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Compositions of Linear Transformations 1 : Introduction to compositions of Linear Transformations
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- 讓我們來做一些
- 線性變換的聯係
- 給大家介紹兩個線性變換
- 第一個是變換S 這是一個映射
- 或者是函數 從集合X映射到集合Y
- 令X是Rn空間的子集
- Y是Rm的子集
- 然後我們就知道S是一個線性變換
- 它可以由一個矩陣向量來代替
- 把它寫做S(X)
- 讓我們用之前寫過的顏色繼續來寫
- 可以寫成S(X)
- 等於矩陣A乘以向量X 這個矩陣A
- 作用於X 無論X怎樣我們把它輸入到函數中
- 我們也可以做一個映射
- 就是這個集合 在這兒
- 是Rn空間的一個次空間
- 就是在這兒
- 讓我們這樣來做
- X是Rn的一個次空間
- 好了 它其實是X的一個元素
- 是Rn的一個子集
- 我只是要找出
- 矩陣A的維數
- 這兒有n個元素
- 矩陣A有n列
- 矩陣A具體來說就是
- 一個m×n的矩陣 很好
- 我們接著來說下一個線性變換
- 把目前做的畫出來
- 我們有集合X 在這 這就是集合X
- 它是Rn的一個子集
- Rn 我在這畫出來
- 我們有映射S
- 或者是線性變換 從X變換到Y
- 這將出現一個新的集合Y 就在這
- Y是Rm的一個次空間
- 這個映射X 在這
- 你在這取一些元素 然後
- 運用線性變換S
- 我已經說過 這是一個線性變換
- 你將會得到集合Y中的一些向量 這些向量在Rm中
- 這個線性變換S可以用一個矩陣來代替
- 這個矩陣是一個m×n的矩陣
- 你可以從一個含有n個元素的向量開始
- 或者Rn中的一個向量
- 經過變換之後 可以得出一個Rm中的向量
- 很好
- 現在我們來說另外一個線性變換T
- 它是從集合Y到集合Z的一個映射
- 把它畫出來
- 在這的另一個集合 我們把它叫做集合Z
- 我可以畫出Y中的一些元素 可以在這畫出來
- 經過線性變換之後變成了Z中的元素
- 和我們之前做過的一樣
- 我們知道Y是Rm的一個元素
- 你知道這是一個子集 不是一個元素
- 更多的是Rm的子集
- 這些只是一些任意的字母
- 可以是100或5 或者任意
- 我盡量去表達這些抽象的概念
- Z是一個元素 我沒有字母可以寫了
- 就把Z寫爲Rl的一個元素
- Z是Rl的一個元素
- 然後 變換T是什麽 這個變換矩陣
- 又將是什麽
- 你知道這是一個線性變換
- 我來告訴你
- 我們可以把它替換成這種形式
- T(x) x是Rm的一個元素
- 等於矩陣B乘以x
- 那麽矩陣B的維數又是多少呢？
- x是Rm中的一個元素
- 因此B將有m列
- 這就一個映射
- 把X映射到Rl的子集合
- 它將Rm中的元素映射到Rl中的元素
- 它將是一個l×m的矩陣
- 當你看到這個
- 一個很自然的問題會浮現在你腦海
- 我們可以構造這樣的映射
- 把集合X映射到集合T
- 我們可以把它稱爲T和S的復合
- 意思是可以定義出一個映射 S和T的結合
- 讓我們來組織一下語言
- T 復合的符號 然後是S
- 把集合X映射到集合Z
- 我們把這個叫做映射T和S的復合
- 我們有必要把這兩個函數結合起來
- 爲了得出一個映射
- 這個映射直接把集合X映射到集合Z
- 我們還沒有定義這個
- 那怎樣才能構造出這些呢？
- 自然我們會想到
- 先做一個S變換
- 這就是
- 我們在這兒要處理的x
- 首先想要做的就是 做一個S變換
- 然後得出S(x)
- 也就是在這的這個向量
- 它在集合Y中
- 然後我們對這個向量
- 做一個T變換之後
- 結果會怎樣呢
- 我們對這個向量做T變換
- 然後就得出這個向量
- 這就是對這個向量
- 做T變換
- 這個向量是集合Y中的元素 也在Rm空間中
- 我們就是要
- 對這個向量做變換
- 就在這 對x進行S變換得到的
- 這看起來很神奇 但是請記住
- 這只是一個向量 在集合Y中
- 同時也是Rm的一個子集
- 這是集合X中的一個向量
- 當你對它進行映射
- 可以得到 在集合Y中的另一個向量
- 你對這個向量進行T變換
- 你會得到在集合Z中的另一個向量
- 來定義變換T和S的復合形式
- 這將有一個定義
- 讓我們來定義T和S的復合變換
- 首先我們對X中的向量進行S變換
- 對X中的向量進行S變換 來到這兒
- 然進行T變換 就會得到集合Z中的向量
- 爲了變換到這個集合
- 我們對這個向量進行T變換
- 第一個問題可能是
- 這是個線性變換嗎？
- 兩個線性變換的復合變換
- 是不是一個線性變換？
- 要使得一個變換是線性變換
- 必須滿足兩個條件
- 對於兩個相加的向量
- 進行線性變換之後的結果
- 必須等於 對這兩個向量單獨
- 進行變換之後的結果之和
- 我知道我僅僅口頭上說說
- 可能效果不大
- 來驗證一下 以T和S的復合
- 對集合X中的兩個相加的向量
- 進行復合變換
- 我把這向量令爲x和y
- 根據定義 它會等於什麽呢？
- 它等於向量x和y相加
- 然後對它做S變換
- 接著再進行T變換之後得到的結果
- 那這個等於什麽呢？
- 在影片開始 就已經告訴過你們了
- S是一個線性變換
- 因此根據定義 根據其中的一個條件
- 我們知道
- 有S(x+y)=S(x)+S(y)
- 因爲S是一個線性變換
- 這是對的
- 我們知道這兩個
- 是可以相互替換的
- 我們知道 T也是個線性變換
- 也可以得出對兩個向量的和進行T變換
- 結果會等於單獨對這兩個向量進行
- T變換之後的和
- 然後對S(x)
- 再進行T變換
- 這種用辭可能讓大家糊塗了
- 加上對y進行
- T和S的復合的結果
- 我們可以做到這個
- 我們知道T是一個線性變換
- 但是這又是什麽呢？
- 所有的這些加起來等於
- 對x作T和S的復合變換
- 加上對y作T和S的復合變換
- 假設T和S都是線性變換
- 根據第一個條件
- 對兩個相加的向量 作T和S的復合
- 其結果等於
- 單獨對兩個向量進行變換之和
- 這就是線性變換
- 必須滿足的第一個條件
- 第二個條件就是 我們需要讓X中的一個向量
- 乘以一個純量 然後再對它進行線性變換
- 因此 T和S的復合 這樣說吧
- 向量x乘以一個純量之後
- 對它進行復合變換
- 向量x乘以一個純量之後 仍然在集合X中
- 這是向量x 這是集合X
- 這個是大寫的X
- 這個等於什麽呢？
- 好了 根據我們
- 對線性變換的定義
- 這個等於
- 對c<i>x進行S變換</i>
- 然後再進行T變換
- 那這個又等於什麽呢
- 我們知道這是一個線性變換
- 假設這是一個線性變換
- S是線性變換
- 這個可以重新寫
- 是T(c<i>S(x))</i>
- S(c<i>x)是</i>
- 等於c<i>S(x)</i>
- 這兩個是可以互相替換的
- 這是因爲S是線性變換
- 才有這樣的結果
- 已經做過很多次了
- 現在要對乘純量的向量
- 作T變換
- 我們可以做同樣的事
- 我們知道 T是一個線性變換
- 我們知道這等於 我把它寫在這
- 它等於 c乘以 向量x作S變換後
- 再進行T變換的結果
- 那麽這個等於什麽呢？
- 這等於常數c乘以
- 向量x作T和S的復合變換後的結果
- 復合變換滿足
- 線性變換的第二個條件
- 我們定義的復合變換確實
- 是一個線性變換
- 這就表明T和S的復合變換
- 可以寫成相應的變換矩陣
- 讓我們這樣來寫
- T和S的復合變換 作用於。。。
- T和S的復合變換
- 作用於向量x
- 可以寫成一個矩陣乘以向量x
- 那麽這個矩陣的維數又是多少呢？
- 我們是從一個n維空間
- 映射到一個l維空間
- 因此矩陣有n列
- 矩陣有l行
- 這個矩陣是個l×n的矩陣
- 這集影片裏就講到這
- 加上這集影片
- 已經超過20分鍾了
- 下集影片 我們知道這是一個線性變換
- 我們也知道這個變換
- 也有其相應的變換矩陣
- 我們得確切找出這個變換矩陣
- 把它和之前定義過的T變換和S變換
- 對應的兩個變換矩陣聯係起來