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相關課程
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- 從前面的幾個影片我們知道了
- 兩個非零向量的點積
- a?b 等於向量a的長度
- 乘以向量b的長度
- 再乘以夾角的餘弦值
- 我來畫一下a和b以使它更清楚
- 如果這是a而這是b
- 這是它們的夾角
- 我們這樣來定義它
- 事實上 如果你要解――
- 如果有兩個向量
- 而你要解這個角
- 我從來沒有明確地講這個問題
- 我覺得 好吧 我現在來講它
- 你可以解出你的θ
- 所以就是a?b除以
- 兩個向量的長度的乘積
- 就等於cosθ
- 然後要算出θ你就要
- 對兩邊取反餘弦
- 或兩邊同取arccosin
- 就會得到θ等於a?b
- 除以長度的乘積
- 或每一個向量長度
- 相乘的反餘弦
- 所以如果給你兩個任意的向量――
- 而其亮點在於
- 這非常直接
- 如果我在這兒畫這個二維的東西
- 你可以拿出量角器
- 來測量這個角
- 但如果a和b都有100個分量
- 就很難看出來
- 它們之間的夾角了
- 但你也不再需要看出來它們
- 因爲你要計算出它來
- 你要計算這個值
- 然後用計算器
- 再取反餘弦
- 或是餘弦的逆函數是一樣的
- 這就會算出這個角來
- 而這由定義 就是它們的夾角
- 這是一個很簡明的概念
- 然後你可以考慮
- 垂直或其它的什麽主題
- 這有點兒跑題了
- 但我煞費苦心地想要向你們
- 在以前的影片裏證明的另一個結果是
- 兩個向量外積的長度等於――
- 它是一個非常相似的表示
- 它等於兩個向量長度的乘積
- 就是a的長度乘以b的長度
- 乘以夾角的正弦值
- 乘以夾角的正弦值
- 所以是相同的角
- 我要做的就是利用這兩點
- 這有一點兒分散
- 只是想告訴你們怎麽解θ
- 因爲我記得從來沒有爲你們解過這個
- 但我要做的是
- 我要取上面的這個表示
- 和上面的這個表示
- 然後看看是否我們可以有一個直覺
- 至少在R3中 因爲現在
- 我們只定義了外積
- 或只是在R3中的兩個向量的外積
- 我們取R3中的這兩個概念
- 來看看是否我們可以産生一種直覺
- 我作了一個相似的影片
- 在物理課程中
- 在那裏我比較了點積和外積
- 現在 如果我再將它――我再畫一下我的向量
- a的長度――我畫一下a
- 還有b 有點兒長了
- 我畫成這樣
- 這是向量b
- 這就是b
- 這是a
- 那a的長度乘以b的長度
- 再乘以夾角的餘弦值是什麽？
- 我在這裡畫吧
- 這就是這個角
- 所以a的長度 如果我畫成這樣的話
- 就是這麽長
- 這是a的長度
- 就是這麽長
- 我這麽來畫這個向量
- 這就是 理論上來說 是a的長度
- 我要在R3中或它的另一種形式中算它
- 這樣我可以在我的小黑板中寫下來
- 所以它就是這個線段這麽長
- 然後b的長度就是
- 這條線段這麽長
- 這就是b的長度
- 我再在上面重寫一遍
- 我來寫成b b的長度乘以――
- 我仔細一點兒
- 我不想算點積
- 因爲你們可能會把它當作點積
- 乘以a cosθ
- 我所做的僅僅是重新整理了這個東西
- 這和a?b是一樣的
- 那麽a cosθ是什麽？
- 我們來用基本的三角工具――
- 三角學
- 得到cosθ等於鄰邊除以斜邊
- 如果我畫一個 如果我在這兒畫一個直角
- 我用一些新顏色
- 使它的顏色不太單一
- 如果我在這兒畫一個直角
- 在在這兒畫一個直角
- 這就是θ 那麽cosθ是多少？
- 它等於這個
- 我用另一種顏色
- 它等於這個 鄰邊
- 等於這個小品紅色的東西
- 不是整個b 就是這個部分
- 到直角爲止
- 這是鄰邊
- 我應該畫大些
- 它等於鄰邊除以斜邊
- 我寫下來
- 那麽cosθ
- 等於這個小鄰邊
- 我這樣寫
- 等於這個鄰邊除以斜邊
- 但斜邊是多少？
- 是向量a的長度
- 就是這個
- 這就是斜邊
- 斜邊是a的長度
- 所以兩邊同時乘以
- 向量a的長度 就得到a的長度
- 乘以cosθ等於鄰邊
- 我用品紅來寫
- 所以這個式子
- a?b可以重寫成――
- 我告訴你們a的長度
- 乘以cosθ等於
- 這個品紅的鄰邊
- 所以這個等於鄰邊
- 所以你可以把a?b看成等於
- b的長度――這個長度――
- 乘以這個鄰邊
- 你可能會問 sal 這有什麽用？
- 好 它告訴了你如果你乘以
- 實質上是 b的長度乘以a的模長
- 結果和b是相同方向的
- 你可以把它看做是a的投影
- 以後我會講投射
- 我會更公式化地定義它們 但如果這個詞語
- 投射會幫助你們 就是這樣的詞語
- 如果你有一束光從上面投射下來
- 這個鄰邊就像
- a在向量b上的陰影
- 你可以想象 如果這兩個向量――
- 如果這兩個向量看起來像是這樣
- 如果它們真的是在相同方向
- 比如說這是a而這是b
- 則我所關心的鄰邊就是――
- 它們有更多的共同點
- a和b相同方向的部分
- 就大得多
- 這就會有更大的點積
- 因爲點積實質就是說
- 這兩個向量有多少
- 是在相同方向上的？
- 但它只是一個數值
- 所以它就是這個鄰邊
- 乘以b的長度
- 如果我有這樣的向量
- 它們互相垂直會怎麽樣？
- 如果我有像這樣的向量會是什麽樣？
- 如果向量a像這樣
- 而向量b是這樣呢？
- 現在鄰邊 我定義它的方式
- 如果我要算一個這樣的直角
- 鄰邊就很短
- 所以點積
- 即使a是一個很長的向量
- 現在也小很多因爲a和b有
- 很少的公共部分在相同的方向上
- 你也可以用另一種方法來看它
- 你可以向下像這樣畫它
- 你也可以這樣處理鄰邊
- 但無所謂
- 因爲a和b是任意的
- 所以a?b等於
- 每一個的長度乘以cosθ
- 對我來說 點積告訴了我
- 兩個向量之間有多近？
- 或兩個向量相同方向
- 的部分的乘積
- 這個乘積是對
- 在一起或是相同方向上的向量取的
- 你可以把這個鄰邊看作是
- a在方向b方向上的分量
- 這就是a在b方向上的分量
- 所以你將它和b自己相乘
- 所以這就是點積的意義
- 兩個向量有多少部分是在相同的方向上
- 並且注意到 當兩個向量是正交的
- 或是垂直的
- 當a?b等於0時
- 我們就說它們是垂直的
- 這個觀點是完全基於
- 對於點積的直覺上的
- 因爲這就意味著它們完全垂直
- 所以這就是b而這就是a
- 所以a的鄰邊部分
- 如果必須畫一個直角的話
- 它就是豎直向下的
- 而如果我說a的投影
- 我沒有畫出它來
- 或如果我從上面投射一束光下來
- 我要問a在b上的投影是多少？
- 你什麽也得不到 結果是0
- 這個箭頭沒有寬度
- 即使我畫出來了寬度
- 但它沒有寬度
- 所以下面是0
- a和b相同方向的分量
- 這個向量沒有
- 和這個向量相同部分的分量
- 所以你會得到
- 這個長爲0的鄰邊乘以b
- 所以結果是0
- 所以幸運的是這個有意義
- 現在再來看看外積
- 外積告訴了我們 好
- a×b的長度
- 我很費力地講過
- 它等於a的長度
- 乘以b的長度
- 再乘以夾角的正弦值
- 讓我以這個相同的例子爲例
- 畫兩個向量
- 這是向量a而這是向量b
- 現在sin――三角學
- 所以sinθ 寫下來
- sinθ――三角學
- 等於對邊除以斜邊
- 所以如果我在這裡畫一個小直角
- 如果這個是垂直的
- 這是θ
- 那麽sinθ等於什麽？
- 那sinθ等於多少呢？
- 它等於這個邊
- 我稱之爲對邊
- 它等於對邊除以斜邊
- 而斜邊是
- 這個向量a的長度
- 它是向量a的長度
- 所以斜邊是向量a的長度
- 所以如果我在兩邊
- 用向量a的長度相乘
- 我就得到a的長度乘以sinθ
- 等於對邊
- 如果再重新整理一下
- 可以寫成等於――
- 我要交換一下它們
- 我要像作點積一樣
- 這個等於b 向量b的長度
- 乘以a的長度再乘以sinθ
- 好 這就是對邊
- 就像我在這裡定義的一樣
- 所以這就是對邊
- 就是這個邊
- 所以當我們取外積時
- 我們實際上是乘以向量b的長度
- 再乘以a的垂直於b的部分
- 這個對邊就是
- a的垂直於b的部分
- 這就是對邊的概念
- 對於點積 是將
- a與b相同方向的分量與b相乘
- 而對於外積
- 是將a
- 與b垂直的部分
- 與b相乘
- 這是一種測量
- 尤其是當你取這個的長度的時候
- 它是測量
- 這兩個東西的垂直程度的
- 而這個
- 它是測量
- 它們在相同方向上的程度的
- 我們來看幾個例子
- 如果取兩個直角
- 如果這是a而這是――
- 或如果你取
- 兩個相互垂直的向量
- a×b的長度就等於――
- 如果用這裡的這個公式――
- a的長度乘以b的長度
- 那sin90°等於多少？
- 是1
- 所以在這裡你將
- 外積的長度最大化
- 這是能達到的最長的了
- 因爲sinθ 是最大值
- sinθ總是少於或等於1
- 所以這是能達到的最好的結果
- 這是最大可能值
- 當恰好是垂直的向量時侯
- 現在 當它―― 事實上
- 回過頭來 看這個相同的地方
- 當你得到餘弦最大值時――
- 那內積呢？
- 好 這時兩個向量是共線的
- 當向量a看起來像是這樣
- 而向量b事實上是另一個
- 和它相同方向的向量
- 則θ是0
- 它們之間沒有夾角
- 然後就得到a?b等於
- 向量a的大小或長度
- 乘以b的長度
- 再乘以夾角的餘弦值
- 它們夾角的餘弦值
- 這個餘弦值等於0
- 是夾角是0 所以餘弦值是1
- 所以當你有兩個向量
- 是相同的方向時
- 或是說它們共向
- 你就得到最大的點積
- 你可以將外積最大化
- 當它們相互垂直時
- 爲了使這個類比更清楚
- 當它們相互垂直時
- 你就最小化了――
- 或至少是點積的大小
- 你可以得到負的點積
- 但點積的絕對值
- 你的點積的絕對值
- 是最小的當它們相互垂直時
- 類似地
- 如果取兩個共線的向量
- 而且它們是相同方向的
- 那麽如果這個是向量a
- 還有另一個向量b
- 可以說 一個是在另一個之上的（共線）
- 但我覺得你們已經理解了
- 比如向量b就像這樣
- 那麽θ等於0
- 你甚至看不見它
- 它被壓縮沒了
- 一個是在另一個之上的（共線）
- 然後對於外積 a×b
- 等於――好 這兩個東西的長度
- 乘以sinθ 而sin0等於0
- 所以結果就是0
- 所以兩個共線向量
- 它們的外積大小等於0
- 但它們點積的大小
- 即a?b 是最大的
- 它是你能達到的最大值
- 它就是a的長度乘以b的長度
- 現在相反的情形在這裡
- 當它們互相垂直時
- 外積是最大的
- 因爲它是測量向量中有多少――
- 向量a有多少垂直部分是――
- 與b的長度相乘
- 然後當有兩個正交向量時
- 點積是最小的
- 或點積的絕對值
- 所以a?b 是等於0
- 無論如何 我要使問題更清晰
- 因爲有時你得到了公式
- 和定義
- 但是卻失去了直覺
- 不知它們究竟意味著什麽?
- 而事實上 在我繼續講之前 我再一下講
- 另一個關於外積的
- 可以被解釋的觀點
- 因爲外積更能
- 使人們感到困惑
- 這是a而這是b
- 如果我要計算
- 這個平行四邊形的面積呢？
- 如果我要改變a使它像這樣
- 改變b來畫一個與b平行的線
- 如果我要算出
- 這個平行四邊形的面積
- 我怎麽只用初等幾何來求？
- 好 我要在這兒畫一個垂直線
- 這是垂直的而這個長度是h
- 那麽面積就是 平行四邊形的面積
- 等於底的長度
- 就是向量b的長度乘以高
- 但高是多少呢？
- 我來在這兒標出θ
- 寫一個綠θ 這樣更醒目
- 這就是θ
- 我們已經知道了sinθ
- 等於對邊除以斜邊
- 所以它等於高除以斜邊
- 斜邊就是向量a的長度
- 所以它就是向量a的長度
- 或者我們可以解出高來
- 我們知道高等於
- 向量a的長度乘以sinθ
- 所以我可以重寫它成這樣
- 我可以將它換成這個並得到
- 這個平行四邊形的面積等於
- 向量b的長度乘以
- 向量a的長度乘以sinθ
- 這就是兩個向量的外積的長度
- 即a×b
- 這是一樣的
- 我知道你可以重新排列a和b
- 所以我們現在有另一個方法來考慮它
- 外積是什麽
- 兩個向量的外積
- 或至少大小
- 或兩個向量的外積的長度――
- 明顯地 由外積
- 你會得到第三個向量
- 但第三個向量的長度
- 等於這個平行四邊形的面積
- 這是定義的或這是一種――
- 你可以從這兩個向量中創造的
- 無論怎樣 幸運的是你有了一些直覺
- 而它會告訴你更多的
- 關於點積的
- 和外積的意義