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相關課程
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- 所以我們有一個任意三角形了 我們叫它三角形ABC
- 現在我想找ABC各邊的中間點
- 那麽這個是BC邊的中間點
- 我們叫它D點
- 我們管這個叫中間點E
- 然後我們管那個對過兒的中間點叫F
- 然後這是中間點
- 我們知道從BD邊的距離
- 等於從D到C的距離
- 所以這個距離等於這個距離
- 我們知道AE等於EC
- 所以這個距離等於那個距離
- 我們還知道AF等於FB
- 所以這個距離等於這個距離
- 除了從這個中間點到頂點做中性線之外
- 我想做的是連接
- 這些中間點 然後看看會發生什麽
- 所以 如果我把他們連起來 很明顯我們有三個點
- 那麽如果你把三個不共線的點連起來
- 就像這樣 你會得到另一個三角形
- 這個三角形就是由這個大些的三角形
- 各邊中間點構成的
- 我們管這個叫中間點三角形
- 中間點三角形 它確實很可愛
- 但是我們在這錄像裏要看的
- 是中間點三角形 它其實有很多非常好的性質
- 我們接下來要做的是把任意一個三角形
- 分割成四個小些的三角形
- 它們四個全等
- 也就是這四個小三角形完全一樣
- 而且他們還和那個大些的三角形相似
- 你可以把它們視作
- 大些的三角形的四分之一
- 那麽讓我們來證明它
- 首先我們看這個下邊的三角形
- 三角形CDE 看上去和這個大的三角形相似
- 也就是三角形CBA 那麽讓我們來證明它
- 我們可以看到
- 那個角是這兩個三角形的公共角
- 這兩個 大些的三角形 也就是三角形CBA有這個角
- 還有小些三角形CDE也有這個角
- 所以他們共有這個角
- 那麽現在我們看看邊的比例
- 我們知道CD邊的比例
- 我們也知道CD與CB的長度比
- CD與CB的比例爲二分之一
- 這個是整條邊的一半 等於二分之一
- 而且這和CE與CA的比例一樣
- CE確實是CA的一半
- 因爲E是中間點
- 它等於CE比CA
- 所以我們有一個角和一個對應邊相等
- 而且這個兩個對應邊的比例
- 那個角的那個邊
- 或者等於CD比CB 也就是二分之一
- CE比CA是二分之一
- 而且兩邊中間夾的角相等
- 所以依據邊角邊相似判定
- 邊角邊相似判定
- 我們知道三角形CDE
- 與三角形 CBA相似
- 而且就從這些你就能得到些有趣的結果
- 因爲我們知道這些邊長短些的三角形
- 也就是小些的三角形的邊的長度
- 與大些三角形邊的長度的比爲二分之一
- 因爲其他兩邊的比例也是二分之一
- 我們要對這些相似三角形做的就是
- 所以這個大約是那個的一半
- 而且我們知道AB的一半
- 也就是FA的長度
- 所以我們知道這裡的長度
- 會和FA和FB相等
- 我們可以從相似三角形的性質直接得到這個結論
- 因爲這些相似
- 我們知道DE比BA
- 等於這些比例
- 也就是那些比例等於二分之一的對應邊
- 這也就是我們如何得到那裏的那個結論
- 現在讓我們想想這裡的這個三角形
- 讓我們想想這裡的這個三角形
- 我們可以管他叫三角形BDF
- 首先我們比較一下三角形BDF和這個大些的三角形
- 他們共有這個角 就是角ABC
- 他們共有這個角
- 而且 同理 我們得到一樣的論據
- 我們可以看看這個圖
- 大家知道BA的比例
- 讓我這麽做這個比例
- BF與BA的比例
- 等於二分之一 也是BD與BC的比
- 這個比和那個一樣
- 這個與那個的比例一樣也是二分之一
- 因爲BD長度是總長的一半
- BF長度是總長的一半
- 所以咱們有對應邊是一樣的比例
- 這兩個三角形也有一樣的夾角
- 所以又一次依據邊角邊相似判定
- 依據邊角邊相似判定
- 我們知道那個三角形 在這裡
- DBF 三角形 DBF相似於三角形CBA
- 相似於三角形CBA
- 然後我們用一樣的原理
- 針對這個三角形進行討論
- 如果它所有對應邊的比例都是二分之一 所以相似
- 一定要一致 那個比例要是二分之一
- 所以這個邊與這個邊的比例
- 所以FD與AC的比就是二分之一
- 或者FD是AC的一半
- 也就是當AE是AC長度的一半時
- 所以那就是那個的長度
- 我想你知道接下來怎麽辦了
- 同理 因爲相似
- 所有的對應角都相等
- 而且我們知道這就是那個 那個大些的三角形
- 有一個黃色的角 就在那裏
- 所以我們有一個黃色的角在那裏
- 而且這個三角形也和大些的三角形相似
- 所以它有一樣的角 在這裡
- 我們需要在第一部分證明它
- 現在讓我們看看這第三個三角形
- 我想你發現規律了
- 我相信你可以暫停這個影片
- 然後自己證明一下
- 然而我們看到了AF與AB的比
- 會和AE與AC的比相等
- AE比AC等於二分之一
- 所以我們有兩組對應邊是一樣的
- 小三角形比大三角形的比例是二分之一
- 而且他們有一個公共角
- 這個角是兩組對應邊的夾角
- 所以依據邊角邊相似判定 又重覆一次
- 我們知道的三角形EFA 三角形EFA
- 相似於三角形CBA
- 所以對應邊的比值是二分之一
- FB與BC的比值也需要是二分之一
- 或者FE需要是BC的一半
- 也就是BD的長度
- 所以這也就是那個長度
- 而且你也可以發現我們證明了這些後 這個三角形
- 這個三角形和這個三角形我們還沒有用他們的中間點
- 他們都相似於大的三角形
- 所以他們都彼此相似
- 所以他們都有一樣的對應角
- 所以如果大三角形有這個黃色的角
- 那麽所有的三角形都會有這個黃色的角
- 而且大三角形有藍色的角在這裡
- 那麽所有三角形的對應頂點
- 都會有這個藍色的角
- 我們已經證明所有的三角形都相似
- 我們還沒考慮這個中間的三角形
- 當然 如果這個也和其他的三角形相似
- 它也會有這個角在這裡
- 因爲這個是對應頂點
- 依據相似的性質
- 所以這就變得很有趣
- 現在讓我們看看 看看
- 讓我們比較一下這幾個三角形
- 我們已經證明這些三角形
- 有一樣的三邊
- 有這個藍邊或者我應該把這個標記在這邊
- 這兩個標記的邊 這三個標記的邊
- 一個標記 兩個標記 三個標記
- 然後應用到這個中間的三角形這裡
- 然後依據邊邊邊
- 然後依據邊邊邊全等 全等
- 我們現在知道我們需要很小心
- 我們要找到正確的對應邊
- 我們現在知道那個三角形 三角形CDE
- 全等於三角形DBF
- 當我們考慮對應邊的時候
- 我們看顏色
- 我需要黃的到品紅到藍
- 黃的到品紅到藍
- 將會全等於三角形EFA
- 也就是會全等於這個三角形和這裡
- 我想確認我們
- 我們用的是正確的對應邊
- 所以確認當我們這樣做的時候
- 我們只需要考慮角
- 所以我們知道 我們知道會很有趣
- 那個是因爲
- 三角形內角和等於180度
- 我們知道這個品紅的角加上這個藍色的角
- 再加上這個黃色的角等於180度
- 這裡我們有這個藍色的角和品紅的角
- 很明顯他們加起來等於180度
- 你必須有這個藍色的角
- 這個藍色的角必須在這裡
- 同理 藍色的角
- 黃色的角和藍色的角
- 你必須有這個品紅的角在這裡
- 他們加起來等於180
- 所以這個一定是品紅的角
- 最後品紅的角和藍色的角
- 所以這個一定是黃色的角在這裡
- 所以當我們在這裡寫全等
- 我們從CDE開始
- 黃色 品紅 藍色
- 這裡我們用黃色 品紅 藍色
- 這個全等於三角形FED
- 這太酷了 我們剛剛證明了這三個三角形
- 這個三角形 這三角形和那個三角形都全等
- 而且我們可以看到對應
- 而且他們都有與大三角形的比值
- 他們都相似於大三角形ABC
- 而且邊之間的比值都是一比二
- 還有因爲我們看對應角
- 我們看幾個例子
- 這個角等於那個角
- 所以如果你把DC視爲 如果你把BC視爲截線
- 所有的邊都很清晰 FD平行AC
- 因爲對應角相等
- 所以這個和那個平行
- 而且可以用同樣的方法
- 比如這個邊
- 同理 對應角
- 對應角 這裡和這裡
- 你可以說這個平行於那個
- 最終
- 同理 那裏你可以
- 你可以 我需要確定我用的是正確的對應角
- 你有這條邊和這條邊
- 然後這個角對應那個角
- 他們相等
- 所以DE一定平行於BA
- 所以這是中間點三角形另一個簡潔的性質
- 如果你想簡單地處理三角形
- 我想所有這些都已經寫出來了