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相關課程
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- 如果平面Ax-2y+z=d
- 與由兩條直線相交而成的平面
- 之間的距離……
- 這裡給出了三維空間中的兩條直線
- 如果這個距離是√6
- 那麽d的絕對值是多少？
- 我們來思考一下
- 這個平面
- 與兩條直線交成的平面之間的距離
- 爲了實際地討論
- 兩個平面之間的距離
- 前提是兩個平面必須平行
- 因爲如果它們不平行
- 如果它們是相交的
- 那麽距離顯然是0
- 題目中給出
- 距離是√6
- 所以現在的情況就是
- 如果兩個平面不想交
- 則它們必平行
- 如果已知這個平面
- 已知這個平面
- 你可以令這個方程
- 爲Ax-2y+z=d
- 然後還有一個平面
- 與之平行
- 也許就像這樣
- 另有一個與之平行的平面
- 並且它包含這兩條直線
- 也許是這條直線
- 我用綠色表示
- 也許這條直線就像這樣
- 它在藍色的平面上
- 然後又有這條紫紅色的直線
- 它也在藍色的平面上
- 那麽應該如何求出平面間的距離呢？
- 一個很好的出發點是
- 試著求出
- 藍色平面的方程
- 因爲這些平面是平行的
- 所以這個平面的方程
- 應該和這個橘黃色的方程很相似
- 至少其左邊的部分是相似的
- 而不同之處僅在於d的值
- 這是因爲
- 它們的傾斜程度是相同的
- 一旦我們求出
- 這個平面的方程
- 那我們就能求出A是多少
- 從而我們就能找到藍色平面上的某個點
- 並運用
- 點到平面的距離的知識
- 來求出任何一點
- 到這個橘黃色平面的距離
- 那麽我們就先來求出
- 這個藍色平面的方程
- 而一個很好的出發點就是
- 試著求出
- 藍色平面上的兩個向量
- 取這兩個向量的外積
- 從而求出藍色平面的法向量
- 然後利用這一信息
- 來求出
- 藍色平面的方程
- 我們先來求出
- 藍色平面上的某些點
- 由這條藍色的直線能得到
- 如果你要領這些項都等於0
- 那麽就要令x=1
- 令y=2
- 令z=3
- 從而得到點(1,2,3)
- 這個點一定在藍色的平面上
- 我們再求出另一個點
- 如果我令這些項都等於1
- 如果令分子等於2就能做到
- 從而有點(3,……
- 如果令這項等於1
- 就需要有(5-2)/3
- 所以這點是(3,5……
- 然後需要令z=7
- 這樣就有(7-3)/4
- 結果就是1
- 這就得到了另一個點
- 這兩個點
- 都在這條直線上
- 即點(1,2,3)和點(3,5,7)
- 我們對這項做同樣的處理
- 我們求出這個平面上的兩個點
- 實際上你只需要
- 求出這個平面上的一個點
- 只需要有三個點
- 就足以確定兩個不同的向量
- 其中這兩個向量是不共線的
- 從而就足以指出
- 這個平面的法向量
- 我們再求出這條直線上的一個點
- 這個點是
- 如果令這三項都爲0
- 那麽就有點(2,3,4)
- 從而這三項都是0
- 所以它也在平面上
- 這個點在紫紅色的直線上
- 我們就用這三個點
- 來確定平面上
- 不共線的兩個向量
- 然後我們可以取外積
- 來求出
- 藍色平面的法向量
- 我們來考慮
- 這個平面上的第一個向量a
- 我們令它爲
- 由這兩個點確定的位置向量
- 我們知道它在這個平面上
- 那麽它就等於
- (3-1)i=2i 加上(5-2)j=3 j
- 加上(7-3)k=4k
- 所以向量a就在這條綠色的直線上
- 因爲這兩個點都在這條直線上
- 所以它就在這條直線上
- 如果把它放在平面上
- 或者令它從這個點出發
- 那麽它就在這條直線上
- 然後我們就可以確定另一個向量
- 它經過
- 這條綠色直線上的一點
- 和紫色直線上的一點
- 它一定是
- 這個藍色平面上的向量
- 我們來做經過這兩個點的向量
- 這很容易做
- 稱之爲向量b――
- 我們用另外一種顏色
- 這樣就不會感到混亂了――
- 我們稱之爲向量b
- 我們有(2-1)i=i (3-2)j=j (4-3)k=k
- 所以這個向量也在平面上
- 那麽如果取a和b的外積
- 就會得到一個向量
- 它垂直於這個平面
- 或者說是平面的法向量
- 我們來做一下
- 我們來求a×b
- a×b等於
- 這很容易做 我寫上i j k
- 這是根據外積的定義
- 或是其中之一
- 寫出第一組向量2 3 4
- 然後是第二組向量1 1 1
- 那麽它等於
- 首先考慮i分量的方向
- 忽略這一行和這一列
- 3<i>1-1<i>4就是3-4 結果是-i</i></i>
- 然後減去含j的項 這是個減號
- 我們需要改變符號
- 符號的順序是+ - +
- 於是忽略含有j的行和列
- 2<i>1就是2 減去1<i>4</i></i>
- 就是減去4 結果是-2
- 所以這裡是-2
- 而這兩個負號消去了 所以是加上2j
- 最後忽略含有k的行和列
- 即有2<i>1-1<i>3=-1</i></i>
- 所以結果是-k
- 所以這就是平面的法向量
- 如果要求出這個平面的方程
- 我們已經做過很多次了
- 我們只需取這個法向量
- 我們只需取這個法向量
- 和這個平面上任意向量的內積
- 我們可以指定這個任意的向量是(x,y,z)
- 我們已經在很多節課上做過很多次了
- 這是平面上的任意一點(x,y,z)
- 那麽對於這個向量
- 我把這個向量畫出來
- 從這個點出發
- 所以這個向量就是
- 我換種方式畫
- 那麽這個向量
- 就經過這個點和(x,y,z)
- 這個向量就是(x-3)i+(y-5)j+(z-7)k
- 這就是這個向量
- 它在這個平面上
- 我們假設的(x,y,z)也在這個平面上
- 我們取其和法向量的內積
- 結果等於0
- 因爲這個向量在平面上
- 從而就得到了方程
- 我們用n來點乘這個向量
- 即n・((x-3)i+(y-5)j+(z-7)k)
- 如果你會對此感到疑惑
- 其實我在之前的課上
- 都有深入的講解
- 尤其是在線性代數課程中
- 我們正在考慮
- 構建平面的方程
- 我們已知的是平面上一點以及法向量
- 我也講了如何來求其法向量
- 如果你還需要複習的話
- 請學習之前的課程
- 所以這項等於0
- 我們要去內積
- 而法向量已經求出來了
- 所以就取x項 也就是-1
- 乘以這裡的x項
- 於是-1乘以這項就是3-x
- 然後加上這個y分量乘以這個y分量
- 也就是2乘以這一項 即2y 再減去10
- 最照射燃料再處理z分量
- -1乘以這一項
- 從而就得加上7減去z等於0
- 我們得到什麽？
- 我們得到-x+2y-z 它等於
- 將兩邊同時減去3
- 把它移項到這邊 就是-3
- 如果兩邊同時加上10
- 所以這裡要加10
- 然後兩邊減去7
- 這裡就是-7
- 所以右邊就有-3+10-7
- 結果是0
- 這項就等於0
- 就像這樣
- 我們求出了藍色平面的方程
- 也就是包含這兩條直線的平面
- 不要忘了我們在
- 影片開始時所說的
- 這兩個平面是平行的
- 所以它們係數的比
- 即x項 y項 z項係數的比
- 必須是相同的
- 這項有+2
- 而那項有-2
- 爲了簡化
- 二者非常相似
- 那麽我們就將等式兩邊
- 同時乘以-1
- 從而就得到x-2y+z=0
- 這其實就是
- 同一個平面的另一種等價的表示方式
- 這是我們所想要的 它們非常相似
- 至少x y z項的係數的比值是相似的
- 這有-2y和-2y 1z和1z
- 注意比值必須相同
- 這裡的比值是1比1
- 即z的係數的比值和y的係數的比值分別是1比1
- 對x項的係數的比值也是如此
- 由此我們知道
- 這個平面就與藍色的平面平行
- 我們就知道A等於1
- 所以這個方程就是x-2y+z=d
- 現在我們來求
- 兩個平面之間的距離
- 可以在藍色的平面上取一個點
- 並且在藍色的平面上有很多點可以選擇
- 然後求出
- 這個點到那個平面的距離
- 事實上我在之前的課上講過
- 如何來求
- 點到平面的距離
- 那麽我就用我講過的那個公式
- 如果你需要了解證明
- 請參見前面的影片
- 我認爲那是一個有趣的證明
- 但是點(1,2,3)與這個平面
- 之間的距離
- 這段距離就是
- 處在法向量方向上
- 這段距離是
- 爲了保險起見我不用那種方式
- 我把“距離”這個詞寫出來
- 忽略那個變量
- 這段距離是
- 逐個地計算 我這麽來做
- 逐個地代入x y z
- 然後再分子上減去d
- 我們學過這是求距離的公式
- 這等於1
- 我用的是這一點
- 這裡是1 因爲這裡有1個x
- 它等於1-2<i>2</i>
- 即有1-4+3-d
- 這個d就是這裡的d
- 於是再減去d 就像這樣
- 這些除以法向量的長度
- 我們之前講過多次了
- 它就等於
- 這三項係數的平方和
- 求和之後 再開方
- 結果就等於√(12+(-2)2+12)
- 所以這項化簡成爲
- 1-4+3等於0
- 所以分子就是-d
- 除以√(1+4+1)
- 即除以√6
- 所以平面Ax-2y+z=d
- 與這個平面之間的距離是√6
- 所以距離就等於√6
- 這是由這裡得到的信息
- 也許我應當換另一種顏色
- 兩個平面之間的距離
- 就是√6
- 然後可以解出d
- 即將等式兩邊同時乘以√6
- 就得到6=-d
- 也就是d=-6
- 現在我們關心的是
- d的絕對值
- 這其實是一種符號距離
- 它表示我們是在平面之下或是平面之上
- 如果在平面之下
- 得到的就是負值
- 我畫的就是這種情況
- 如果在平面之上
- 得到的就是正值
- 所以這個距離是-6
- 從而d的絕對值就等於
- -6的絕對值
- 也就是6
- 總之我們取藍色平面上的任意點
- 然後求出橘黃色平面上距其最近的點
- 得到的結果就是6
- 希望你能發現其中的樂趣