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Lin Alg: Orthogonal Complement of the Orthogonal Complement : Finding that the orthogonal complement of the orthogonal complement of V is V
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- 假設有Rn的某個次空間V
- 我來畫出它
- 這是Rn
- 這裡有一個它的次空間V
- 這是次空間V
- 我們知道V的正交補
- 等於Rn中滿足某些條件的元素的集合
- x屬於Rn
- 滿足x・v=0
- 對每一個屬於次空間V的v成立
- 於是給水輪發電機定次空間的正交補
- 就是所有與這些向量正交的
- 向量的集合
- 我們以前學過它們的疊置部分――
- 兩個集合之間只有一個公共元素
- 就是0向量
- 在這裡
- 我們畫出正交補
- 比如它是這個粉色的集合
- 這就是正交補空間
- 好了
- 現在我們考慮這個正交補空間的
- 正交補空間
- 這個粉色的正交補
- 我們要求它的正交補
- 它等於所有的x――
- 我這麽來寫
- Rn中所有滿足
- x・w=0的x
- 對於每一個屬於V的正交補的
- 向量w成立
- 這就是其表示的內容
- 它就是Rn中的
- 所有與這些向量正交的向量
- 顯然 V中的所有向量
- 都是其中的一員
- 因爲這裡的向量一定與這些向量正交
- 但也許它只是正交補的
- 正交補空間的一個子集
- 也許這段藍色的敘述就表示下面這個內容
- 也許它比V稍大一些
- 也許存在一些向量
- 它們隱藏在藍色的集合內
- 也許存在一些向量
- 它們是V的正交補的正交補
- 但是它們不在V中
- 我們還不能確定
- 我們不知道這個區域中的向量是否存在
- 也許對於正交補的
- 正交補空間
- 也許它又回到了V
- 也許就像一個轉置或是一個反函數
- 把它映回到原來的次空間
- 我們看看是否有
- 更好的思考方式
- 假設存在屬於正交補的
- 正交補空間的元素
- 假設x屬於
- 正交補的
- 正交補
- 由上個影片我們知道
- Rn中的任何向量都可以用
- 次空間和次空間的正交補中的向量表示
- 從而我們知道x可以表示成――
- 可以說x能表示爲
- 兩個向量的和
- 一個向量屬於V
- 一個屬於V的正交補
- 稱屬於V的向量爲v
- 稱屬於V的正交補的
- 向量爲w
- 我這麽來寫
- v屬於次空間V
- w屬於
- V的正交補
- 對嗎？
- 對於這個向量
- 它可能在這裡
- 也可能在這裡
- 它是V的正交補的正交補中的
- 一個向量
- 就是整個這個區域
- 其中V是一個次空間
- 我們不確定V是否等於它
- 但是V的正交補的正交補中的
- 任意一個向量
- 一定屬於Rn
- 並且Rn中的任何向量
- 都可以表示成
- V中的向量與V的正交補中的向量的和
- 我要講的都寫在了這裡
- 那麽如果取x・w會怎樣呢？
- 它等於什麽？
- 這是正交補的
- 正交補
- 可以取這個區域內的任意向量
- 與正交補空間中的任意向量做點積
- 也就是這個向量
- 對嗎？
- 它屬於正交補空間
- 由定義得到0
- 這些所有的向量
- 這個向量一定
- V⊥中的任何向量正交
- V⊥⊥中的任何向量
- 一定與V⊥中的任意向量正交
- 所以這項等於0
- 但是x・w的另一種寫法是什麽？
- 我可以這麽寫
- 它就等於(v+w)・w
- 就等於v・w+w・w
- v・w是多少？
- v屬於原來的次空間
- 如果取原來次空間中的任意向量
- 與其正交補空間中的任意向量
- 做點積
- 得到的結果是0
- 所以這一項是0
- 從而就得到這一項
- 它就等於
- 向量w的長度的平方
- 而這項必須等於0
- 注意我們寫的是x・w
- x屬於正交補的
- 正交補
- 用它點乘
- 正交補中的任意向量
- 結果是0
- 如果換種方式來寫
- 如果把它寫成v+w
- 然後將w分配進去
- 我們知道這是
- w的長度的平方
- 所以有w的長度的平方等於0
- w的長度的平方
- 等於0
- 這表明w是0向量
- 這是Rn中唯一滿足下面條件的向量
- 即當取其長度
- 並對其平方時 結果是0
- 可以僅取其長度
- 這意味著什麽？
- 這表明原來的向量x
- 等於v+w
- 而w=0
- 從而推出原來的向量x
- 就等於v
- 並且v屬於次空間V
- 對嗎？
- 這表明x屬於次空間V
- 我剛剛說明
- 如果某個向量屬於
- 正交補的正交補
- 那麽這個向量
- 也屬於原來的次空間
- 所以下述的向量不存在
- 即不可能存在一個向量
- 它屬於正交補的正交補
- 但不屬於原來的次空間
- 所有的向量都在這個集合中
- 所以不存在這個邊緣中的向量
- 這樣來看
- 所有的向量都在原次空間中
- 在影片的開始我講過
- 次空間中的所有向量
- 都屬於正交補
- 你可以以自己推理
- 我們來完善這種方法
- 使之更加嚴謹
- 對於正交補的正交補中的
- 任何向量
- 它就等於原來的次空間
- 我們換一種方式
- 假設對於
- 原來次空間中的某個元素
- 我再畫個圖
- 這對我們有幫助
- 再畫一個Rn
- 我把Rn畫成這樣
- 我們有正交補
- 先把它畫出來
- 這個是V⊥
- 然後有正交補的正交補
- 就是這個集合
- 對嗎？
- 這是V⊥⊥
- 我還沒畫出次空間V
- 我要說明的是 對於這個次空間
- 就是這個V⊥
- 然後取它的正交補
- 這意味著 Rn中的任何向量
- 都可以表示成
- 這裡的向量和這裡的向量的和
- 如果對於w―― 我換成紫色
- 如果向量w―― 我這麽寫吧
- 向量v可以表示成
- 向量w和向量x的和
- 其中w屬於
- v的正交補空間 或者說是V⊥
- 並且x屬於V⊥的正交補
- 注意 我稱這個集合爲S
- 這是集合S
- 和它的正交補
- 我們知道Rn中的任何向量
- 都可以表示成一個次空間中的向量
- 與該次空間的正交補中的向量之和
- 所以V是否與這個有關是沒有影響的
- 它可以表示成這個向量
- 加上這個向量
- 好了
- 如果用v點乘w會怎樣？
- 與之前做相同的討論
- 如果取原來次空間中的元素
- 將它與正交補空間中的元素
- 做點積
- 得到結果是0
- 它還等於什麽？
- 如果把v寫成這種形式
- v・w就等於這項點乘w
- 從而(w+x)點乘―― 它將等於
- w・w加上x・w
- x・w是多少呢？
- x在正交補的正交補中
- 而w屬於正交補
- 如果取這個點積
- 結果是0
- 它們相互正交
- 所以它就等於
- w・w 或者說是w長度的平方
- 因爲這項等於0
- 這裡是一堆等式
- 這再次表明
- w必須等於0
- 這表明v=w+x
- 如果w=0
- 那麽v=x
- 我們闡明了
- 如果v屬於次空間V
- 那麽v就屬於
- 其正交補的正交補
- 對嗎？ v=x
- 它屬於
- 正交補的正交補
- 我們從兩個方向給出了證明
- 考慮開始的陳述
- 如果有一個向量
- 屬於正交補的正交補
- 那麽它就屬於原來的次空間
- 我們證明了它 而在開始的時候
- 我們證明了如果x屬於
- 正交補的正交補
- 那麽x屬於原來的次空間
- 這兩個是等價的
- 次空間中的任何向量
- 都屬於V⊥⊥
- 而V⊥⊥中的任何向量都屬於次空間
- 所以次空間V和V⊥⊥是同一個集合
- 它們是疊置的
- 它等於它
- 並且顯然 它與V⊥疊置的部分
- 就是與V的正交補疊置的部分
- 只有0向量