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Lin Alg: Alternate Basis Tranformation Matrix Example : Example of finding the transformation matrix for an alternate basis
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- 我們來複習一下 我們在上段影片中
- 學到的知識
- 如果我有一個
- 從Rn映射到Rn的線性變換
- 如果我研究的範圍是標準座標係
- 那麽在標準座標係中
- 應用變換T
- 就等於矩陣A乘以x
- 我來寫下來
- 如果我們研究的是標準座標係
- 因此 x是在標準座標係中
- 如果我利用這個變換
- 它就等價於用A乘以x
- 如果用A乘以x
- 我就會得到一個
- 在標準座標係中的T(x)
- 這些我們都非常非常熟悉
- 假設我們有一個Rn中另外的基底
- 假設B=
- 它有n個線性不相關的向量
- B是Rn的一個基底
- 它是Rn的一個基底 但它不是標準基底
- 這些都不是標準基底向量
- 因此B是Rn的一個基底
- 這是C
- 這些是它的行向量
- v1 v2 一直到vn
- 是基底B的變換矩陣
- 現在我們知道
- 我們已經見了很多次
- 如果我有一個在B座標係中表示的
- 一個Rn中的向量x
- 或者說是在關於B的座標係中的向量
- 我可以用變換矩陣來乘以它
- 就能得到x的標準坐標
- 或者
- 如果你在這個方程的兩邊同時乘以C的逆
- 你就能得到
- 我先來看標準坐標下的x
- 我可以用C逆乘以它
- 這事我就能得到x在B中的坐標
- 後者說是x在非標準座標係中的坐標
- 我們在以前已經見過
- 我們在這裡利用它
- 如果我想得到x
- 如果我想在非標準座標係中把它寫出來
- 應該怎麽來做？
- 這是向量x 如果我想把它寫出來
- 寫成非標準坐標的形式
- 我該用什麽乘以它
- 我用C的逆矩陣乘以它
- 如果我用C逆乘以它
- 無論我在這條線上寫了什麽
- 你可以說 你用什麽矩陣乘以它
- 能得到這條線的另一端
- 我用C逆乘以它
- 得到了x在B中的坐標
- 這是在B中的坐標
- 我可以對T(x)
- 做同樣的事情
- 這是T(x)的
- 標準形式
- 如果我們想在這個方向變換
- 我們可以用C逆乘以它
- 這時我們就得到了B座標係中表示的
- T(x)的坐標
- 由於在上段影片中我們學過
- 爲什麽分開做呢？
- 也許有一個矩陣
- 這個矩陣我們以前求出來了
- 也許有一個矩陣D
- 如果我們用D乘以它
- 我們可以直接從[x]B
- 變換到[T(x)]B
- 並且我們說過這就是矩陣D
- 在上段影片中我們已經證明了
- D可以用A來表示
- 你喜歡的話 你可以繞一圈
- 重新推導出它
- 我們發現 我來用另一種顏色寫出來
- D是等於C逆<i>A<i>C</i></i>
- 以上就是我們對上節影片中
- 所學知識的複習
- 希望這能讓你們能明白一些
- 僅是意識到有不同的方法
- 來做同一件事 都是很美好的
- 這兩個都是變換
- 你用A相乘
- 和你用D相乘是做著同樣的變換
- 當你用D相乘
- 它們只是在不同的座標係中
- 不同的座標係是表示相同向量的
- 不同方式
- 這個和這個是相同向量的不同表示
- 這個和這也是相同向量的不同表示
- 它們都是進行變換D
- 這個是我們在上段影片中推導出來的一個關係
- 如果我們有基底變換矩陣
- 我們有它的逆
- 並且我們有標準基底下的
- 線性變換矩陣
- 我們就能得到這個式子
- 我們來看看是否能有其它的方法
- 如果我們有D 是否能求出A？
- 如果我們在方程的兩邊的右側
- 都乘以C逆
- 你會得到DC逆=C逆<i>AC(C逆)</i>
- 我只是在方程的兩邊的右側
- 都加了一個C的逆
- 這個等於單位方陣
- 因此我們可以把它消掉
- 然後我們在方程兩邊的左側都乘以C
- 我們得到了
- CD(C逆)等於C(C逆)A
- 這個是單位方陣
- 最後的式子是A=CD(C逆)
- 很有意思的結論
- 這又是一個工具
- 我所做的所有工作
- 都很抽象
- 我們來把這些原理應用到
- 一個具體的例子當中
- 假設有一個變換T
- 上面所寫的就暫時保留著
- 因爲它們也許還有用
- T是一個從R2到R2的映射
- T的變換矩陣---
- 我們令在標準座標係下的T(x)
- 等於矩陣[3,2;-2,-2]
- 乘以x
- 在這個例子中我們剛說過
- 這個是在標準座標係中的
- 變換矩陣
- 我們稱之爲A
- 假設我們有另外一個基底
- 這個替換的R2基底
- 我們稱之爲B
- 因爲我們一直叫它B
- 假設這個替換的R2基底是
- 向量[1,2]和[2,1]
- 考慮到這個替換的基底
- 我們在這個座標係中
- 能否找到一個變換矩陣
- 我們在尋找一個矩陣D 使得
- 如果我對在B座標係中的x進行變換時
- 或者說是關於這個替補基底的座標係
- 它的結果是等於這個矩陣
- 它等於D乘以[x]B
- 這就是我們一直尋找的
- 我一直在尋找這個等式
- 我們回到這個圖表中來
- 我一直在找它
- 我們知道[x]B
- 並用D乘以它
- 我們得到了T([x]B)
- 現在我們把它應用到這個具體的例子中
- 我們有這個公式
- 這是一個D的公式
- 我們在上節課的影片中證明過了
- 因此 我們必須計算出C的逆
- B的基底變換矩陣是什麽？
- 把它放在這兒
- B的基底變化矩陣等於---
- 我們稱之爲C
- 它是B中的基底向量構成的
- 向量分別是[1,2]和[2,1]
- 然後我們想計算出它的逆
- 我們首先計算出它的行列式
- C的行列式是等於
- 是1×1-2×2
- 而1-4=-3
- 因此C的逆是等於
- 1除以這個行列式
- 1/(-3)或者說是-1/3乘以
- 把這兩個交換一下
- 交換1和1
- 然後取這兩項的相反數 -2和-2
- 這就是C逆
- 因此D是等於
- C逆乘以
- 關於標準基底的變換矩陣A
- 再乘以C
- 我在這裡把它寫出來
- 因此我們一直在求的D是等於
- C逆乘以A乘以C
- 它是等於
- C的逆是-1/3乘[1 -2;-2 1]
- 乘A 我用另外一種顏色寫出來
- 我喜歡換顏色
- 因此C的逆乘以A A在這裡
- 乘以[3 -2;2 -2]乘以C
- C在這裡
- 我用黃色的寫出來
- 乘以C [1 2;2 1]
- 我是分段來做的
- 我們來把它算出來
- 這個式子等於多少？
- 一個2×2的矩陣乘以一個2×2的矩陣
- 結果還是2×2的矩陣
- 因此 這裡的第一項等於
- 是3<i>1+(-2)<i>2</i></i>
- 等於3-4
- 結果就是-1 對吧？
- 3<i>1加上(-2)<i>2</i></i>
- 結果是-1
- 3<i>2=6 減去2<i>1</i></i>
- 結果就是4
- 3<i>2-2等於4</i>
- 再看下一行
- 2<i>1減去2<i>2</i></i>
- 等於2-4
- 也就是-2
- 2<i>2=4減去2<i>1</i></i>
- 也就是4-2=2
- 矩陣D就等於
- 1/3乘以這個矩陣
- [1 -2;-2 1] 再乘這個矩陣
- 也就是這兩個矩陣的乘積
- 我們來計算最終的結果是多少
- 如果我們求這兩個矩陣的乘積
- 它的結果仍然是一個2×2的矩陣
- 1<i>(-1)等於-1</i>
- 加上-2<i>(-2)</i>
- 我來確認一下
- -2<i>(-2)等於4</i>
- 1<i>(-1)等於-1</i>
- 結果等於3
- 在看下一項
- 即1<i>4+(-2)<i>2</i></i>
- 等於4-4=0
- (-2)<i>(-1)等於2</i>
- 加上1<i>(-2)</i>
- 結果等於0
- 最後一項 -2<i>4</i>
- -8 對嗎？
- 加上1<i>2</i>
- 加上2等於-6
- 所有這些再乘以-1/3
- 最終的結果就等於
- 3<i>（-1/3）=-1 這兩項是0</i>
- D是關於B的變換矩陣
- D是關於B的變換矩陣
- 利用這個公式
- 我們可以把它計算出來
- 然後呢
- 這些東西我們下段影片再講
- 我們實際上證明了它是成立的
- 我們可以取一個向量x
- 利用變換
- 或者是坐標變換
- 得到了這個然後利用D
- 也許我們可以走這條路
- 用C乘而得到這個變換
- 它等價於A
- 這些我們下節課講