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Lin Alg: Alternate Basis Tranformation Matrix Example Part 2 : Showing that the transformation matrix with respect to basis B actually works. Brief point on why someone would want to operate in a different basis to begin with.
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- 現在我們已經知道 可以在不同的座標係中
- 應用線性變換
- 以前我們接觸到的變換
- 都是在標準基底下進行的
- 在上節課中我們講過
- 在標準座標係中
- 如果在定義域中有一個向量x
- 你利用了某個變換
- 那麽我們就說A是
- 標準定義域下的矩陣
- 或者說A是在標準基底下的矩陣
- 因而你得到了這個映射
- 取x 用A乘以它
- 得到了T(x)
- 在上節影片中和上幾節影片中
- 實際上 就是上上節影片
- 我們講過
- 我們可以進行相同的映射
- 只不過所選擇的座標係不同
- 你可以在關於基底B的座標係中
- 來做這個映射
- 它們是一樣的
- 只是變換矩陣不同而已
- 在上節影片中 我們計算出來了
- 這個不同的變換矩陣是什麽
- 我們改變了基底
- 基底在這裡
- 我們把它複製粘貼
- 有助於我們理解
- 這個就是上節課講的例子
- 把它複製
- 我們把它粘貼在這裡
- 把上節課所寫的放在這裡
- 把它粘貼在這裡
- 根據上節課我們講的內容
- 這就是我們的基底
- 把它複製粘貼
- 這是替補基底
- 這是基底變換矩陣
- 這是它的逆
- 這些很容易操作
- 我們只需複製粘貼
- 好的 複製 然後在這裡粘貼
- 編輯 粘貼
- 也許 我應該這裡寫出來
- 也許不是最好的順序
- 也許我應該先寫出來
- 但是我認爲你們都知道我的意思
- 我們想寫出關於標準基底的
- 變換矩陣
- 它在這兒
- 如果你好奇這些東西都是哪兒來的
- 我可以告訴你 這些都是上節課的內容
- 把它複製粘貼
- 編輯 粘貼
- 把它粘貼在這兒
- 我們上節課的核心問題是
- 計算關於這個基底的
- 變換矩陣
- D 作爲我們上節課中的重大結論
- 是等於這個
- 把它複製粘貼
- 複製 粘貼
- 現在 我們把所有重要結論都放在一個地方了
- 編輯 粘貼
- 我們這節課要做的就是證明
- D是可行的 取一個向量x
- 我在這裡把它寫出來
- 隨便取一個向量
- 這個變換 它的整體的定義域是R2
- 因此 我們從某個向量x開始
- 假設x=[1 -1]
- 我們可以用傳統方式那樣應用變換
- 而得到T(x)
- 我們動手寫出來
- T(x)就等於這個矩陣乘以x
- 那麽T(x)等於多少?
- 我想想
- 也許我可以在這個角落中寫出來
- 以節省空間
- 它等於這個矩陣乘以x
- 因此這裡的第一項就等於
- 3<i>1+(-2)<i>(-1)或者說就是加2 對吧?</i></i>
- -2<i>(-1)等於2</i>
- 因此 它等於3+2
- 也就是5
- 這裡的第二項等於
- 2<i>1加上(-2)<i>(-1)</i></i>
- 這個就變成了2
- 因此就等於2+2
- 結果是4
- 這個向量就是T(x)
- x在這個座標係中表示是怎樣的?
- 我想我應該說 在這個替補基底座標係中
- 向量x在關於這個基底的座標係
- 是什麽樣的
- 上節課我們講過了
- 我在這裡把它寫出來
- 也許後來能有所幫助
- 複製
- 把它們倆都複製
- 他倆都有用
- 編輯 複製
- 你們可以看到
- 如果我想從x變換到[x]B
- 或者說是在替補基底下x的坐標
- 你本質上是用C逆乘以x
- 這也是我們複製粘貼它的原因
- 複製 把它放在這裡
- 這樣我們就可以使用它
- 把它粘貼在這兒
- 因此如果我想從x變換到[x]B
- 我取x 用C逆乘以它
- C逆就是這個矩陣
- 如果我用C逆乘以x
- 就能得到這個座標係下的x
- 我們來算一下吧
- 這個乘以這個
- 把-1/3提到最前面
- 它等於-1/3乘以
- 我來看看是否可以心算
- 1<i>1加上</i>
- (-2)<i>(-1)也就是2</i>
- 它等於1+2
- 也就是3
- 這一項是-2<i>1=-2</i>
- 加上1<i>(-1)=-1</i>
- 等於-2-1=-3
- 因此 如果我用-1/3乘以這個矩陣
- [x]B就等於
- [-1 1] 就是這個向量
- 很有意思
- 最終的結果只是把第一項和第二項互換
- 我們再來看看D<i>[x]B</i>
- 如果把D應用到x上
- D就成了變換矩陣
- 如果我們是在B的座標係中研究
- 看看結果等於多少
- 把屏幕往左滾動一點
- 這樣我們就能得到更多的可用空間
- 把D作用在x上會怎樣?
- 這是T([x]B)
- 或者說應當是T([x]B)
- 或者說應當是T([x]B)
- 結果等於多少呢?
- 用D乘上它
- 從而有-1<i>(-1)=1</i>
- 加上0<i>1</i>
- 即-1<i>(-1)=1</i>
- 然後將會得到
- 0<i>(-1)加上2<i>1</i></i>
- 2<i>1等於2</i>
- 對於我完成的所有工作
- 假設我沒有犯任何粗心的錯誤
- 這個向量應當
- 和這個改變基底的向量是一樣的
- 因此 如果我標準基底變化到基底B
- 當你在這個方向變換時
- 你只需用C的逆乘上這個矩陣
- 我在這裡剛用了這個公式
- 如果我有在標準座標係中的x
- 我用C逆乘以它
- 結果就是[x]B
- 來看看我們得到了什麽
- 這個矩陣 我用C逆乘以它
- 爲了騰出空地方 我在上面把它寫下來
- 乘以向量[5 4]
- 用C的逆乘上它
- -1/3乘上
- [1 -2;-2 1] 就像這樣
- 它等於--
- 我把-1/3寫在前面
- 1<i>5等於5</i>
- 加上-2<i>4 因此就等於5-8=-3</i>
- 第二項是-2<i>5=-10</i>
- 加上1<i>4</i>
- -2<i>5等於-10</i>
- 加上1<i>4</i>
- 等於-1/3乘上
- -3 這一項是什麽?
- 這是-6
- 如果你用-1/3乘上它
- 所有的負號都抵消了 得到了1和2
- 這是我們想要的結果
- 取這個向量T(x)
- 並把它所在的基底換成了B
- 或者是你把標準座標係換成了
- B的座標係
- 用C的逆乘以它 你就得到了[T(x)]B
- 實際上就是B座標係下
- T(x)的坐標
- 我們只需用C的逆乘上它
- 這其實就是
- 我們取[x]B
- 然後利用這個矩陣
- 這個矩陣是
- 關於B座標係的變換矩陣
- 你用它乘以這個矩陣
- 就得到了這個答案
- 從這條路出發還是從這條路出發
- 都無所謂
- 我們得到的是一樣的答案
- 這不是一個證明
- 但是它告訴我們在上節影片中得到結論
- 至少對於這個例子是成立的
- 實際上我是隨機選取的x
- 如果你喜歡的話 可以對於其它的x來驗證它
- 你們應當很希望能有嚴謹的推理
- 讓你信服我們可以這麽做
- 你們可以改變基底
- 並尋找一個變換矩陣
- 我們已經證明了怎樣去做
- 但是問題是爲什麽要這樣做?
- 某人實際上在上節課的影片中寫了一段評論
- 它講出了我們這麽做的藝術性
- 現在我就不找那條評論了
- 如果我沒記錯的話
- 他說他們的線性代數老師曾經說過
- 線性代數是一門選擇合適基底的藝術
- 我寫下來
- “選擇合適基底的藝術”
- 或者你可以說 選擇合適的座標係
- 爲什麽有一個合適的座標係?
- 也許我該在這段引語中加上一個引號
- 他說“合適座標係”是什麽意思?
- 如果你回頭看看原始的
- 在標準基底下的變換矩陣 也不錯
- 這是一個2×2的矩陣
- 如果你想關於它做矩陣運算的話
- 你確實需要做不少數學運算
- 如果你想運算多次
- 你對許多向量做運算
- 這個矩陣不會有什麽變化
- 但是如果你變換到這個基底
- 當你使用一個新的基底
- 使用這個基底
- 忽然你就會發現
- 這個變換矩陣更簡單
- 這是一個對角方陣
- 當你用對角方陣乘以其它矩陣時
- 實際上你只是對第一和第二項
- 進行比例放縮
- 用這個矩陣乘以某個向量
- 我們在這裡寫下來
- 當你用這個矩陣乘以這個向量時
- 實際上你就是用1乘以第一項
- 用2乘以第二項
- 這是一個更簡單的運算
- 你也許會說
- 我們做這些工作時
- 需要先用C的逆乘以它
- 當你得到這個答案時
- 你再用C乘以它
- 回到標準座標係中
- 你會發現這需要
- 更多的工作
- 但是想象一下 如果你用D乘以--
- 如果你用D<i>D<i>D<i>D乘x</i></i></i>
- 如果你用D<i>D<i>D<i>D乘x</i></i></i>
- 我們這樣來說
- 如果我們利用A<i>A<i>A</i></i>
- 或者你用A的100次冪作用於某個向量
- 用A的100次冪作用於這個向量
- 要比用D的100次冪作用於這個向量
- 計算要複雜的多
- 盡管你需要在這個方向變換
- 然後在變換回來
- 在很多問題中 特別是計算機科學中
- 或者是其它的一些應用中
- 你需要選擇合適的基底
- 對於很多問題的計算會變得簡單很多
- 如果你選擇了合適的座標係