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Defining a plane in R3 with a point and normal vector : Determining the equation for a plane in R3 using a point on the plane and a normal vector
相關課程
- 首先我們來作一個不那麽嚴格的說明
- 雖然我們以後會嚴格地討論向量代數
- 我們首先來考慮
- 一些可能你們遇見過的問題
- 如果你們有過編寫三維空間電腦程序的經曆
- 或任何其它的
- 關於三維空間的數學問題的話
- 其實這就是一個平面在R3空間中的方程的問題
- 你們一定知道平面是什麽
- 我是說我們生活在一個三維世界裏
- 我們生活中到處都有平面
- 例如你的顯示器表面
- 電腦顯示器就是一個平面
- 不管你從什麽角度看它
- 我可以在這裡畫出一個三維空間來
- 事實上可以做得更好一些
- 這是x-軸
- 這是y-軸
- 這是z-軸
- 我們知道一個平面長什麽樣子
- 它就像這樣
- 這就是任意一個角度的平面
- 它會向所有方向延伸
- 現在 這個平面的方程――
- 可能你們以前看見過
- 就是x,y,z的線性函數
- 就是Ax+By+Cz=D
- 如果這個是平面的圖示 那麽就是說
- 平面上的每個點
- 每個x,y和z都滿足這個方程
- 另一種也可以有效地描述一個點或一個平面的方法
- 是給定平面上的一個點
- 我們來看看 這就是平面上的那個點
- 記這個點是x0,y0,z0
- 再如這裡有另一個點
- 我必須指明這是另一個不同的點
- 它是在平面上的點
- 很明顯只知道這些不能確定這個平面
- 你可以以這個點爲中心
- 用無限種方式旋轉平面
- 但是如果你指定了這個點並且指定了
- 一個垂直於平面的向量――我可以畫一下
- 從這裡 但我可以在任何地方畫這個向量
- 但我就把它畫在這裡吧
- 如果我指定一個平面的法向量
- 我用了一個沒有定義的術語
- 但我還是說法向量吧
- 所以n是法向量
- 或者說它垂直於平面
- 它垂直於平面上的所有東西
- 垂直於平面上的每一個向量
- 垂直於 我想最好的表達方式是
- 我用一個不太精確的術語吧――
- 平面上的每一個東西
- 所以如果平面上有某個向量
- 如果這裡有一個向量 它是在平面上的
- 如果你把平面相向成是一塊硬紙板
- 我剛剛畫的這個黃色向量――
- 就是畫在了硬紙板上
- 它就是在平面上的向量
- 如果這個黃色向量 記它爲a吧
- 那麽如果它是平面上的任意一個向量
- 而這是通過平面的法向量
- 從向量角的定義我們知道
- 這個垂直於這個
- 若且唯若n?a=0
- 這個對於平面上的任何一個向量
- 都是成立的
- 如果我們用平面的這個定義
- 如果用這個定義――我記之爲法向量
- 或記之爲n加上――這麽做吧
- 就由n+(x0,y0,z)定義
- 如果把它寫成一次方程基本定義的話
- 即Ax+By+Cz=0
- 來看看是否可以用某些我們已經知道的方法
- 用到這些信息我們就可以做到
- 我們來考慮 這個點
- 這個在平面上的小藍點
- 我可以用一個位置向量來指定它
- 我用位置向量x0來記它――
- 就定義x0等於
- 純量[x0,y0,z0]
- 我想要弄得非常清楚
- 這個是平面上的坐標
- 這個向量不完全在平面上
- 我畫這個平面的方法 它是以原點爲起點
- 它是位置向量
- 我畫的圖示中它是在平面後面
- 向量的終點在平面上
- 但這個向量
- 它不在平面上
- 這個平面甚至不經過原點
- 然而這個向量與原點接觸
- 它指定了平面上的某一個點
- 相似地 再定義另一個向量
- 這是平面上的任意一個點
- 點(x,y,z) 顯然 這對於平面上的任意一個點
- 都是成立的
- 我再定義另一個向量x
- 定義它爲[x,y,z]
- 所以再一次地 像x0一樣 向量x――
- 我把它畫在這裡
- 這個向量x不在平面上
- 它的起點是原點
- 它是指定了平面上的一點的位置向量
- 所以它源自原點然後出來
- 你可以把平面
- 看成是一個咖啡桌
- 這些向量看起來的樣子
- 看看我是不是能畫出來
- 如果這個是平面的表面
- 向量x0就是
- 起自原點到平面上的某一個定點
- 而向量x也是從原點
- 到某一個定點――用不同的顏色來畫它
- 向量x也是從原點
- 到平面上的某一個定點
- 我把這個平面畫平
- 使得你們 可以沿著它的邊來觀察它
- 如果你們相向成坐在平面的表面上
- 那麽你們就會發現這些向量
- 不在平面上
- 用這些東西
- 我可以構造一個在平面上的向量
- 向量x-x0是什麽樣子？
- 好吧 我就在這裡畫一個小三角x-x0――
- 我用綠顏色來畫
- 它看起來就像這樣
- 那麽x-x0就是這裡的綠線
- 這就是x-x0
- 我們也可以看成是x0加上x-x0
- 等於x
- 如果在這個圖裏畫出來
- 看起來就是這樣
- 像這樣
- 我再好好畫一畫
- 從這個點到x0
- 就是由x0指定的點到由x指定的點
- 它就在平面上
- 所以這個是x-x0
- 我知道這個畫得非常亂
- 但是你們可以看出來這個是在平面上
- 所以這個向量垂直於n
- 垂直於法向量
- 現在 如果法向量――記爲法向量n
- 這個向量垂直於這個東西
- 在這裡
- 垂直於向量n1,n2,n3
- 現在用這個信息 怎麽得到這種形式
- 這種x,y,z的一次方程?
- 我們知道n――我改用一種中性顏色
- 我們知道n――實際上我不想用這種尖帽符號
- 這裡n不是單位向量
- 但n 它是垂直於這個向量
- 所以它們的內積 我們看見在這裡
- 在不久之前的影片裏
- 向量n和這個向量的內積――
- 實際上 我把它畫下來吧
- 你們知道 我已經從側面畫出了這個平面
- 我可以畫下向量n
- 向量n看起來就像這樣
- 它會直接從平面出來
- 我可以把它反過來
- 但總是在相同的方向上
- 它垂直於這個向量
- 所以n垂直於x-x0
- 這就是說它們的點乘積等於0
- 那麽x-x0是什麽樣子？
- 它就像這樣
- 如果寫出這些向量
- 就是向量(n1,n2,n3)點乘――x-x0就是
- 就是純量x-x0
- 第一項被減去
- 然後是純量y-y0
- 再然後是純量z-z0
- 我們知道這個整體等於0
- 因爲它們是垂直的
- 如果在這裡取點積 就得到
- 就得到n1(x-x0)加上n2(y-y0)
- 加上n3(z-z0)等於0
- 你們可能沒有完全注意到
- 但這就是――你要作一點兒代數運算來澄清它――
- 這就是Ax+By+Cz=D
- 實際上 我在這裡犯了一個錯誤
- 這個不應該是0 這裡等於D
- 這就是R3中的平面的一般形式
- 平面就是R3中的線性曲面
- 我不應該在這裡寫0
- 所以這個就是這種形式
- 如果你們不相信我
- 我們就作一個例題
- 例如我們有――
- 給你們一個法向量――確定一個平面
- 如果給你一個法向量並告訴你法向量是
- 點(1,3,-2)
- 並且它過點 或者說平面上的一個點――
- 法向量和平面上的點
- 不一定相交
- 但對於平面上的一個點
- 如點(1,2,3)
- 求平面方程
- 好 我就說 如果我取平面上的任何其他點――
- 所以平面上的任何其它點(x,y,z)
- 由這個向量表示
- 由這兩個向量之差表示的向量就在平面上
- 這個點和這個點都在平面上
- 所以這兩個向量之差
- 這整個向量就在平面上
- 我來取它們兩個的差
- 那麽x-x0等於(x-1,y-2,z-3)
- 這個向量就在平面上
- 它在平面上
- 它就與法向量垂直
- 所以如果將法向量(1,3,-2)與這個向量點乘
- 和(x-1,y-2,z-3)點乘
- 結果就是0
- 因爲法向量和平面上的所有東西
- 都垂直
- 那麽我們得到的結果是什麽？
- 得到結果是1(x-1)等於(x-1)
- 加上3(y-2)
- 就是取點積
- 減去2(z-3)等於0
- 再作一點運算
- 使它更清晰一點
- 結果得x-1+3y-6-2z+6=0
- 再看看 -6和6消掉
- 再取這個-1
- 兩邊同時加1 得到x+3y-2z
- 兩邊同時加1 等於1
- 這就是結果
- 僅僅用到這是平面上的一點
- 而這是法向量這些信息 我就可以用到
- 法向量和平面上任何點的
- 和平面上的任何向量的點積
- 我就可以得出所求
- 我不必像這樣算得這麽麻煩
- 你們可以僅用這裡的這個公式
- 這裡n1就是1再乘以(x-x1)
- 或稱之爲x0
- 所以(x-1)加上n2
- 就是3(y-2)再加上-2(z-3)等於0
- 如果再做一點兒運算
- 再做一點代數運算 就可以得出這個結果
- 很幸運地我們發現了這個有用的公式
- 事實上這是非常有用的 如果你們曾經
- 遇到過關於3維空間的數學問題的話就會知道
- 如果你當過遊戲程序設計師
- 就會發現――有數千個其它的應用
- 但這就是某些我們已經學過的一般數學的
- 比較有用的副產物
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