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Defining the angle between vectors : Introducing the idea of an angle between two vectors
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- 我們介紹了向量的長度
- 它是一個長度
- 這是一個容易理解的概念
- 因爲我們習慣使用
- 二維或三維空間中的長度
- 但當擴展到n維空間時
- 這個概念就變得抽象了
- 如果它有100個分量
- 至少對於我來說
- 想象100維空間是一件很困難的事
- 但是我們其實定義了它的長度
- 我們知道這是一個純量
- 它是一個數值
- 在本節課 我要定義
- 兩個向量的夾角
- 正如你所見 我們正以向量爲基礎
- 來建立與其相關的概念
- 我們不能只說
- 我知道什麽是角度
- 因爲關於角度和長度
- 我們知道的僅有
- 它們在二維或三維空間中的
- 有關性質
- 而在線性代數中
- 我們要把這些概念抽象到多維空間中
- 目前我還沒有定義維數
- 但我想大家已經
- 在某種程度上能夠理解
- 當討論一維、二維或者三維空間時
- 假設已知向量――
- 假設有向量a和b
- 它們是非0的 並且是Rn中的成員
- 我還沒有給出二者夾角的記號
- 我先把它們畫出來
- 我在二維空間中
- 把它們畫出來
- 這是向量a
- 這是向量b
- 從而這個向量是
- 向量a-b
- 你可以通過向量的加減法
- 來證明它
- 這是首尾相接的
- 從而向量b加上向量a-b
- 顯然等於向量a
- 這就是所得的結論
- 爲了定義夾角的記號
- 我來構造另一個三角形
- 就像這裡的這個一樣
- 注意 爲了思考方便
- 我在這裡做的都是在二維空間中
- 這些討論不是必須要限制在二維空間中
- 它們可以有100個分量
- 我另外做一個三角形
- 它與前一個是相似的
- 就像這樣
- 我將三角形的每條邊
- 定義成這些向量的長度
- 注意 對於每個向量的長度
- 我不關心它們有多少分量
- 它們僅僅是數值
- 所以這條邊的長度
- 就是向量a的長度
- 這條邊的長度
- 就是
- 向量a-b的長度
- 而這條邊的長度
- 就是向量b的長度
- 我們首先要確認的是
- 我們總可以構造一個這樣的三角形
- 那麽在什麽情況下
- 我們無法構造這樣的三角形呢？
- 如果遇到下面這種情況
- 則我們無法構造出這樣的三角形
- 即如果b的長度―― 我寫下來
- 這一點很不明顯
- 我要說明一下
- 爲了定義夾角
- 我要確保
- 總能夠構造出這樣的三角形
- 我要確保――
- 我把不能構造出
- 這樣的三角形的原因寫下來
- 如果向量b的大小
- 或者說向量b的長度
- 大於向量a的長度
- 加上向量a-b的長度會怎樣？
- 在二維情況下 我不可能做出這樣的三角形
- 因爲這個長度
- 加上這個長度
- 要比這個長度小
- 所以構造不出來
- 對於所有的邊都一樣
- 如果這個長度
- 大於其中一條邊會怎樣？
- 或者這個長度
- 大於其中一條邊會怎樣？
- 我不可能
- 在二維空間中作出那樣的三角形
- 我要做的是
- 用這個三角形――
- 用這個向量的三角不等式
- 證明每一條邊
- 少於等於其他兩邊之和
- 我要做相同的事情
- 我講解一下
- 我要說明 如果向量啊
- 大於另一條邊加上b
- 那麽就不能構造出三角形
- 最後一個式子是
- 如果向量a-b
- 大於其他兩邊之和
- 我就不能做出一個三角形
- 所以我要說明
- 對於任意的實向量――
- 非0的Rn中的實向量――
- 這些情況都不會發生
- 我要證明這些情況不會發生
- 那麽由三角不等式可得到什麽呢？
- 三角不等式表明
- 如果已知兩個向量的和
- 如果取其長度
- 則它總是少於――
- 這些是非0的向量
- 它總是少於等於
- 它們各自長度之和
- 我們來看看
- 它對這個三角形是否適用
- 向量a的長度是多少？
- 我可以改寫一下a
- 向量a是多少？
- 向量a等於向量b加上向量a-b
- 我只是將形式改寫了
- 我僅僅是把向量a寫成
- 其他兩個向量的和的形式
- 沒有什麽特別的
- 我還沒有使用三角不等式
- 只是用了向量加法的定義
- 但我要在這裡加個括號
- 現在可以用三角不等式
- 那麽結果是什麽呢？
- 根據三角不等式 它將等於
- 我們證明過 它將少於等於
- 二者的長度之和
- 即向量b的長度加上向量a-b的長度
- 我們知道a的長度
- 少於這兩個之和
- 所以我們就不用擔心出現這種情況
- 我們知道它不成立
- 現在考慮向量b
- 我是否可以把b
- 寫成其他兩個向量的和的形式
- 當然可以
- 我可以寫成和的形式
- 我這麽寫
- 如果那個向量是a-b
- 則其反方向的向量
- 是b-a
- 從而a+(b-a)
- 它就等於b
- 在這裡你能看出
- a被消去了
- 只剩下b
- 於是有三角不等式
- 可得這項少於等於
- 向量a的長度
- 加上向量b-a的長度
- 現在你可能會說
- 你在處理b-a
- 而這是a-b的長度
- 我把它留作證明
- 它基於我們對向量長度的定義
- 向量b-a的長度
- 等於-1(a-b)的長度
- 我把它留給你去證明
- 它們是相等的
- 本質上―― 我把它留給你去證明
- 但我認爲你可以
- 從直觀上來理解
- 它們確實是相等的
- 只是方向相反
- 在處理長度是要仔細一些
- 因爲這不僅僅是在二維空間中
- 但我想你能夠理解
- 我把它留給你去證明
- 即證明這兩個長度相等
- 從而我們知道
- b少於這兩個向量的長度
- 我們不用擔心這種情況出現
- 最後 對於a-b
- 向量a-b的長度
- 我可以把它寫成――
- 可以寫成a+(-b)的形式
- 如果這是a-b
- 它沿著另一個方向
- 從而對於-b
- 它沿著這個方向
- 再加上a 就是向量a-b
- 事實上我不需要用那個圖解釋
- 從這裡看是顯然的
- 我只是把負號放到了括號裏
- 通過三角不等式
- 輕而易舉地就能得出結果
- 但我們應當從中看出
- 我們總可以根據這些向量
- 定義普通平面三角形
- 我們得出這項少於等於
- 向量a的長度加上向量-b的長度
- 我說過你可以試著自己證明它
- 這項與b的長度相等
- 我們剛剛看到
- 這項嚴格少於這兩項之和
- 這項嚴格少於這兩項之和
- 這項嚴格少於這兩項之和
- 從而我們不用擔心
- 構造的三角形無效的問題
- 即我們總可以用Rn中的任意非0向量
- 以這種方式構造出一個三角形
- 我們總可以構造出來
- 現在要定義夾角
- 我在下面再畫一次
- 我再畫一次向量 這回稍大一些
- 這是向量a
- 這是向量b
- 我這麽來畫
- 這是一個向量
- 是向量a-b
- 我說過我們要
- 定義一個普通的
- 一般的三角形
- 其邊長由向量的長度定義
- 由向量的長度定義
- 這等於b的長度
- 這等於向量a-b的長度
- 這等於向量a的長度
- 我總可以
- 構造一個這樣的三角形
- 我試圖定義――
- 事實上我要定義
- 兩個向量的夾角
- 我們知道在這個圖中夾角代表什麽
- 這就是一般意義上的
- 三角形
- 關於兩個向量的夾角的定義
- 我要進行說明――
- 這是我試圖要定義的
- 這是我要定義的
- 它可以有任意多的分量
- 這很難想象
- 但是我要
- 以普通三角形的夾角爲基礎
- 定義兩個向量的夾角
- 其中可以把三角形的兩條邊看做兩個向量
- 而其對邊可看作是差向量
- 其長度即爲兩個向量的差的長度
- 這既是定義
- 我定義了
- Rn中兩個向量的夾角
- 每個向量可以有任意多的分量
- 定義這個夾角與這個夾角相等
- 即這兩條邊的夾角
- 將這兩個向量看做是
- 普通三角形的兩條鄰邊
- 那麽我可以用它來做什麽？
- 我們能否發現
- 這些事物之間的聯係呢？
- 當然
- 如果你還記的三角幾何學的知識
- 如果你不記得 我曾在列表裏證明過
- 你應該知道餘弦定理
- 我以任意的三角形爲例
- 這是爲了不讓大家感到疑惑
- 這是邊a b c 這是夾角θ
- 餘弦定理說的是
- c2等於a2
- 加上b2 減去2abcosθ
- 我常把它看作是
- 廣義的勾股定理
- 因爲這個角不一定非得是直角
- 它可以是任何的角度
- 如果它是一個直角
- 那麽這項就消失了
- 剩下的部分就是勾股定理
- 我們已經證明過它
- 它只對
- 普通三角形適用
- 我們很幸運
- 這是一個普通三角形
- 我們對其應用
- 餘弦定理
- 我是對照著畫的
- 這條邊長度的平方
- 就是向量a-b長度的平方
- 向量a-b長度的平方
- 就是這條邊的平方
- 我就是對這條邊平方
- 它等於b的長度的平方
- 加上a的長度的平方
- 減去2倍的――
- 2倍的向量a的長度
- 乘以向量b的長度
- 乘以這個角的餘弦值
- 即乘以這個角的餘弦
- 我定義這兩個向量的夾角
- 與這個角度相同
- 如果我知道了這個角度
- 那麽就知道這個角度
- 我們知道
- 一個向量的長度的平方
- 根據向量長度的定義
- 它就等於
- 這個向量與自身的點積
- 所以就等於(a-b)・(a-b)
- 它等於
- 整個右邊這一項
- 我把等式左邊
- 化簡一下
- 即(a-b)・(a-b)
- 它等於a・a――
- 這兩項―― 減去a・b
- 然後減去b・a
- 就是這兩項做點積
- 然後是(-b)・(-b)
- 它就等於b・b
- 注意 這是由
- 左邊式子化簡得到的
- 我可以改寫一下
- 對於a・a 它是a的長度的平方
- a・b和b・a是相等的
- 所以這是2倍的
- 所以這一項
- 就化簡爲-2a・b
- 最後是b・b
- 它是b的長度的平方
- 我剛剛化簡 或者說展開――
- 這麽說更恰當一些
- 就是將這項展開成這三項
- 這不能說是化簡
- 我就是將左邊的式子展開
- 從而由餘弦定理
- 它等於右邊這項
- 這個式子等於――
- 我還是重寫一下
- 就是簡單地複製粘貼
- 我剛剛做了什麽？ 複製 編輯
- 複製 粘貼
- 好了
- 我不知道這麽做是否值得
- 但這節省了一些時間
- 所以它就等於這一項
- 下面可以化簡
- 這裡是一個長度的平方
- 這裡也是長度的平方
- 兩邊同時減去它
- 這是b的長度的平方
- 這也是b的長度的平方
- 兩邊同時減去它
- 下面怎麽做？
- 我們可以兩邊同時除以-2
- 因爲其他的項都消去了
- 從而這兩個係數都變爲1
- 從而剩下a・b
- 這很有趣
- 因爲我們突然就得到了
- 兩個向量的點積之間的關係
- 我們似乎
- 並未通過定義
- 但是這兩個向量的點積
- 等於它們長度的乘積
- 向量長度的乘積
- 它們可以有任意多的分量
- 再乘以兩個向量夾角的餘弦值
- 注意 關於這個θ
- 它等於這個相似的普通三角形的
- 這個夾角
- 我將它們的夾角
- 進行相同的定義
- 從而就可以稱這是它們的夾角
- 顯然 兩個向量夾角的概念
- 在高維空間中
- 是很難想象的
- 但至少我們從理論上
- 得到了它
- 如果現在已知兩個向量
- 通過我們已經證明的這個公式
- 通過上面的定義
- 我們就可以計算這個角度
- 它是任何兩個向量的夾角
- 還要再說明一點 如果a是――
- 從這個地方有點不好解釋
- 我還是通過定義來說明
- 如果a等於b的常數倍
- 其中若c是大於0的
- 我們就定義θ=0
- 若c少於0 顯然a還是與b共線
- 但是方向相反
- 就定義θ=180°
- 它與二維空間中的運算
- 是一致的
- 如果它們是共線的
- 並且倍數是相同的
- 這意味著a就像這樣
- b就像這樣
- 我們知道這是0度角
- 如果方向是這樣的
- 如果a是這樣的――
- 即a的方向
- 與b的方向相反
- a朝這個方向 b朝這個方向
- 就定義它們的夾角是180°
- 除此之外其他的角度
- 都已經被定義
- 我要說明這個特殊的情況
- 因爲當你得到這樣的三角形時
- 會有些困惑
- 因爲實際上三角形已經消失了
- 當a和b共線的時候
- 其構成的三角形其實是被壓扁了
- 這就是我要介紹
- 上述內容的原因
- 現在通過
- 向量夾角的定義
- 我們可以定義垂直向量
- 我們定義垂直向量――
- 這是又一個定義――
- 這不會很困難
- 但又有些困難
- 因爲我們將向量
- 推廣到可以有任意多分量的情形
- 我們定義的垂直表示――
- 稱向量a和b是垂直的
- 若兩個向量的夾角是90度
- 我們可以定義它
- 取兩個向量 做點積
- 取它們的點積
- 再求出它們的長度
- 然後就能得到它們的夾角
- 如果它是90度角
- 就稱它們是垂直的
- 在這裡我要說明
- 這個定義其實
- 不包括0向量
- 即在這個情況下
- 並未就0向量給出定義
- 如果已知一個0向量
- 那麽這個值等於0
- 並且這個值也是0
- 其實這裡的角度沒有明確的定義
- 如果這裡是0
- 則有0=0<i>cosθ</i>
- 如果要解出θ
- 就得到cosθ=0/0
- 這是沒有意義的
- 但是我們可以
- 定義一個相比於“垂直”
- 更一般的詞語
- 我們需要定義一個角
- 來表示垂直
- 如果兩個向量的夾角是90度
- 通過定義有
- 這兩個向量垂直
- 如果我們聲明――
- 觀察這個式子
- 如果兩個向量的夾角是90度
- 這意味著什麽？
- 假設θ=90°
- 我在這畫條線
- 假設θ等於90度
- θ等於90度
- 這個公式表明什麽呢？
- 它告訴我們a・b等於
- a的長度乘以b的長度
- 再乘以cos90°
- cos90°是多少？
- 是0
- 如果你還不明白
- 可以通過單位圓理解
- 這項等於0
- 所以整個這項等於0
- 如果θ=90°
- 那麽a・b就等於0
- 這又是一件有趣的事
- 如果a和b垂直
- 則它們的點積
- 將會是0
- 如果它們的點積等於0
- 那麽我們是否可以說它們是垂直的呢？
- 如果a或b是0向量會怎樣呢？
- 是0向量
- 我稱z爲0向量
- 我可以作個圖
- 0向量點乘任何向量
- 結果都是0
- 這是否意味著
- 0向量與任何向量都垂直？
- 不是這樣的
- 因爲對於0向量
- 我們要給出兩個向量夾角的記號
- 從而可以使用“垂直”這個詞
- 所以我們不能用0向量
- 這是因爲兩個向量的點積爲0
- 那麽它們垂直
- 這是因爲考慮0向量會造成混亂
- 因爲0向量沒有定義
- 但是如果說
- a和b都是非0的
- 如果它們是非0向量
- 則有如果a和b是非0的
- 並且诶它們的點積是0
- 那麽a與b垂直
- 現在兩邊是等價的
- 但是如果僅有這個條件會怎樣呢？
- 如果僅有條件
- a・b=0會怎樣呢？
- 這個條件看起來
- 很簡潔
- 我們可以用一個詞代表它
- 這些詞語大多數情況下是同義的
- 但希望你能夠理解其不同之處
- 如果這兩個向量的點積等於0
- 就稱它們是正交的
- 我說過拼寫不是我的強項
- 這是一個簡潔的概念
- 它表明――
- 所有垂直的向量都是正交的
- 它還表明0向量
- 與任何向量正交
- 與任何向量 包括它自身
- 0向量點乘0向量結果是0
- 由定義知道它們是正交的
- 這可能是你
- 數學學習生涯中
- 第一次見到這個詞――
- 當你在幾何課
- 或者物理課等其他課程中
- 見到“垂直”
- 或是“正交”這兩個詞時
- 它們表示的意義相同
- 現在我要講解
- 它們的不同之處
- 這樣你就可以在
- 老師面前表現的更聰明
- 向量是垂直的
- 當它們――
- 如果它們都不爲0
- 否則它們的點積就是0
- 從而只能說它們正交
- 但如果它們都是非0的
- 那麽就可以說它們是正交的並且是垂直的
- 但是無論如何
- 我認爲我介紹這一點不同之處
- 是爲了防止
- 你們對這兩個詞産生混淆
- 我仍要強調
- 我們正在從基礎上
- 建立數學理論上的概念
- 對於措辭要認真仔細
- 我們的定義要嚴謹準確
- 因爲如果我們定義得不準確
- 然後在此基礎上建立大量理論
- 以及大量證明
- 那麽有一天我們就會
- 對一些問題感到困惑
- 這都將會歸因爲
- 當初我們沒有
- 認真地定義一些概念
- 無論如何 希望你覺得我講的有些用處
- 現在我們可以取向量的夾角
- 或者說對於有任意多分量的向量
- 我們都能計算其夾角