載入中...
相關課程

登入觀看
⇐ Use this menu to view and help create subtitles for this video in many different languages.
You'll probably want to hide YouTube's captions if using these subtitles.
Compositions of Linear Transformations 1 : Introduction to compositions of Linear Transformations
相關課程
0 / 750
- 讓我們來做一些
- 線性變換的聯係
- 給大家介紹兩個線性變換
- 第一個是變換S 這是一個映射
- 或者是函數 從集合X映射到集合Y
- 令X是Rn空間的子集
- Y是Rm的子集
- 然後我們就知道S是一個線性變換
- 它可以由一個矩陣向量來代替
- 把它寫做S(X)
- 讓我們用之前寫過的顏色繼續來寫
- 可以寫成S(X)
- 等於矩陣A乘以向量X 這個矩陣A
- 作用於X 無論X怎樣我們把它輸入到函數中
- 我們也可以做一個映射
- 就是這個集合 在這兒
- 是Rn空間的一個次空間
- 就是在這兒
- 讓我們這樣來做
- X是Rn的一個次空間
- 好了 它其實是X的一個元素
- 是Rn的一個子集
- 我只是要找出
- 矩陣A的維數
- 這兒有n個元素
- 矩陣A有n列
- 矩陣A具體來說就是
- 一個m×n的矩陣 很好
- 我們接著來說下一個線性變換
- 把目前做的畫出來
- 我們有集合X 在這 這就是集合X
- 它是Rn的一個子集
- Rn 我在這畫出來
- 我們有映射S
- 或者是線性變換 從X變換到Y
- 這將出現一個新的集合Y 就在這
- Y是Rm的一個次空間
- 這個映射X 在這
- 你在這取一些元素 然後
- 運用線性變換S
- 我已經說過 這是一個線性變換
- 你將會得到集合Y中的一些向量 這些向量在Rm中
- 這個線性變換S可以用一個矩陣來代替
- 這個矩陣是一個m×n的矩陣
- 你可以從一個含有n個元素的向量開始
- 或者Rn中的一個向量
- 經過變換之後 可以得出一個Rm中的向量
- 很好
- 現在我們來說另外一個線性變換T
- 它是從集合Y到集合Z的一個映射
- 把它畫出來
- 在這的另一個集合 我們把它叫做集合Z
- 我可以畫出Y中的一些元素 可以在這畫出來
- 經過線性變換之後變成了Z中的元素
- 和我們之前做過的一樣
- 我們知道Y是Rm的一個元素
- 你知道這是一個子集 不是一個元素
- 更多的是Rm的子集
- 這些只是一些任意的字母
- 可以是100或5 或者任意
- 我盡量去表達這些抽象的概念
- Z是一個元素 我沒有字母可以寫了
- 就把Z寫爲Rl的一個元素
- Z是Rl的一個元素
- 然後 變換T是什麽 這個變換矩陣
- 又將是什麽
- 你知道這是一個線性變換
- 我來告訴你
- 我們可以把它替換成這種形式
- T(x) x是Rm的一個元素
- 等於矩陣B乘以x
- 那麽矩陣B的維數又是多少呢?
- x是Rm中的一個元素
- 因此B將有m列
- 這就一個映射
- 把X映射到Rl的子集合
- 它將Rm中的元素映射到Rl中的元素
- 它將是一個l×m的矩陣
- 當你看到這個
- 一個很自然的問題會浮現在你腦海
- 我們可以構造這樣的映射
- 把集合X映射到集合T
- 我們可以把它稱爲T和S的復合
- 意思是可以定義出一個映射 S和T的結合
- 讓我們來組織一下語言
- T 復合的符號 然後是S
- 把集合X映射到集合Z
- 我們把這個叫做映射T和S的復合
- 我們有必要把這兩個函數結合起來
- 爲了得出一個映射
- 這個映射直接把集合X映射到集合Z
- 我們還沒有定義這個
- 那怎樣才能構造出這些呢?
- 自然我們會想到
- 先做一個S變換
- 這就是
- 我們在這兒要處理的x
- 首先想要做的就是 做一個S變換
- 然後得出S(x)
- 也就是在這的這個向量
- 它在集合Y中
- 然後我們對這個向量
- 做一個T變換之後
- 結果會怎樣呢
- 我們對這個向量做T變換
- 然後就得出這個向量
- 這就是對這個向量
- 做T變換
- 這個向量是集合Y中的元素 也在Rm空間中
- 我們就是要
- 對這個向量做變換
- 就在這 對x進行S變換得到的
- 這看起來很神奇 但是請記住
- 這只是一個向量 在集合Y中
- 同時也是Rm的一個子集
- 這是集合X中的一個向量
- 當你對它進行映射
- 可以得到 在集合Y中的另一個向量
- 你對這個向量進行T變換
- 你會得到在集合Z中的另一個向量
- 來定義變換T和S的復合形式
- 這將有一個定義
- 讓我們來定義T和S的復合變換
- 首先我們對X中的向量進行S變換
- 對X中的向量進行S變換 來到這兒
- 然進行T變換 就會得到集合Z中的向量
- 爲了變換到這個集合
- 我們對這個向量進行T變換
- 第一個問題可能是
- 這是個線性變換嗎?
- 兩個線性變換的復合變換
- 是不是一個線性變換?
- 要使得一個變換是線性變換
- 必須滿足兩個條件
- 對於兩個相加的向量
- 進行線性變換之後的結果
- 必須等於 對這兩個向量單獨
- 進行變換之後的結果之和
- 我知道我僅僅口頭上說說
- 可能效果不大
- 來驗證一下 以T和S的復合
- 對集合X中的兩個相加的向量
- 進行復合變換
- 我把這向量令爲x和y
- 根據定義 它會等於什麽呢?
- 它等於向量x和y相加
- 然後對它做S變換
- 接著再進行T變換之後得到的結果
- 那這個等於什麽呢?
- 在影片開始 就已經告訴過你們了
- S是一個線性變換
- 因此根據定義 根據其中的一個條件
- 我們知道
- 有S(x+y)=S(x)+S(y)
- 因爲S是一個線性變換
- 這是對的
- 我們知道這兩個
- 是可以相互替換的
- 我們知道 T也是個線性變換
- 也可以得出對兩個向量的和進行T變換
- 結果會等於單獨對這兩個向量進行
- T變換之後的和
- 然後對S(x)
- 再進行T變換
- 這種用辭可能讓大家糊塗了
- 加上對y進行
- T和S的復合的結果
- 我們可以做到這個
- 我們知道T是一個線性變換
- 但是這又是什麽呢?
- 所有的這些加起來等於
- 對x作T和S的復合變換
- 加上對y作T和S的復合變換
- 假設T和S都是線性變換
- 根據第一個條件
- 對兩個相加的向量 作T和S的復合
- 其結果等於
- 單獨對兩個向量進行變換之和
- 這就是線性變換
- 必須滿足的第一個條件
- 第二個條件就是 我們需要讓X中的一個向量
- 乘以一個純量 然後再對它進行線性變換
- 因此 T和S的復合 這樣說吧
- 向量x乘以一個純量之後
- 對它進行復合變換
- 向量x乘以一個純量之後 仍然在集合X中
- 這是向量x 這是集合X
- 這個是大寫的X
- 這個等於什麽呢?
- 好了 根據我們
- 對線性變換的定義
- 這個等於
- 對c<i>x進行S變換</i>
- 然後再進行T變換
- 那這個又等於什麽呢
- 我們知道這是一個線性變換
- 假設這是一個線性變換
- S是線性變換
- 這個可以重新寫
- 是T(c<i>S(x))</i>
- S(c<i>x)是</i>
- 等於c<i>S(x)</i>
- 這兩個是可以互相替換的
- 這是因爲S是線性變換
- 才有這樣的結果
- 已經做過很多次了
- 現在要對乘純量的向量
- 作T變換
- 我們可以做同樣的事
- 我們知道 T是一個線性變換
- 我們知道這等於 我把它寫在這
- 它等於 c乘以 向量x作S變換後
- 再進行T變換的結果
- 那麽這個等於什麽呢?
- 這等於常數c乘以
- 向量x作T和S的復合變換後的結果
- 復合變換滿足
- 線性變換的第二個條件
- 我們定義的復合變換確實
- 是一個線性變換
- 這就表明T和S的復合變換
- 可以寫成相應的變換矩陣
- 讓我們這樣來寫
- T和S的復合變換 作用於。。。
- T和S的復合變換
- 作用於向量x
- 可以寫成一個矩陣乘以向量x
- 那麽這個矩陣的維數又是多少呢?
- 我們是從一個n維空間
- 映射到一個l維空間
- 因此矩陣有n列
- 矩陣有l行
- 這個矩陣是個l×n的矩陣
- 這集影片裏就講到這
- 加上這集影片
- 已經超過20分鍾了
- 下集影片 我們知道這是一個線性變換
- 我們也知道這個變換
- 也有其相應的變換矩陣
- 我們得確切找出這個變換矩陣
- 把它和之前定義過的T變換和S變換
- 對應的兩個變換矩陣聯係起來