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- 假設有一條直線
- 它通過原點
- 我畫出在R2裏的情形
- 但實際上可以推廣到任意Rn
- 我先畫出坐標軸
- 那麽這就是坐標軸
- 畫的不好 但能看得懂
- 我畫一條直線
- 通過原點的直線
- 就是這根直線
- 我們知道 任意Rn中的直線――
- 我們現在考察的是R2――
- 可以被定義爲 某向量的
- 所有可能的純量乘積的集合
- 那麽我們假設這個向量
- 在這條直線上
- 我們可以定義這條直線
- 我們可以說 l等於
- 這個向量所有純量乘積的集合――
- 假設這個向量爲v
- 那麽這條直線就是所有可能的
- v的純量乘積的集合
- 而這個乘數 根據定義 是任意實數
- 顯然地
- 如果取遍所有可能的v的乘數
- 不管是正數還是負數
- 抑或是少於1的乘數 分數乘數
- 就會得到一個向量的集合
- 它確定了
- 一條過原點的直線上的每一點
- 並且我們知道
- 如果這條直線
- 不經過原點
- 你就必須 用一個向量來平移它
- 它會被表示爲另外的一個向量加上向量cv
- 不管怎麽
- 我們從這條
- 經過原點的直線開始說
- 在這個影片中
- 我想定義
- 向量x在直線l上投影的概念
- 那麽我先畫出向量x
- 假設這個向量
- 就是向量x
- 那麽 投影
- 我先給你一種對於它的直觀印象
- 然後我們再來
- 用更嚴謹的方式定義它
- 投影 我總是想象
- 如果有個光源
- 垂直於或者說
- 正交於直線――
- 假設光源
- 這樣照下來
- 我按這個方向畫是因爲
- 這樣是垂直於直線的
- 我想象x在這條直線上的投影
- 類似x的影子
- 因此如果光照射過來
- 我就會作一條垂直線
- 那麽x在l上的影子
- 將會是這個向量
- 因此可以把它看作直線l上x的影子
- 這是一種理解方式
- 另一種理解方式
- 你可以選擇你喜歡的方式去理解
- 另一種方式就是 理解爲x在l方向上的運動
- 最後求投影的方法是一樣的
- 你要從x向l引一條垂直線
- 然後想
- 我需要在l方向上運動多遠
- 才能得到這條垂直線呢？
- 以上都是我理解
- 投影概念的方法
- 我認爲“影子”的理解是
- 它被稱作投影的原因之一 對吧？
- 當你投影某樣事物的時候
- 你向它照射燈光
- 看看光與牆的交點
- 這裡你所做的事情是一樣的
- 你投射一束光
- 並觀察這束光 與這條直線的交點
- 但是這麽定義 你沒法往下進行
- 這只是對投影的一種
- 直觀理解
- 我們需要一種計算它的方法
- 或者說一個數學上更爲嚴謹的定義
- 而我們能做的是
- 當我畫出這個投影的時候――
- 我另外畫一個投影吧
- 換一條直線或者另一個向量
- 這樣比較好理解
- 如果這裡有另外一個向量
- 看起來像這樣
- 它到這條直線上的投影
- 將會像這樣
- 你只需要作一條垂直線
- 它的投影看起來應該是這樣
- 但我不是要單獨討論這一種情況
- 我想給你一種感覺
- 它是任意向量在這條直線上的影子
- 那麽原來的這個例子呢？
- 不管我如何理解投影的概念
- 我都會從它向直線引一條垂直線
- 因此如果我們在這兒構造一個向量
- 我們會發現
- 這個向量
- 總是與直線垂直
- 這個向量是可以得到的
- 如果不能的話 我就不會討論這個問題了
- 那麽我先來定義這個向量
- 之前還沒有定義過
- 這個向量等於什麽呢？
- 如果這個向量――我們先別看這些
- 我們最後要求的是這個藍色的向量
- 還用藍色吧
- 這個藍色的向量是向量x在l上的投影
- 這是我們要求的
- 現在 我們可以考慮的一個東西
- 就是這裡的粉色向量
- 這個粉色向量等於什麽呢？
- 我剛畫的這個粉色的向量
- 就等於向量x 減去它的投影
- 減去這裡的藍色向量
- 也就是 減去x在l上的投影 對吧？
- 如果用投影加上這個粉色向量 就得到x
- 那麽如果你用這個藍色的x的投影
- 加上x減去x的投影
- 當然地你會得到向量x
- 我們還知道 這個粉色向量
- 正交於直線本身
- 因此它正交於
- 直線上的所有向量
- 也就是說它們的點積
- 將會是零
- 那麽我用這種方法定義投影
- 投影
- 這會是一個
- 更加數學化的定義
- 一個向量x在l上的投影
- 會是l上的某個向量 對吧？
- 我在這裡畫出來了 藍色的向量
- 我用白色描一描
- l上的某個向量
- 這可能有點兒不太直觀
- x減去這個投影向量
- 將會與直線正交
- 也就是說 投影――
- 這就是我的定義
- 我定義x在l上的投影
- 爲l上的某個向量
- x減去這個向量將正交於l
- 這就是我的定義
- 這個定義會更加嚴謹一些
- 並且我認爲它 合理地解釋了爲什麽它
- 跟影子或者投影的概念相關
- 那麽我們如何來計算它呢？
- 我的意思是 這還是用文字表示的
- 我們如何確實地
- 計算x在l上的投影呢？
- 這裡的關鍵是
- x減去它的投影正交於l
- 那麽我們看看能不能利用一下這個條件
- 那麽我們首先要注意的是
- 根據定義
- 因爲x到l上的投影是l上的一個向量
- 那就意味著 它是v的一個純量積
- 這裡方向向量的純量乘積
- 也就是這裡的v
- 因此我們可以說
- 我們可以把x在l上的投影 改寫一下
- 可以把它表示成
- 向量v的一個純量積
- 對吧？
- 我們可以說
- 這與我們的投影是等價的
- 我們還知道x減去投影
- 是正交於l的
- 因此就得到x減去投影――
- 我剛才說過 我們可以把它表示成
- 向量v的純量積的形式
- 可以看到這裡畫的
- 它看起來差不多是這個向量的2倍
- 已知x減去投影
- 也就是這個向量
- 正交於l
- 正交性 根據定義
- 意味著 它跟l上任意向量的點積爲0
- 那麽讓它與l上的向量作點積
- 讓它與向量v作點積
- 也就是用來定義l的向量
- 讓它與v作點積
- 我們知道 結果一定爲零
- 我們取這個向量 與v作點積
- 我們知道這個點積一定等於0
- 必須等於0
- 那麽我們應用點積的性質
- 看看我們能否計算出確定的c值
- 因爲一旦我們求得了c的一個特定值
- 那麽我們只需要
- 用它乘以向量v
- 這個向量是已知的
- 我們就會得到要求的投影
- 那麽它就可以確定地用數字表示了
- 來看看能不能計算出一個c值
- 那麽如果我們分配這個c――
- 抱歉 如果我們分配這個向量v
- 我們知道點積
- 滿足分配律
- 這個表達式可以改寫成x?v 對吧
- 可以展開成x?v-cv?v
- 重新整理
- 我們知道 -cv?v跟這個是一樣的
- 我們可以把它改寫爲-cv――
- 改寫成cv?v
- 整個式子 當然地
- 是等於0的
- 如果我們要解出c
- 我們在式子兩邊 同時加上cv?v
- 然後就得到x?v=cv?v
- 爲了解出c
- 我們在方程兩邊 同時除以v?v
- 就得到――我換個顏色寫
- c就等於這個：x?v/v?v
- 那麽 c是多少呢？
- 我們說x的投影――
- 我在這兒寫
- x在l上的投影
- 等於某個純量積 對吧？
- 我們知道它在直線上
- 因此它是 這個方向向量的純量積
- 這個向量v
- 而我們剛剛求出
- 這個乘數是多少
- 它就等於x?v/v?v
- 而這個 當然地
- 實際上就是一個數 對吧？
- 這仍然是個純量
- 雖然這裡有這麽多向量
- 當你求它們 內積的時候
- 得到的只是一個數
- 而你用這個數去乘向量v
- 對v作了伸縮變換 得到了要求的投影
- 那麽在這種情況下 我畫出來的這種
- 我求的點積最後應該得到
- 接近於2的某個伸縮係數
- 那麽如果我把向量v放大到2倍
- 這個值就會是2
- 然後我就會得到一個
- 看起來像這樣的投影
- 現在這看起來挺抽象的
- 那麽我們來 對某些實際的向量做一下
- 我想這樣會 更好懂
- 這裡的所有結論都不只限於R2空間
- 所有的結論
- 都可以推廣到任意高維的空間中
- 因此雖然我們是在R2中推導的
- R2和R3是
- 我們考慮投影最多的空間
- 結論在Rn上也可行
- 我們來考慮一些具體例子
- 假設我定義一條直線爲
- 一個向量所有純量積的集合――
- 什麽向量好呢？ 假設是向量[2,1]
- 那麽c是任意實數
- 我在這裡畫出坐標軸
- 假設這是縱軸
- 而這條是橫軸
- 那麽定義的直線 是向量[2,1]的
- 所有的純量積的集合
- 我們稱向量[2,1]
- 我們稱這個向量 爲向量v
- 我畫出來
- 指向[2,1] 縱方向上爲1
- 那麽這就是向量v
- 而直線就是所有可能的
- 向量v的純量積的集合
- 我畫出來
- 所有可能的純量積的集合
- 就是朝這個方向無限延伸
- 向反方向同樣無限延伸
- 以及這線段上的所有點
- 這就是定義的直線
- 向量v的所有純量積的集合
- 現在 假設我們有另一個向量x
- 假設向量x爲[2,3]
- 我畫出x 橫軸方向是2 然後向上1,2,3
- 那麽x看起來是這樣
- 向量x是這個樣子
- 我畫好點兒
- 向量x是這個樣子
- 這就是向量x
- 我們的目標是 求出
- 向量x在l上的投影
- 我們可以用這裡的定義
- 我寫下來
- x在l上的投影等於什麽？
- 就等於x?v 對吧
- v是直線的單位向量
- 這個式子等於x 也就是[2,3]
- 點乘v 也就是[2,1]
- 整個式子比上v?v
- 整個式子比上[2,1]?[2,1]
- 最後乘以原來的 方向向量v
- 那麽原來的方向向量是什麽？
- 就是這個向量[2,1]
- 那麽 乘以向量[2,1]
- 這等於什麽呢？
- 當你求這兩個向量點積的時候
- 就有2×2+3×1 也就是4+3
- 得到7 整個化簡爲7
- 然後這個 得到2×2+1×1
- 也就是4+1=5
- 那麽就得到7/5
- 這整個化簡爲5
- 化簡得很快
- 你可能被這個
- 看上去很奇怪的表達式嚇到了
- 但當你求點積的時候
- 實際上是非常快的
- 然後只要
- 用這個得到的數乘到方向向量上就行了
- 因此我們就是在把它放大到7/5倍
- 那麽用這個數乘以向量[2,1]
- 得到的是什麽？
- 你就得到向量――
- 我換個顏色寫
- 你就得到向量 [14/5,7/5]
- 爲了看得更明白
- 爲了比較好畫圖
- 我把它寫成小數的形式
- 14/5就是2/4/5 也就是2.8
- 而這個是1/2/5 也就是1.4
- 因此x在l上的投影就是[2.8,1.4]
- 那麽2.8大約在這裡
- 而1.4大概在這裡
- 因此所求的向量大概就是這樣
- 我沒有畫得太嚴格
- 但是你應該能理解
- 這就是所求的投影
- 計算過程表明了
- 這就是x在直線l上的投影
- 如果我在這裡作一條垂直線
- 我們會看到它與我們
- 將它理解爲x的影子的理解方式 是一致的
- 那麽 現在我們會求投影了
- 在下個影片中 我會向你演示
- 投影的方陣表現
- 投影本質上是一種變換