使用 教育雲端帳號
登入
⇐ Use this menu to view and help create subtitles for this video in many different languages.
You'll probably want to hide YouTube's captions if using these subtitles.
Laplace Transform 6 : Laplace transform of cosine and polynomials!
相關課程
- 上個影片裏 我們證明了
- f'(t)的Laplace變換等於
- s倍的L 減去f(0)
- 現在 我們要做的事情
- 就是利用這個我們已經證實的性質
- 來繼續充實我們的
- Laplace變換表
- 這些結果你們遲早要記憶的
- 如果你常用Laplace變換的話
- 我們已經學過
- sin at的Laplace變換等於。。。
- 我們用了一個非常繁瑣的
- 分部積分證明了
- 它等於a/(s2 + a2)
- 我們來用這兩個結果推導
- cos at的Laplace變換
- 那麽cos at的Laplace變換
- 等於什麽呢？
- 如果我們假定cos at
- 是某個函數的導數
- 它會是誰的導數呢？
- 是吧？
- 我在邊上算一下
- 如果 f'(t) = cos at
- 那麽f(t)可能是什麽呢？
- 這是個原函數
- 我們先把常數忽略掉
- 只要得到一個符合條件的nf(t) 就可以了
- cos的原函數是什麽呢？
- 是(1/a)sin at
- 對吧？
- 所以如果這是f'(t) 那麽它等於
- s倍的 它的原函數的Laplace變換
- 或者說(1/a)sin at 減去原函數在0處的值
- -1/a sin。。。 a倍的0是0
- 因爲sin 0 = 0
- 所以整項就消去了
- 這是一個常數 對吧？
- 這是 1/a
- 而且我們證明了Laplace變換
- 是一個線性算子
- 所以可以把它提出來
- 所以它等於s/a倍的
- sin at的Laplace變換
- 等於s/a倍的a/(s2 + a2)
- a消去了
- 這算起來比用分部積分
- 要簡單多了
- 然後我們得到cos at的Laplace變換
- 等於s/(s2 + a2)
- 不消三分鍾 我們就填入了一個
- Laplace變換
- 現在已經有兩個最重要的三角函數的變換式了
- 繼續努力
- 我們沒怎麽算過多項式
- 我們知道一些結果
- 這個我們是做過的
- 我們知道1的Laplace變換
- 等於1/s
- 我們看看能不能用這個
- 以及f'的Laplace變換
- 等於s倍的f的Laplace變換 減 f(0)
- 換種方式
- 我們換個角度想
- 如果我們知道f 我們怎麽去
- 用f'和 f(0) 去得到一些別的Laplace變換
- 我們把方程變個形
- 得到f'的Laplace變換
- 我可以寫上t 不過太單調了
- 加f(0) 等於
- s倍的L
- 兩邊除以s
- 我把拉普拉斯...
- 寫到邊上去
- 我想Laplace變換。。。
- 我的L越寫越飄逸了
- f的Laplace變換 等於1/s
- 我在兩邊除了s 即1/s倍
- 乘上導數的Laplace變換
- 加上函數在0的值
- 我們看看能不能用這兩個
- 推出一些更重要的Laplace變換
- 如果f(t)=t
- 其Laplace變換是啥呢？
- 就利用這個性質
- 這要等於
- 1/s倍的導數的Laplace變換
- t的導數是什麽？
- t的導數是 1
- 所以它等於 L-f(0)
- 當t=0時 這項爲0
- 減0
- 所以t的Laplace變換等於
- 1/s倍的L
- 就是1/s
- 即1/s2 - 0
- 很有趣
- 1的Laplace變換是1/s
- t的Laplace變換等於1/s2
- 我們來求一下L等於多少
- 我用綠色來寫
- 或許我們看出規律來
- t2 的Laplace變換
- 等於1/s倍的
- 它的導數的Laplace變換
- 它的導數是什麽呢?
- 它乘 加上0處的值
- 也就是0
- 所以它等於。。。
- 我們可以把常數拿出來
- 等於2/s倍的L
- 這又等於什麽?
- 我們剛剛解出來了
- 是1/s2
- 所以它等於 2/s・1/s2
- 也就是2/s3
- 太好了
- 我再算個t3吧
- 我想大家就能看出規律了
- 規律馬上就要出現
- Laplace變換
- 這其實很有趣的
- 我推薦大家都算算
- 這會讓你很滿足的
- 這比分部積分滿足感要多得多
- 所以 t3的Laplace變換等於
- 1/s倍的導數的Laplace變換
- 也就是3t2的
- 把常數提出來
- 因爲它是線性的
- 3/s倍的L
- 這等於多少?
- t2的Laplace變換等於多少？
- 等於2/s3
- 所以這等於3<i>2 除以s^4</i>
- 你可以在這兒寫上t^n 然後用
- 歸納法得出一般的公式
- 一般公式就是
- 我想大家看出規律來了
- 冪指數是多少？ Laplace變換
- 就是分母上 s的高一次冪
- 分子是指數的階乘
- 一般地
- 我們又得到了Laplace變換表的一個
- t^n的Laplace變換
- 等於n!/s^(n+1)
- 括號
- 我想我都沒必要打括號
- 打括號只是弄得更亂了
- 不管咋滴 在Laplace變換表中看到這個
- 看起來很嚇人的
- 天哪！ 這有個n 還有個n!
- 但我們說 利用我們得到的規律
- t的3次方 加一次方 也就是s^4
- 寫在分母上
- 然後分子取3的階乘 就是6 對吧？
- 解完
- 所以利用Laplace變換的導數性質
- 我們算出了cos at的Laplace變換
- 也算出了任意多項式的Laplace變換 對吧？
- 因爲這是個線性算子
- 現在我們知道了t^n
- t的任意次冪的
- 可以乘一個係數
- 我們還知道基本的三角函數
- 知道指數函數
- 也知道如何求多項式的Laplace變換了
- 下個影片見
留言:
新增一則留言(尚未登入)