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更正規的函數介紹 (英) : 函數更正規的解釋
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- 我想你們已經明白了
- 數學中函數在一點上的取值的意思
- 而這個影片裏我要
- 更正式地解釋一下這一點
- 比以前學過的更正式一點兒
- 然後將它與一些已經看過的向量
- 與線性代數的概念聯係起來
- 一個函數就是 一個集合中的元素
- 與另一個集合的元素之間的關係
- 假設有一個集合X
- 對每一個X中的元素
- 我要將這個元素有聯係與...
- 或這個元素有關係與
- 另一個集合Y中的元素
- 所以如果假設這是在集合X中的
- 而這是在Y中的――
- 而Y不必跟小一些
- 我就這樣來表示它――
- 函數就是一種關係
- 如果我取集合X中的一個元素
- 我們來看看這就是我取的元素
- 我們將它看做一個點
- 這個函數就是說 給我X中的一個元素
- 然後我要給你一個Y中的元素
- 是和X中的這個元素有關係的
- 那麽這個函數就是說 給了我這一點
- 我就將它映射到這裡的這一點
- 這個就是關聯的意義
- 或者和另一個Y中的元素有關係的意義
- 而如果給出了某一個這裡的點
- 將它與Y中的另一個元素相聯係
- 甚至可能將它與Y中的相同元素相聯係
- 所以這個概念就是說這是個
- 從一個集合X 我用正式的術語來表達
- 到另一個集合Y的映射
- 那麽你可能會說 嘿 Sal
- 這很抽象 這個怎麽
- 與以前看過的函數相聯係？
- 好 我來寫一個你以前可能看過的函數
- 你曾經遇見過
- 像f(x)=x2
- 我們這麽描述這個的意義？
- 好 這是個函數 假設它是某種
- 傳統的看法
- 我寫成f 我寫成
- 像g(x) 這樣它就不總是必須
- 是f 但我想你明白
- 這樣f就是一個從實數――
- 這裡指的都是實數――
- 事實上這個是函數定義的一部分
- 我可以限制這個到整數
- 或是偶的自然數 或是偶數
- 但這個是函數的定義的一部分
- 我要定義這個函數
- 爲實數的映射
- 我是說你可以取任意實數
- 它就是實數間的映射
- 這樣 如果x是實數
- 就是映射到它自己
- 這樣就是合法的
- 所以如果這個是實數――
- 明顯地實數
- 沿著每一個方向都到無窮――
- 但如果這個是實數 這個映射
- 就是取每一個R中的點並將它映射到
- R中的另一個點
- 它取每一個點
- 並將它與它的平方值相聯係
- 而我要定義一個非常微妙的概念――
- 或至少在我印象中第一次
- 講函數的概念時
- 我想 你給我一個x我再取平方
- 我就給出了x2
- 這沒錯 你確實是這樣做的
- 但至少我算的方法
- 我把它想成
- 是將x變成了另一個數
- 而你可以將它這樣看
- 這可能是更好的看待這個問題的方法
- 但我要介紹的數學定義
- 比將x與x2相聯係更豐富
- 這個是函數的另一個概念
- 或另一種寫法
- 這兩種描述
- 這種描述和這種描述是一樣的
- 這個描述你以前可能沒見過
- 但我喜歡它因爲它說明了這個映射
- 或這個聯係係更爲豐富些
- 但這個聯係 就像將x
- 放到一個絞肉機之中 或某種機器
- 這回碾碎這個x或將它平方
- 或對x做任何變化
- 這個概念對我來說 意味著映射
- 你給我了一個x 而我要與
- 另一個實數相聯係 稱之爲x2
- 所以它就是另一個點
- 僅僅有一點兒術語化 我想
- 你以前見過這個術語 這個你要
- 映射的集合稱爲定義域
- 而這個函數的定義的部分
- 我有函數作用部分 告訴了你每一個
- 有效的輸入必須是實數的集合
- 現在我要映射到的集合稱爲上域
- 一個明顯的你可能會問的問題就是
- 嘿 Sal 當我學習所有這些函數的東西
- 在代數2或無論什麽時候我第一次學它時
- 我們從來沒有用過上域這個詞
- 我們稱之爲值域 我學習值域這個詞
- 是在上9年級或10年級時
- 這個上域和值域有什麽關係？
- 它是一個很微妙的概念
- 那麽上域是一個你要映射到的集合
- 在這個例子中這就是上域
- 這個例子中 實數就是
- 定義域和上域
- 那麽問題就是值域和這個有什麽關係？
- 上域就是可以被
- 映射到的集合
- 你不必映射到
- 每一個上域上的點
- 我是說這個函數是
- 從這個集合到這個集合上的映射
- 定義域是子集合――我這樣來寫
- 它可以等於所有
- 它是子集合
- 一個集合是自身的子集合 集合中的每一個元素也是
- 自身的元素 所以它是自身的子集合
- 所以值域是函數
- 映射到的上域的子集合
- 舉個例子
- 比如說我定義了函數g 它是
- 在實數集合上的映射
- 比如說它是從R2到R的映射
- 我取2元數組
- 將它映到R上
- 我定義它爲g
- 我用兩種方法寫它
- 現在我取兩個值
- 比如說(x,y)或(x1,x2)
- 我這樣來寫
- 即g(x1,x2)=2
- 它是從R2到R的映射 但這個總是等於2
- 我再寫另一個概念
- 因爲你可能沒太看過這個概念
- 即g把每一個點(x1,x2)都映射到點2
- 這使映射更清楚了一點兒
- 但要正確地得到這個概念 定義域是什麽？
- 實數是什麽？
- 這是函數定義的一部分 我說我們
- 從R2映射 所以定義域是R2
- 那上域是什麽？
- 上域是要映上的集合
- 是函數定義的一部分
- 這個由定義是上域
- 所以上域就是R
- 現在值域是什麽？
- 值域就是
- 函數映射到的數值的集合
- 這裡 我們總是映射到2
- 所以值域是2
- 如果我們將這個看做是――R2實際上就是――
- 我不詳細講了 我將它寫作
- 全笛卡爾空間
- 但我只是給了一個抽象的概念
- 就是R2
- 如果我必須寫R
- 我將它寫成某種實數線
- 實際上我這樣來處理更好一些
- 你不必這樣看它
- 但我可以像畫R2這樣畫R
- 我可以將R畫成某種直線
- 這就是集合R
- 我也可以將它畫成這樣
- 但就稱這是集合R吧
- 函數g將這裡的任何點
- 都映到了2
- 而2就是R中的一個點
- 函數g取值是R2中的任何一點 任何坐標
- 這是點(-3,-5) 不管它是什麽
- 它總是將它映到點R中的點2
- 所以如果我取這一點 它被映射到2
- 這就是g所做的
- 那麽g的上域――你可能說它是所有實數
- 但它的值域總是2
- 我再講一個更有趣的例子
- 如果我寫h是從R2到R3的函數
- 我在這裡仔細一點兒
- 就是h是從R2到R3的函數
- 而我寫成h(x1,x2)等於――
- 現在我要映射到更高維數的空間
- 這個等於
- 第一個坐標
- 或R3中的第一個分量是x1+x2
- 而第二個坐標是x2-x1
- 第三個坐標是x2<i>x1</i>
- 現在定義域和值域和上域是什麽？
- 定義域由定義是這個
- 上域由定義是R3
- 注意到我是從
- 二維空間
- 到一個三維空間
- 或三個分量
- 但我總是能將某個點(x1,x2)
- 和R3中的某個點聯係起來
- 一個更複雜一些的問題是 值域是什麽？
- 我能總是聯係到每一個點嗎――或許這不是
- 最好的例子因爲它不太簡單――
- 但我能聯係到R3中的每一個點嗎――
- 這是上域 定義域是R2
- 而函數是從R2到R3的 這就是h
- 所以定義域 就如你看到的
- 不是像每個
- 用這種方式表示出來的坐標那樣
- 舉個例子
- 取某個(x1,x2) 再算出它的值
- 我們來算算
- 取h――用另一種符號――
- 例如說h
- 我要找到映射
- 從R2中的點 比如點(2,3)
- 那麽這個函數告訴了我
- 這個將會把這個點映到R3中的點
- 我加這兩項 即2+3 是5
- 再算x2與x1之差――
- 就是3-2=1――然後我再乘這兩項 是6
- 所以很明顯這就是在值域中
- 這是值域中的元素
- 例如點(2,3)
- 就在這裡
- 映射到三維空間中的點
- 畫出來就像這樣
- 二維空間中的點 在這兒
- 我想你應該明白了 映射到
- 三維空間中的點5 1 6
- 這就是值域中的元素
- 現在我的問題是 如果我有某個R3中的點
- 比如說是(5,1,0)
- 這個點是在值域中嗎？
- 它是上域中的元素 是在R3中
- 在這兒
- 由定義它是在上域中
- 但它是在值域中嗎？
- 顯然5是兩個數的和
- 而1是兩個數的差
- 而0是
- 兩個數的奇
- 顯然地5是和
- 而1是差
- 我們需處理2和3 但你不能
- 使它們的積是0
- 所以這個不在值域中
- 所以值域
- 是R3中間點的子集
- 所以有許多點不在值域中
- 在R3中有一個更小的子集
- 在值域中
- 現在我要向你們介紹
- 另一個術語
- 在函數中的術語
- 這些在上面點函數 這個函數從
- 在R2中的點映到R 所以它的上域是R
- 上面的這個函數
- 或許是最一般的函數
- 你在數學中看見過的 這是映到R
- 這些映到R上的函數被稱爲純量函數
- 或實函數
- 取決於你怎麽考慮它
- 但如果它們映到一維空間
- 我們稱之爲純量值函數
- 或實值函數
- 這是大多數的函數
- 到目前爲止你們會處理的
- 在數學課中
- 除非你取向量微積分
- 現在映到空間或次空間的函數
- 有多於一維的――
- 如果映到R或R的子集
- 你就有一個實值函數
- 或純量值函數
- 如果映到Rn 這裡n比1大
- 如果映到R2、R3、R4、R100
- 就是要處理一個向量值函數
- 最後定義的這個函數
- 即h是一個向量值函數
- 總之 我想你們現在至少
- 掌握了一些數學符號的工具以懂得
- 在接下來的課程中我要講解的東西
- 幸運的是你會發現這很有用
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