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Determining whether a transformation is onto
相關課程
- 比方說我有一個線性變換T
- 是Rn和Rm之間的映射
- 我們可以把這個線性變換表示成
- 一個矩陣的乘積
- 我們可以說T(x) 這個變換T
- 我把它寫得高點 省點地方
- 我們可以寫這個變換T作用到
- 某個向量x 等於某個矩陣乘以x
- 而且這個矩陣 既然它是從Rn到Rm的一個映射
- 這就會是一個m<i>n矩陣</i>
- 因爲每一個這些分量有n個部分
- 它們是Rn中的元素
- 所以這個矩陣必須有n列 爲了能夠
- 讓這個矩陣向量乘積有定義
- 現在可以回顧一下已經討論過的內容
- 在前兩次影片中
- 我們已經討論了函數的可逆性
- 很簡單地把它應用到這個變換上
- 因爲變換就是函數
- 我們就用變換這個詞
- 當開始討論向量空間之間的映射
- 或者說是向量集合之間
- 它們本質上是一樣的
- 所有我們前兩次影片做過的內容
- 就變得很一般了
- 我從未告訴你們 定義域集合的組成
- 和上域集合的組成
- 現在我們處理這些向量
- 我們可以采用同樣的觀點
- T在這時Rn到Rm的一個映射
- 如果你在這去某個向量 x
- T會把它映射到Rm中某個其它的向量
- 稱它爲Ax
- 如果我們計算這個矩陣向量乘積
- 這是映射T到那
- 我們來問關於T同樣的問題
- 我們一般要問的關於函數
- T是可逆的嗎？
- 我們已經在上次影片中學過
- 可逆性有兩個條件
- T必須是映上的 或者換種說法
- 還有個詞是蓋射
- 那是可逆性的一個條件
- 然後T也要是一對一的
- 還有個比較好的詞是嵌射 在那
- 那麽這次影片
- 我將集中考慮第一個條件
- 我不打算向你們證明T是否是可逆的
- 我們至少可以嘗試著搞清楚
- T是否是映上的 或者它是否是蓋射
- 那麽簡單提醒一下
- 映上或者蓋射是什麽意思？
- 它意味著 在Rm中取任意元素
- 在上域中取任意元素
- 逆給出了上域中的任意元素
- 我們稱那個元素爲b
- 它會是一個向量
- 事實上 如果T是蓋射或者如果T是映上的
- 那就意味著 你在上域中選取的任意b
- 總會有某個向量
- 至少一個向量
- 在定義域中
- 如果你對它作用這個變換
- 就會得到b
- 換一種方式考慮它
- 就是我們的變換的image是整個Rm
- 所有這些元素都已可以映到
- 我們來考慮一下 那是什麽意思
- 我們知道這個變換是Ax
- 它是某個矩陣A
- 這個變換作用x 我重寫下
- 等於某個矩陣A 它是一個m<i>n矩陣</i>
- 乘以這個向量x
- 現在 如果T是映上的 那就意味著那個Ax
- 這個矩陣向量乘積 必須等於
- 任意上域中元素可以被映到
- 通過矩陣A乘以定義域中的某個元素
- 另一種方式如何考慮它
- 另一種方式考慮它就是對任意b 映上了
- 意味著對任意向量b Rm中的一個元素
- 任意b 存在至少
- 一個解對於Ax=b
- 當然 向量x是Rn中的一個元素
- 它就是另一種準確說法
- 我在這次影片的第一部分中已經說過了
- 你給我這個集合中任意b 那麽必須有
- 如果我們假設T是映上的 或者說對於映上的T
- 必須有Ax=b至少一個解
- 必須有至少在這的一個x
- 如果我把它乘上A就會得到b
- 這必須是對的對所有 也許我應該寫
- 對所有而不是任意
- 但是它們是一樣的
- 但是 對Rm中的所有b 我們一定能夠找到
- 至少一個x使得這個成立
- 那是什麽意思？
- 那就意味著Ax必須等於
- 你可以構建Rm中的任意元素
- 通過計算乘積Ax
- 其中x是Rn中的一個元素 x是這的一個元素
- 那麽這是什麽？
- 如果x是Rn中的一個任意的元素
- 我這樣寫下
- 我們知道矩陣A看起來像這樣
- 它會是一係列的行向量
- a1 a2 它有n列 它看起來就是這樣
- 我們的矩陣A就是這樣
- 所以我們說如果你計算這個乘積
- 你一定能夠映到任意的元素 Rm中的任意的元素
- 那麽這個乘積會是什麽樣子
- 如果在這計算這個乘積
- 而不是在那寫一個x
- 我可以這樣寫x
- x1 x2 一直到xn
- 這個乘積會是x1乘以
- A的第一行向量 加上x2乘以矩陣A的第二行向量
- 一直到加上xn乘以A的第n行向量
- 那就是這個乘積
- 爲了使得T是映上的
- 這個組合必須等於Rm中的任意向量
- 那麽這是什麽意思
- 這些就是線性組合
- 對於A的行向量
- 所以換句話說就是對於T是映上的
- 所以對於T是蓋射或映上的
- 這些A的行向量必須構成Rm
- 必須構成我們的上域
- 它們必須構成這個
- 你必須能夠得到任意的這的向量
- 通過這些向量的線性組合
- 對吧？
- 這個線性組合被建立
- 因爲這些權就是
- 任意的真實的數
- 這個向量就是一係列任意的真數
- 所以對於T是映上的
- a1 a2一直到an所構成的這個空間
- 必須等於Rm 必須等於上域
- 那就意味著 你可以獲得任意的向量
- 在上域中利用這個線性組合
- 這些行向量
- 一個矩陣行向量構成的空間是什麽
- 根據定義這是這個矩陣行向量空間
- 所以我們可以說
- 那意味著這些向量的組合必須等於Rn
- 或者說是A的行向量空間
- 我換一種顏色
- A的行向量空間必須等於Rm
- 那麽我們怎麽知道
- 如果一個行向量空間等於Rm
- 在這 也許考慮它是有意義的
- 當我們不能找到解
- 對於等式Ax=b
- 所以無論什麽時候 面對這種類型的一個等式
- 我們做什麽？
- 我們可以建立一個增廣矩陣看起來像這樣
- 這你可以把A寫在這邊
- 然後你把b寫在右手邊
- 然後你 本質上
- 進行一係列的行運算
- 你必須進行整個行運算在兩個情形下
- 在兩邊 我們已經做這個很多遍了
- 你們的目的是把左手邊變成
- 行簡化階梯形
- 那麽你想最後得到什麽
- 把你的增廣矩陣變成這樣
- 左手邊是 我定義R
- 大寫R 是A的行簡化階梯形
- 我們已經在很多次影片中做過這件事
- 那就是
- 矩陣有一些軸元素
- 軸元素就是在它的列中
- 唯一的非零分量
- 但是不是每一列都有一個軸元素
- 也許 你有一個自由列或非主列
- 它們可能有一串0
- 也許這有個軸元素
- 這必須是0如果這有一個軸元素
- 這些必須是0等等
- 也許下一個軸元素在那
- 這些必須是0 你就理解了
- 你可以有些列沒有軸元素
- 但是無論什麽時候 你確實有個軸元素
- 它們必須是它們各自列的唯一非零分量
- 這是行簡化階梯形
- 那麽 我們怎麽做對任意矩陣
- 我們繼續進行那些行運算使得
- 我們最終把它轉化成一個行簡化階梯形
- 而且我們進行
- 完全相同的運算對右手邊
- 我們進行運算在整個行的
- 這些增廣矩陣
- 這個向量b在這
- 我認爲我可以把它寫成一個向量
- 它最終會是
- 在這的某個其他的向量c
- 你們知道 如果這是[1；2；3] 也許我會進行
- 一係列運算這會變成[3；2；1]
- 或者差不多那樣性質的向量
- 那麽這個什麽時候沒有解
- 我們之前複習了一下
- 唯一的情形你得不到一個解 別忘了
- 有三種情況 有多個解的
- 那是你有三個變量的情形
- 我們已經在之前討論過了
- 你也知道一種情況
- 只有一個唯一解的情形
- 那就是另一種情形
- 然後還有最後的一種情形
- 就是沒有解
- 什麽時候沒有解
- 什麽情況是沒有解的
- 爲了沒有解
- 當你進行這些行運算的時候
- 你必須最後變成一種情形
- 矩陣看起來像這樣
- 我不知道所有這些都是什麽
- 也許有個1在這 一係列的量
- 這有一個1和一個0
- 但是如果你有一個整行
- 至少一個整行全是0
- 你有一係列0像這樣
- 在這你有一個量是非零的
- 這是唯一的一種情形沒有解
- 我們要記住
- 我們爲什麽要討論這個
- 我們說我們的變換是映上的
- 如果它的行向量或者他的列空間是Rm
- 如果它的行向量構成Rm
- 我想要弄清楚的是
- 我們怎麽知道它構成Rm
- 所以 在本質上
- 爲了使它構成Rm 你可以在這給我任意的b
- 任意屬於Rm元素的b
- 我應該能夠得到一個解
- 我們自己問一下自己
- 什麽時候我們得不到一個解
- 我們明確得不到一個解
- 如果我們在一行上有一係列的0
- 然後我們在這有某個非零項
- 那樣就明確沒有解了
- 現在還有另一種情形 這我們有一係列0
- 還有另一種情形
- 我們有一些解
- 它只有在某些特定的b下才會出現
- 那種情形 我這麽畫
- 我們這樣開始
- 比方說我有一個矩陣A 我有b1 b2
- 一直下去有個bm
- 別忘了 這是Rm中的一個元素
- 然後我們做行簡化階梯形
- 用這個增廣矩陣
- A變成它的行簡化階梯形
- 比方說它的行簡化階梯形
- 在下面有一行0
- 它有一行0在那
- 其它項就像標準形式一樣
- 1和0組成
- 但是最後一行 比方說它是一串0
- 當我們在這進行行運算
- 作用在這個Rm的一般向量上的時候
- 這個最後一行有某個函數
- 也許它就像2b1+3b2
- 我就只是寫一個特殊的情形
- 它不會總是這樣 -3
- 它本質上會是
- b的分量構成的某個函數
- 所以我這麽寫
- 我正在在這寫一個特定的情況
- 也許我不應該這麽寫
- 這會是b1 b2的某個函數 直到bm
- 現在 很明顯如果這是非零的
- 我們不會有解
- 如果我們在某些特殊b的情況下得不到解
- 那麽我們確實無法張成Rm
- 我把那個寫下來
- 如果對於特定情況下的b沒有解
- 那麽我們不會張成Rm
- 我不知道是不是誇大了某些內容
- 也許在你看來很顯然
- 但是我是真的想 確保你們理解了這些
- 任何時候你們想解方程Ax=b
- 記住 我們想要確保
- 這個對任意我們選取的b都成立
- 我們可以做的是我們建立
- 這個增廣矩陣像這樣
- 然後我們進行一連串的行運算 直到我們
- 我們把這個矩陣A 轉化成行簡化階梯形
- 就像我們做的這個 右手邊
- 會是一連串b的函數
- 也許第一行是b1-b2
- +b4 或者什麽其他的
- 然後下一列可能會是這樣
- 我們過去已經看過這樣的例子了
- 如果你最後得到的行簡化階梯形
- 在這是一行的0
- 唯一的你可能有一個解的情形就是
- 如果向量b
- 如果它的分量滿足這個右邊的函數
- 使得這項等於0
- 它只會成立對於特定的b
- 如果這個只有一個解對於某個特定的b
- 使得這個等於0
- 那麽我們肯定無法張成整個Rm
- 我們做一下看看
- 如果那是Rm 如果我們寫
- 如果這個等於0只是在幾個b的情況下
- 比方說對於某些少數的b
- 那麽這些是唯一的幾個元素
- 可以通過用矩陣A乘以Rm中的某個向量映射到
- 我們肯定不會張成整個Rm
- 爲了張成整個Rm
- 當把這個寫成一個簡化的行階梯的形式
- 我們必須總能找到一個解
- 唯一的方式
- 我們總能找到一個解
- 如果我們沒有遇到這個條件
- 有一行0
- 因爲當你有一行0 那麽你必須制造
- 這個制限 這個右手邊必須是0
- 那麽什麽樣的行簡化階梯形
- 你不會有一行的0呢？
- 在行簡化階梯形中的任意一行都不會
- 全是0
- 或者每一行必須有一個軸元素分量
- 那麽唯一的方式你張成 T是映上的
- 若且唯若
- 這個變整流量組成的列空間
- 等於Rm
- 它的行向量張成整個Rm
- 唯一的方式是這個成立就是
- 如果A的行簡化階梯形
- 在每一行都有一個軸元素
- 它有幾行
- 這是m<i>n矩陣</i>
- 它有m行n列
- 所以它在每一行有一個軸元素分量
- 那就意味著它必須有m個軸元素分量
- 在那
- 現在 另一種考慮這個問題的方法是什麽
- 記住 早些時候 幾個影片之前
- 我們考慮過如何計算出
- 這可能有些複雜
- 你如何才能計算出你的列空間的基
- 一個矩陣列空間的基
- 這是一點複習
- 我們是這樣做的 我們說 看 你取一個矩陣
- 你把它轉化成了行簡化階梯形
- 然後 本質上
- 我把它畫得不同一些
- 你把它寫成行簡化階梯形
- 比方說這就是行簡化階梯形
- 然後你觀察哪些列有軸元素分量
- 在你原來的矩陣中相應的列
- 在原來的矩陣中
- 組成了列空間的一組基
- 我把它畫出來
- 我會做一個特殊的例子
- 比方說它的行向量a1 a2
- 直到an
- 這就是A
- 當你把它寫成行簡化階梯形
- 比方說這一列在這恰好有一個軸元素分量
- 這一列有一個軸元素分量
- 比方說這一列沒有
- 比方說這是2
- 我只是選一些特定的數
- 比方說有一個3
- 比方說所有這些都是非軸元素分量
- 然後最後分量n是一個軸元素分量
- 它有一串0 最後有個1
- 你如何判斷
- 列空間的基向量是什麽
- 很顯然 列空間是
- 可以被所有這些列張成
- 但是 你需要的最小的集合
- 有同樣張成空間的是什麽
- 你觀察哪一列有
- 一個相應的軸元素分量或是主列
- 假如說 我有個主列在這
- 我有個主列在那
- 那麽我們列空間的一組基一定是
- 在我們原來矩陣中的這一列
- 和那一列
- 然後我們說 你如何
- 去定義它的列空間的維數
- 你就只要簡單地數一下向量
- 你需要構成基的個數即可
- 我們稱這個叫A的秩
- 這些全是複習
- A的秩等於
- A的列空間的維數
- 等於對於列空間的
- 基向量的個數
- 這是你如何判斷它的方法
- 本質上你得到的是
- 有多少主列
- 主列的數目就是
- 基向量的數目
- 那就是A的秩
- 現在我們爲什麽討論這些的全部原因就是
- 我們說變換T是映上的
- 若且唯若 它的列空間是Rm
- 如果它有一個軸元素分量
- 在每一列上在它的行簡化階梯形
- 或者 既然它有m行 它必須有m個軸元素分量
- 所以對於每一行 你有一個軸元素分量
- 但是每一個軸元素分量對應於一個主列
- 所以如果你有m個軸元素分量
- 你同樣有m個主列
- 這就意味著
- 如果你想在這做這個練習的話
- 你會有m個基向量對於列空間
- 或者說你的秩是m
- 所以這次整個影片就是一個很長的過程
- 說明T是映上的
- 另一種說法
- 是如果你在這有定義域
- Rn 你在這有上域
- Rm 每一個Rm中的元素可以
- T作用Rn中的某個元素被映射到
- 任何這的元素 總是有至少一個這的元素
- 如果你向它作用T 你就得到它
- 可能多於一個元素
- 我們還沒有討論一對一
- 所以我們說T是映上的 若且唯若
- 它的變換矩陣A的秩等於m
- 這是這次影片的核心結論
- 我們具體來做一個例子
- 因爲有時候做某件很抽象的事情的時候
- 看起來可能會複雜
- 你可以看一些特殊的情形
- 我定義某個變換S
- 比方說這個變換S是R2到R3的映射
- 比方說S作用到某個向量x
- 等於[1,2；3,4；5,6]x
- 這是一個3<i>2矩陣</i>
- 我們來看看S是否是映上的
- 基於剛才我們做的 我們必須
- 把這個寫成行簡化階梯形
- 我們來做一下
- 如果你把這個寫成行簡化階梯形
- 保持[1,2；3,4；5,6]
- 現在 我們保持第一行不變 就是[1；2]
- 我們替換第二行
- 用第二行減去3乘以第一行
- 事實上 我們替換它
- 用3乘以第一行減去第二行
- 所以 3乘以1減3是0
- 3乘以2減4 就是6減4是2
- 現在我們替換第三行
- 用5乘以第一行
- 減去第三行
- 所以5乘1減5是0
- 5乘2是10減6是4
- 現在我們來看看是否我們可以得到a1
- 我將保持中間這行不變
- 或者 事實上 我們就把中間行除以2
- 或者乘以1/2
- 得到[0；1] 然後0 4 1 2
- 現在我們嘗試著使這些等於0
- 把它變換成行簡化階梯形
- 我將保持中間行不變 [0；1]
- 我們來替換頂上這一行
- 用頂上這行減2乘以第二行
- 1減2乘0是1
- 2減2乘1是0
- 現在我們替換這最後一行
- 用最後一行減4乘以這行
- 得到0減4乘以這個是0
- 4減4乘是0
- 注意 我們有一行全是0
- 我們有兩個軸元素分量或兩行有軸元素分量
- 我們同樣有兩個主列
- 這個矩陣[1,2；3,4；5,6]在這
- 這個矩陣的秩是2
- 這不等於我們的上域
- 它不等於R3
- 它不等於R3 所以S不是映上的
- 或不是蓋射
- 它是可逆性兩個條件之一
- 所以 我們明確地知道S不是可逆的
- 它確實很有用
- 現在 下次影片我們將
- 集中解決可逆性的第二個條件
- 就是一對一
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