
- 注意 循環的不是714
- 而是14
- 這也就是0.7141414…
- 設它爲x
- 初看起來 這個要乘以1000
- 才能讓相減時 循環部分消掉
- 才能讓相減時 循環部分消掉
- 其實不是這樣
- 相減的時候關鍵是對齊
- 相減的時候關鍵是對齊
- 雖然小數點後有3位
- 但循環的只有2位
- 所以只需要乘以10的2次方
- 所以這裡還是乘以100
- 100x時 小數點向右移動2位
- 2位 有71.4141414…
- 下面把x寫下來
- x=0.7141414…
- 注意到 這些14是對齊的
- 相減時能夠消去循環部分
- 兩式相減 100x-x=99x
- 1414會消掉
- 於是等於71.4-0.7
- 借一位 這是14 這是0
- 用14減7是7 前面還有70
- 所以99x=70.7
- 同時除以99 有點怪
- 這裡還有小數 沒事 等下會解決的
- 兩側同時除以99
- x=70.7/99
- 顯然 這還沒有完全化成分數
- 分子還有小數
- 不過這很好辦
- 分子分母同時乘以10就行了
- 分子分母同時乘以10就行了
- 分子分母同時乘以10就行了
- 得到707/990
- 再看一題 3.257(257循環)
- 還是化成分數
- 首先還是設它爲x
- 注意這裡循環的是257 是3.257257…
- 因爲循環的是3位 所以需要考慮1000x
- 10的3次方乘以x
- 這能讓小數點右移足夠多 消掉循環部分
- 那麽1000x等於什麽呢
- 小數點右移3位
- 1000x=3257.257257257…
- 然後用它減去x
- 對齊 x是3.257257257…
- 對齊 x是3.257257257…
- 乘以1000後 257都對齊得很好
- 這些257在相減時 都能消掉
- 兩式相減
- 左側是1000x-1x=999x
- 左側是1000x-1x=999x
- 無限循環部分消掉 它將等於
- 3257-3 即3254
- 999x=3254
- 兩側同時除以999
- x=3254/999
- 這是假分數
- 分子大於分母
- 它可以化成帶分數
- 從3.257循環的題設就可以看到
- 帶分數的整數部分是3
- 也可以用999除3254
- 很簡單就能算出來
- 結果是3余…
- 我還是算一下吧
- 999除3254 這裡是3
- 這很明顯 因爲原數是3.257
- 我們只求余數就行了 3×9=27 3×9=27
- 這裡需要加2 所以是29
- 3×9=27 加上2得29
- 兩式相減
- 借一位
- 這是14 這是4 換個顏色
- 這是4
- 4比9小 所以又需要往前借一位
- 所以這是14 而這是1
- 這個也比9小 再借一位
- 這是11 而這是2
- 14-7=7 14-9=5
- 11-9=2
- 所以結果是3又257/999
- 搞定